1、利用导数解决实际问题(建议用时：40分钟)一、选择题1某莲藕种植塘每年的固定成本是10 000元，每年最大规模的种植量是40 000斤，每种植一斤莲藕，成本增加0.5元，如果收入函数是R(q)q310 000q2q(q是莲藕的质量，单位：斤)，则要使利润最大，每年莲藕的种植量应为()A10 000斤B12 000斤C20 000斤D20 100斤D设利润为L，则Lq310 000q2q10 0000.5qq310 000q22 010 000q10 000(00)，则L2令L0，得x16或x16(舍去)此时长为32(米)，可使L最短3某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产
2、品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R(x)则总利润最大时，每年生产的产品是()A100B150C200D300D由题意，得总成本函数为C(x)20 000100x，总利润P(x)R(x)C(x)所以P(x)令P(x)0，得x300，易知x300时，总利润P(x)最大4某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q8 300170pp2则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)()A30元B60元C28 000元D23 000元D设毛利润为L(p)，由题意知L(p)pQ20QQ(p20)(8 300170pp
3、2)(p20)p3150p211 700p166 000，所以L(p)3p2300p11 700令L(p)0，解得p30或p130(舍去)此时，L(30)23 000因为在p30附近的左侧L(p)0，右侧L(p)0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元5用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个大小相同的小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成(如图)，当容器的体积最大时，该容器的高为()A8 cmB9 cmC10 cmD12 cmC设容器的高为x cm，容器的体积为V(
4、x)cm3，则V(x)(902x)(482x)x4x3276x24 320x(0x24)，所以V(x)12x2552x4 320，由V(x)0，得x10或x36(舍)，因为当0x0，当10x24时，V(x)0，x时，f(x)0，所以函数f(x)在x时取得极大值，也是最大值，此时正四棱锥的体积最大，底面边长为7已知矩形的两个顶点A、D位于x轴上，另两个顶点B、C位于抛物线y4x2在x轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大为_由题意，设矩形边长AD2x，则AB4x2，矩形面积为S2x(4x2)8x2x3(0x2)S86x2令S0，解得x1，x2(舍去)当0x0；当x2时，S0)所以yx令y0，解得x
5、20因为当x(0，20)时，y0，此时函数单调递增，所以当x20时，y取得最小值，即此轮船以20 km/h的速度行驶时，每千米的费用总和最小三、解答题9统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为yx8，x(0，120，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以多少千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少？解当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为y升，由题意，得y(0x120)，则y(0x120)，令y0，得x80，当x(0，80)时，y0，该函数单调递增故当x80时，y取得最小值故汽车以80千米/时的速度
6、匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少10如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？解设C点距D点x(km)，则AC50x(km)，所以BC(km)又设总的水管费用为y元，依题意，得y3a(50x)5a(0x50)y3a令y0，解得x30在x(0，50)上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x30(km)处取得最小值，此时AC50x20(km)故
7、供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省1现有一个帐篷，它下部分的形状是高为1 m的正六棱柱，上部分的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示)，当帐篷的体积最大时，帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为()A1 mB mC2 mD3 mC设OO1为x m，则1x4，设底面正六边形的面积为S m2，帐篷的体积为V m3则由题设可得，正六棱锥底面边长为(m)，于是S6()2(82xx2)，所以V(82xx2)(x1)(82xx2)(82xx2)(x1)3(1612xx3)(1x4)，则V(123x2)令V0，解得x2或x2(舍去)当1x0，V单调递增；当2x4时，V0，V单调递减所以
8、当x2(m)时，V最大，故选C2(多选题)用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，若长方体的宽为x m，则()A长方体的体积V(x)(9x26x3)m3B长方体的最大体积V3 m3C长方体的体积最大时，长为2 m，宽为1 mD长方体的体积最大时，高为1.5 mBCD设长方体的宽为x m，则长为2x m，高为h3x(m)，故长方体的体积为V(x)2x29x26x3，故A错误；从而V(x)18x18x218x(1x)，令V(x)0，解得x1或x0(舍去)当0x0；当1x时，V(x)0)，则水桶的高为，所以Sr22rr2(r0)求导数，得S2r，令S0，解得r3当
9、0r3时，S3时，S0所以当r3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省4为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a米，高为b米已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a_，b_时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)63设y为流出的水中杂质的质量分数，则y，其中k(k0)为比例系数依题意，即所求的a，b值使y值最小，根据题设，4b2ab2a60(a0，b0)，得b(0a3)千元设该容器的建造费用为y千元(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r解(1)设容器的容积为V，由题意知Vr2lr3，又V，故lr由于l2r，因此0r2所以建造费用y2rl34r2c2r34r2c，因此y4(c2)r2，0r2(2)由(1)得y8(c2)r，03，所以c20当r30时，r令m，则m0，所以y(rm)(r2rmm2)当0m时，令y0，得rm当r(0，m)时，y0，所以rm是函数y的极小值点，也是最小值点当m2，即3c时，当r(0，2时，y0，函数单调递减，所以r2是函数y的最小值点综上所述，当3时，建造费用最小时r8