1、1.2空间向量基本定理新课程标准解读核心素养1.了解空间向量的基本定理及其意义数学抽象、直观想象2.掌握空间向量的正交分解数学抽象、数学运算第一课时空间向量基本定理如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，在AB，AD，AA1上分别取单位向量e1，e2，e3.问题(1)e1，e2，e3共面吗？(2)如何用e1，e2，e3表示向量？知识点空间向量基本定理1定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得pxaybzc其中a，b，c叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量2空间向量的正交分解(1)单位正交基底：空间的一个基底中的三个
2、基向量两两垂直，且长度都为，常用i，j，k表示；(2)正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解1构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？提示：不可以2在四棱锥OABCD中，可表示为xyz且唯一，这种说法对吗？提示：对1已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是()A3a，ab，a2bB2b，b2a，b2aCa，2b，bc Dc，ac，ac答案：C2.如图，已知四面体ABCD的三条棱b，c，d，M为BC的中点，用基向量b，c，d表示向量_解析：M为BC的中点，()()()(bd)(cd)bcd.答案：bcd基底的判断例1(链接教科书第1
3、5页习题2题)已知e1，e2，e3是空间的一个基底，且e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3，试判断，能否作为空间的一个基底？解假设，共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使xy成立e12e2e3x(3e1e22e3)y(e1e2e3)(3xy)e1(xy)e2(2xy)e3.e1，e2，e3是空间的一个基底，e1，e2，e3不共面，此方程组无解，即不存在实数x，y，使xy成立，不共面故，能作为空间的一个基底判断基底的方法判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断 跟踪训练设xab，ybc，zca，且a
4、，b，c是空间的一个基底给出下列向量组：a，b，x；x，y，z；b，c，z；x，y，abc其中可以作为空间的基底的向量组有_个解析：如图所设a，b，c，则x，y，z，abc.由A，B1，D1，C四点不共面可知向量x，y，z也不共面同理可知b，c，z和x，y，abc也不共面，可以作为空间的基底因xab，故a，b，x共面，故不能作为基底答案：3用基底表示空间向量例2(链接教科书第12页例1)如图，四棱锥POABC的底面为一矩形，PO平面OABC，设a，b，c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示，.解连接BO，则()(bac)abc，aa()abc，()ac(cb)abc，a.用基底表
5、示向量的策略(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求 跟踪训练如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点用向量，表示和.解：()().空间向量基本定理的应用例3如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1.(1)证明：A，E，C1，F四点共面；(2)若xyz，求xyz.解(1)证明：()()，共面，又它们有公共点A，A，E，C1，F
6、四点共面(2)()，又xyz，x1，y1，z，xyz.由空间向量基本定理可以知道，如果三个向量a，b，c是不共面的向量(基向量)，则a，b，c的线性组合xaybzc能生成所有的空间向量，并且有序实数组(x，y，z)是唯一的，这是利用空间向量基本定理求参数值的理论基础 跟踪训练在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，E，F分别是AD1，BD的中点(1)用向量a，b，c表示，；(2)若xaybzc，求实数x，y，z的值解：(1)如图，连接AC，abc，()()ac.(2)()()(cabc)abc，又xaybzc，x，y，z1.1(多选)下列结论正确的是()A三个非零向量能构成空间的
7、一个基底，则它们不共面B两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C若a，b是两个不共线的向量，且cab(，R且0)，则a，b，c构成空间的一个基底D若，不能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面解析：选ABD由基底的概念可知A、B、D正确对于C，因为满足cab，所以a，b，c共面，不能构成基底，故错误2若a，b，c是空间的一个基底，且向量mab，nab，则可以与m，n构成空间的另一个基底的向量是()AaBbCc D2a解析：选C由题意知，a，b，c不共面，对于选项A，a(ab)(ab)mn，故a，m，n共面，排除A；对于选项B，b(ab)(ab)mn，故b，m，n共面，排除B；对于选项D，由选项A得，2amn，故2a，m，n共面，排除D.选C.3在长方体ABCDA1B1C1D1中，可以作为空间一个基底的是()A.， B.，C.， D.，解析：选C在长方体ABCDA1B1C1D1中，只有C中的三个向量，不共面，可以作为空间的一个基底4在四面体OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则_(用a，b，c表示)解析：()()abc.答案：abc5在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若0(R)，则_解析：如图，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EF綉A1D，即0，.答案：
