1、2020-2021 学年上海市徐汇区位育中学高二（下）期中数学试卷一、填空题（共 12 小题）.1直线（t 为参数）的斜率为 2已知直线 l 的一个方向向量为（1，2，0），平面 的一个法向量为（m，3，6），且 l，则 m 3在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，设，用、作为基底向量表示 4已知抛物线 y22px 过点 A（2，2），则点 A 到准线的距离为 5 水 平 放 置 的 边 长 为 1 的 正 三 角 形 经 过 斜 二 测 画 法 得 到 的 直 观 图 面 积为 6若一个圆柱的轴截面是面积为 4 的正方形，则它的表面积是 7地球（地球半径为 R）表面上从 A 地（北纬
2、45，东经 120）到 B 地（北纬 45，东经 30）的球面距离为 8已知三个球的半径 R1，R2，R3 满足 R1+2R23R3，则它们的体积 V1，V2，V3 满足的等量关系是 9如图，在空间直角坐标系 Oxyz 中，四面体 COAB 的主视图 AOC 是面积为 4的直角三角形，且 CO2，OAB 是正三角形，且点 B 在平面 xOy 上，则此四面体的左视图的面积等于 10若三个平面、两两垂直，直线 l 与平面、所成的角都等于，cos 11如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为 10 公里，母线长为 40 公里，B 是母线 SA 上一点，且 AB10 公里为了发展旅游业，要建
3、设一条最短的从 A 绕山一周到 B 的观光铁路这条铁路从 A 出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为 公里12在平面 xOy 上，将曲线 x2+1（x0）与 y 轴围成的封闭图形记为 D，记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为，试构造圆柱与倒立的圆锥，利用祖暅原理得出 的体积值为 二、选择题（共 4 小题）.13空间内不同的四个点，“无任何三点共线”是“四点不共面”的（）A充要条件B充分非必要条件C必要非充分条件D既非充分又非必要条件14设 m，n 是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数是（）（1）若 m，n，则 mn；（2）若，m，则 m；（3）若
4、 m，n，则 mn；（4）若，则 A1B2C3D415在棱长为 10 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，P 为左侧面 ADD1A1 上一点，已知点 P 到A1D1 的距离为 3，P 到 AA1 的距离为 2，则过点 P 平行于 A1C 的直线与正方体表面（）相交AABCDBBB1C1CCCC1D1DDAA1B1B16对于直角坐标平面内任意两点 A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们之间的一种“新距离”：|AB|x2x1|+|y2y1|给出下列三个命题：若点 C 在线段 AB 上则AC+BCAB；在ABC 中，若C90，则AC2+BC2AB2；在ABC 中，AC+BCAB其中的真命题
5、为（）ABCD三、解答题17如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABBC2，AA13（1）求四棱锥 A1ABCD 的体积；（2）求异面直线 A1C 与 DD1 所成角的大小18点 A、B 分别是椭圆+1 长轴的左、右顶点，点 F 是椭圆的右焦点点 P 在椭圆上，且位于 x 轴上方，PAPF（1）求 P 点的坐标；（2）设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点，M 到直线 AP 的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M 的距离 d 的最小值19某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和
6、接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为 24cm，高为 30cm，圆锥的母线长为 20cm（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到 0.1cm3）；（2）现要使用一种纱网材料制作 50 个“笼具”，该材料的造价为每平方米 8 元，共需多少元？20已知点 F1、F2 为双曲线的左、右焦点，过 F2 作垂直于 x 轴的直线，在 x 轴的上方交双曲线 C 于点 M，且MF1F230（1）求双曲线 C 的方程；（2）若直线 l 过点（0，1）且与双曲线 C 交于 A、B 两点，若 A、B 中点的横坐标为 1，求直线 l 的方程；（3）过双曲线 C 上任意一点 P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为 P1
