1、利用导数解决实际问题(建议用时:40分钟)一、选择题1某莲藕种植塘每年的固定成本是10 000元,每年最大规模的种植量是40 000斤,每种植一斤莲藕,成本增加0.5元,如果收入函数是R(q)q310 000q2q(q是莲藕的质量,单位:斤),则要使利润最大,每年莲藕的种植量应为()A10 000斤B12 000斤C20 000斤D20 100斤D设利润为L,则Lq310 000q2q10 0000.5qq310 000q22 010 000q10 000(00),则L2令L0,得x16或x16(舍去)此时长为32(米),可使L最短3某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位产
2、品,成本增加100元,已知总营业收入R与年产量x的关系是R(x)则总利润最大时,每年生产的产品是()A100B150C200D300D由题意,得总成本函数为C(x)20 000100x,总利润P(x)R(x)C(x)所以P(x)令P(x)0,得x300,易知x300时,总利润P(x)最大4某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价定为p元,销售量为Q件,则销售量Q与零售价p有如下关系:Q8 300170pp2则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)()A30元B60元C28 000元D23 000元D设毛利润为L(p),由题意知L(p)pQ20QQ(p20)(8 300170pp
3、2)(p20)p3150p211 700p166 000,所以L(p)3p2300p11 700令L(p)0,解得p30或p130(舍去)此时,L(30)23 000因为在p30附近的左侧L(p)0,右侧L(p)0,所以L(30)是极大值,根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23 000元5用长为90 cm,宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个大小相同的小正方形,然后把四边翻转90角,再焊接而成(如图),当容器的体积最大时,该容器的高为()A8 cmB9 cmC10 cmD12 cmC设容器的高为x cm,容器的体积为V(
4、x)cm3,则V(x)(902x)(482x)x4x3276x24 320x(0x24),所以V(x)12x2552x4 320,由V(x)0,得x10或x36(舍),因为当0x0,当10x24时,V(x)0,x时,f(x)0,所以函数f(x)在x时取得极大值,也是最大值,此时正四棱锥的体积最大,底面边长为7已知矩形的两个顶点A、D位于x轴上,另两个顶点B、C位于抛物线y4x2在x轴上方的曲线上,则这个矩形的面积最大为_由题意,设矩形边长AD2x,则AB4x2,矩形面积为S2x(4x2)8x2x3(0x2)S86x2令S0,解得x1,x2(舍去)当0x0;当x2时,S0)所以yx令y0,解得x
5、20因为当x(0,20)时,y0,此时函数单调递增,所以当x20时,y取得最小值,即此轮船以20 km/h的速度行驶时,每千米的费用总和最小三、解答题9统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为yx8,x(0,120,且甲、乙两地相距100千米,则当汽车以多少千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油量最少?解当速度为x千米/时时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为y升,由题意,得y(0x120),则y(0x120),令y0,得x80,当x(0,80)时,y0,该函数单调递增故当x80时,y取得最小值故汽车以80千米/时的速度
6、匀速行驶时,从甲地到乙地耗油量最少10如图所示,有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线海岸的岸边A处,乙厂与甲厂在海的同侧,乙厂位于离海岸40 km的B处,乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km两厂要在此岸边A,D之间合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元,则供水站C建在何处才能使水管费用最省?解设C点距D点x(km),则AC50x(km),所以BC(km)又设总的水管费用为y元,依题意,得y3a(50x)5a(0x50)y3a令y0,解得x30在x(0,50)上,y只有一个极小值点,根据问题的实际意义,函数在x30(km)处取得最小值,此时AC50x20(km)故
7、供水站建在A,D之间距甲厂20 km处,可使水管费用最省1现有一个帐篷,它下部分的形状是高为1 m的正六棱柱,上部分的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示),当帐篷的体积最大时,帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为()A1 mB mC2 mD3 mC设OO1为x m,则1x4,设底面正六边形的面积为S m2,帐篷的体积为V m3则由题设可得,正六棱锥底面边长为(m),于是S6()2(82xx2),所以V(82xx2)(x1)(82xx2)(82xx2)(x1)3(1612xx3)(1x4),则V(123x2)令V0,解得x2或x2(舍去)当1x0,V单调递增;当2x4时,V0,V单调递减所以
8、当x2(m)时,V最大,故选C2(多选题)用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为21,若长方体的宽为x m,则()A长方体的体积V(x)(9x26x3)m3B长方体的最大体积V3 m3C长方体的体积最大时,长为2 m,宽为1 mD长方体的体积最大时,高为1.5 mBCD设长方体的宽为x m,则长为2x m,高为h3x(m),故长方体的体积为V(x)2x29x26x3,故A错误;从而V(x)18x18x218x(1x),令V(x)0,解得x1或x0(舍去)当0x0;当1x时,V(x)0),则水桶的高为,所以Sr22rr2(r0)求导数,得S2r,令S0,解得r3当
9、0r3时,S3时,S0所以当r3时,圆柱形水桶的表面积最小,即用料最省4为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长为a米,高为b米已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比,现有制箱材料60平方米,问当a_,b_时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A,B孔的面积忽略不计)63设y为流出的水中杂质的质量分数,则y,其中k(k0)为比例系数依题意,即所求的a,b值使y值最小,根据题设,4b2ab2a60(a0,b0),得b(0a3)千元设该容器的建造费用为y千元(1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;(2)求该容器的建造费用最小时的r解(1)设容器的容积为V,由题意知Vr2lr3,又V,故lr由于l2r,因此0r2所以建造费用y2rl34r2c2r34r2c,因此y4(c2)r2,0r2(2)由(1)得y8(c2)r,03,所以c20当r30时,r令m,则m0,所以y(rm)(r2rmm2)当0m时,令y0,得rm当r(0,m)时,y0,所以rm是函数y的极小值点,也是最小值点当m2,即3c时,当r(0,2时,y0,函数单调递减,所以r2是函数y的最小值点综上所述,当3时,建造费用最小时r8