7、、P2，求证：为定值21如图，ABCDA1B1C1D1 是底面边长为 1 的正四棱柱，O1 为 A1C1 与 B1D1 的交点（1）设 AB1 与底面 A1B1C1D1 所成角的大小为，异面直线 AD1 与 A1C1 所成角的大小为，求证：tan22tan2+1；（2）若点 C 到平面 AB1D1 的距离为，求二面角 AB1D1A1；（3）在（2）的条件下，若平面 BB1C1B 内存在点 P 满足 P 到直线 BC 的距离与到直线C1D1 的距离相等，求的最小值参考答案一、填空题（共 12 小题）.1直线（t 为参数）的斜率为 解：直线，所以直线的普通方程为：（y4）（x3），yx+；所以直线
8、的斜率为：；故答案为：2已知直线 l 的一个方向向量为（1，2，0），平面 的一个法向量为（m，3，6），且 l，则 m 6 解：直线 l 的一个方向向量为（1，2，0），平面 的一个法向量为（m，3，6），且 l，m60，解得 m6故答案为：63在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，设，用、作为基底向量表示 解：平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，如图所示：则+故答案为：4已知抛物线 y22px 过点 A（2，2），则点 A 到准线的距离为 解：抛物线 y22px 过点 A（2，2），可得 p1，所以抛物线的准线方程为 x，所以点 A 到准线的距离为：2+故答案为：5水平放置的边
9、长为 1 的正三角形经过斜二测画法得到的直观图面积为 解：边长为 1 的正三角形的面积为 S12sin60，经过斜二测画法得到的直观图面积为 SS故答案为：6若一个圆柱的轴截面是面积为 4 的正方形，则它的表面积是 6 解：圆柱的轴截面是面积为 4 的正方形，所以圆柱的母线长为 2，底面圆的半径为 1，所以圆柱的表面积是 S 表212+2126故答案为：67地球（地球半径为 R）表面上从 A 地（北纬 45，东经 120）到 B 地（北纬 45，东经 30）的球面距离为 解：地球表面上从 A 地（北纬 45，东经 120）到 B 地（北纬 45，东经 30），B 的纬圆半径是，经度差是 90，
10、所以 ABR，球心角是，则 A、B 两地的球面距离是故答案为：8已知三个球的半径 R1，R2，R3 满足 R1+2R23R3，则它们的体积 V1，V2，V3 满足的等量关系是 解：因为 V1R13，所以，R1同理 R2，R3由 R1+2R23R3，得它们的体积 V1，V2，V3 满足的等量关系是：故答案为：9如图，在空间直角坐标系 Oxyz 中，四面体 COAB 的主视图 AOC 是面积为 4的直角三角形，且 CO2，OAB 是正三角形，且点 B 在平面 xOy 上，则此四面体的左视图的面积等于 6 解：四面体 COAB 的主视图 AOC 是面积为 4的直角三角形，且 CO2，OAB是正三角形
11、，所以，则：AO4，由于OAB 为等边三角形，所以 BO4，所以 BO 在平面 yoz 上的射影长，则四面体的左视图的面积 S故答案为：610若三个平面、两两垂直，直线 l 与平面、所成的角都等于，cos 解：由题意可建立如图所示的空间直角坐标系，其中 ABCDA1B1C1D1 是棱长为 1 的正方体，直线 l 为 B1D，平面、分别在正方体的三个面上，满足两两垂直，BD，B1D，此时直线 l 与三个平面、所成角都相等，等于，于是直线 l 与平面 成角为B1DB，COS，故答案为：11如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为 10 公里，母线长为 40 公里，B 是母线 SA 上一点
12、，且 AB10 公里为了发展旅游业，要建设一条最短的从 A 绕山一周到 B 的观光铁路这条铁路从 A 出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为 18 公里解：如图，展开圆锥的侧面，过点 S 作 AB 的垂线，垂足为 H，记点 P 为 AB 上任意一点，联结 PS，由 两 点 之 间 线 段 最 短，知 观 光 铁 路 为 图 中 的AB，上坡即 P 到山顶 S 的距离 PS 越来越小，下坡即 P 到山顶 S 的距离 PS 越来越大，下坡段的铁路，即图中的 HB，由 RtSABRtHSB，可得：，可求出 HB18即下坡段铁路的长度为 18 公里故答案为：1812在平面 xOy 上，将曲线
13、x2+1（x0）与 y 轴围成的封闭图形记为 D，记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为，试构造圆柱与倒立的圆锥，利用祖暅原理得出 的体积值为 解：根据题意知，曲线 x2+1（x0）与 y 轴围成的封闭图形为半椭圆，如图所示：该平面图形绕 y 轴旋转一周而成的几何体为，构造圆柱与倒立的圆锥，利用祖暅原理，可知 的体积 V2（122122）故答案为：二、选择题13空间内不同的四个点，“无任何三点共线”是“四点不共面”的（）A充要条件B充分非必要条件C必要非充分条件D既非充分又非必要条件解：在空间四点中，当四点不共面时，其中任意三点必不共线，必要性成立，当任意三点不共线时，不能得出四点不共面，如
14、平行四边形的四个顶点，充分性不成立，无任何三点共线是四点不共面的必要不充分条件故选：C14设 m，n 是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数是（）（1）若 m，n，则 mn；（2）若，m，则 m；（3）若 m，n，则 mn；（4）若，则 A1B2C3D4解：m，n 是两条不同的直线，是三个不同的平面，对于（1），若 m，n，则 mn，故（1）正确；对于（2），若，所以，由于 m，则 m，故（2）正确；对于（3），若 m，n，则 mn 或 m 和 n 异面或 m 和 n 相交，故（3）错误；（4）若，则 或 和 相交，故（4）错误故选：B15在棱长为 10 的正
15、方体 ABCDA1B1C1D1 中，P 为左侧面 ADD1A1 上一点，已知点 P 到A1D1 的距离为 3，P 到 AA1 的距离为 2，则过点 P 平行于 A1C 的直线与正方体表面（）相交AABCDBBB1C1CCCC1D1DDAA1B1B解：过 P 作 PNA1A 于 N，A1N3，PN2，连接 A1P，延长 A1P 交 AD 于 M，设 AMx，即，于是 x10，连接 MC，过 P 作 PQA1C，交 MC 于 Q，所以 Q 在平面 ABCD 内，故选：A16对于直角坐标平面内任意两点 A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们之间的一种“新距离”：|AB|x2x1|+|y2y1|
16、给出下列三个命题：若点 C 在线段 AB 上则AC+BCAB；在ABC 中，若C90，则AC2+BC2AB2；在ABC 中，AC+BCAB其中的真命题为（）ABCD解：若点 C 在线段 AB 上，设点 C（x0，y0），那么 x0 在 x1，x2 之间y0 在 y1，y2 之间，|AC|+|CB|x0 x1|+|y0y1|+|x2x0|+|y2y0|x2x1|+|y2y1|AB|，故正确；平方后不能消除 x0，y0，命题不成立，故不正确；在ABC 中，|AC|+|CB|x0 x1|+|y0y1|+|x2x0|+|y2y0|x0 x1+y0y1+x2x0+y2y0|x2x1|+|y2y1|AB|
17、，故不正确故选：C三、解答题17如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABBC2，AA13（1）求四棱锥 A1ABCD 的体积；（2）求异面直线 A1C 与 DD1 所成角的大小解：（1）长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABBC2，AA13，四棱锥 A1ABCD 的体积：4（2）DD1CC1，A1CC1 是异面直线 A1C 与 DD1 所成角（或所成角的补角），tanA1CC1，A1CC1异面直线 A1C 与 DD1 所成角的大小为；18点 A、B 分别是椭圆+1 长轴的左、右顶点，点 F 是椭圆的右焦点点 P 在椭圆上，且位于 x 轴上方，PAPF（1）求 P 点的坐标；（2）设
18、 M 是椭圆长轴 AB 上的一点，M 到直线 AP 的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M 的距离 d 的最小值解：（1）由已知可得点 A（6，0），F（4，0），设点 P（x，y），则（x+6，y），（x4，y）由已知可得，2x2+9x180，解得 x，或 x6由于 y0，只能 x，于是 y点 P 的坐标是（，）（2）直线 AP 的方程是，即 xy+60设点 M（m，0），则 M 到直线 AP 的距离是于是|6m|，又6m6，解得 m2，故点 M（2，0）设椭圆上的点（x，y）到点 M 的距离为 d，有 d2（x2）2+y2x24x+4+20 x2（x）2+15，当 x时，d 取得最小值19
19、某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为 24cm，高为 30cm，圆锥的母线长为 20cm（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到 0.1cm3）；（2）现要使用一种纱网材料制作 50 个“笼具”，该材料的造价为每平方米 8 元，共需多少元？解：（1）设圆柱的底面半径为 r，高为 h，圆锥的母线长为 l，高为 h1，则 2r24，解得 r12cmh1cm笼具的体积 Vr2h（1223012216）355211158.9cm3（2）圆柱的侧面积 S1
20、2rh720cm2，圆柱的底面积 S2r2144cm2，圆锥的侧面积为 S3rl240cm2故笼具的表面积 SS1+S2+S31104cm2故制造 50 个这样的笼具总造价为：元答：这种笼具的体积约为 11158.9cm3，生产 50 个笼具需要元20已知点 F1、F2 为双曲线的左、右焦点，过 F2 作垂直于 x 轴的直线，在 x 轴的上方交双曲线 C 于点 M，且MF1F230（1）求双曲线 C 的方程；（2）若直线 l 过点（0，1）且与双曲线 C 交于 A、B 两点，若 A、B 中点的横坐标为 1，求直线 l 的方程；（3）过双曲线 C 上任意一点 P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足
21、分别为 P1、P2，求证：为定值解：（1）由双曲线的方程可得 a1，在直角三角形 MF1F2 中，MF1F230，MF2F2F1，可得|MF1|2|MF2|，且|MF1|MF2|2a2，解得|MF2|2，又|MF2|b2，所以 b22，则双曲线的方程为；（2）由题意可得直线 l 的斜率存在，设为 k，直线 l 的方程为 ykx+1，联立，可得（2k2）x22kx30，4k2+12（2k2）0，解得k设 A，B 的横坐标分别为 x1，x2，则 x1+x2由 A、B 中点的横坐标为 1，可得1，解得 k1 或2（舍去），所以直线 l 的方程为 yx+1；（3）证明：设 P（m，n），则 2m2n2
22、2，由，解得 P1（，），由，解得 P2（，），所以（，）（，）+，即21如图，ABCDA1B1C1D1 是底面边长为 1 的正四棱柱，O1 为 A1C1 与 B1D1 的交点（1）设 AB1 与底面 A1B1C1D1 所成角的大小为，异面直线 AD1 与 A1C1 所成角的大小为，求证：tan22tan2+1；（2）若点 C 到平面 AB1D1 的距离为，求二面角 AB1D1A1；（3）在（2）的条件下，若平面 BB1C1B 内存在点 P 满足 P 到直线 BC 的距离与到直线C1D1 的距离相等，求的最小值【解答】（1）证明：设正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的高为 h，因为 AA1底
23、面 A1B1C1D1，所以AB1A1，于是 tan，因为 ACA1C1，如图所示，所以CAD1，由勾股定理可知，CA，CD1AD1，在等腰三角形 CAD1 中，底边 CA 上的高为，所以 tan，则 tan22h2+12tan2+1；（2）解：因为 O1 为 A1C1 与 B1D1 的交点，三角形 AB1D1 是以 B1D1 为底边的等腰三角形，所以 AO1B1D1，根据线面垂直的判定定理可知，B1D1平面 ACC1A1，由面面垂直的判定定理可知，平面 AB1D1平面 ACC1A1，且平面 AB1D1平面 ACC1A1AO1，、则点 C 在平面 AB1D1 的射影 H 在 AO1 上，即 CH
24、，如图所示，在矩形 ACC1A1 中，AH，因为 RtAA1ORtCHA，则，即，解得 AA12，所以正棱柱 ABCDA1B1C1D1 的高 2，因为，O 为 B1D1 的中点，则 AO1B1D1，又 O1 为正方形对角线 A1C1 与 B1D1 的交点，则 A1O1B1D1，所以AO1A1 为二面角的 AB1D1A1 平面角，则 RtAO1A1 中，故 tanAO1A1，所以二面角 AB1D1A1 的大小为 arctan；（3）解：以 A1 为空间直角坐标系的坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设 P（1，y，z）（0y1），因为 C1D1平面 BB1C1C，故 C1D1PC1，由题意可知，即 44z（y1）2（0z1），所以有，当 y1 时，y2 有最大值 1，此时 z1，而（z2）2+1 也达到最小值，所以有最大值，则有最小值，最小值为，故的最小值为
