1、第2课时利用导数求解含参数的函数极值问题课时过关能力提升1.若函数y=x3-3ax+a在(1,2)内有极小值,则实数a的取值范围是()A.(1,2)B.(1,4)C.(2,4)D.(-,1)或(4,+)解析:y=x3-3ax+a,y=3x2-3a.当a0,则y0,此时函数在(1,2)内是增加的,无极值点不合题意;当a0时,令y=3x2-3a=0,解得x=a.易知x=a为极小值点,1a2,1a4.答案:B2.若x=-2与x=4是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点,则()A.a=-2,b=4B.a=-3,b=-24C.a=1,b=3D.a=2,b=-4解析:f(x)=3x2+2ax+b.
2、由题意,知x=-2和x=4是方程3x2+2ax+b=0的两个根,所以有-2a3=-2+4,b3=-24,解得a=-3,b=-24.答案:B3.若函数f(x)=x33-a2x2+x+1在区间12,3内有极值点,则实数a的取值范围是()A.2,52 B.2,52 C.2,103 D.2,103解析:因为函数f(x)=x33-a2x2+x+1,所以f(x)=x2-ax+1.若函数f(x)=x33-a2x2+x+1在区间12,3内有极值点,则f(x)=x2-ax+1在区间12,3内有零点.由x2-ax+1=0,得a=x+1x.因为x12,3,所以2a0,b0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2
3、在x=1处有极值,则ab的最大值等于()A.2B.3C.6D.9解析:函数的导数为f(x)=12x2-2ax-2b,由函数f(x)在x=1处有极值,可知函数f(x)在x=1处的导数值为零,即12-2a-2b=0,所以a+b=6,由题意知a,b都是正实数,所以aba+b22=622=9,当且仅当a=b=3时取到等号.答案:D5.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR).若x=-1为函数y=f(x)ex的一个极值点,则下列图像不可能为y=f(x)的图像的是()解析:f(x)ex=f(x)ex+f(x)(ex)=f(x)+f(x)ex,且x=-1为函数y=f(x)ex的一个极值点,f(-1)
4、+f(-1)=0;选项D中,f(-1)0,f(-1)0,不满足f(-1)+f(-1)=0.答案:D6.设函数f(x)=12x2-9ln x在区间a-1,a+1上是减少的,则实数a的取值范围是()A.1a2B.a4C.a2D.00).当x-9x0时,有00,且a+13,解得10)的极大值为正数,极小值为负数,则a的取值范围是.解析:f(x)=3x2-3a2=3(x-a)(x+a)(a0),f(x)0时,得xa或x-a;f(x)0时,得-axa.当x=a时,f(x)有极小值,x=-a时,f(x)有极大值.由题意,得a3-3a3+2a0,a0,解得a1.答案:(1,+)9.函数f(x)=aln x+
5、bx2+3x的极值点为x1=1,x2=2,则a=,b=.解析:f(x)=ax+2bx+3=2bx2+3x+ax,函数的极值点为x1=1,x2=2,x1=1,x2=2是方程f(x)=2bx2+3x+ax=0的两根,即2bx2+3x+a=0的两根.由根与系数的关系,知x1+x2=-32b=1+2,x1x2=a2b=12,解得a=-2,b=-12.答案:-2-1210.已知某质点的运动方程为s(t)=t3+bt2+ct+d,如图是其运动轨迹的一部分,若当t12,4时,s(t)0;当t(1,3)时,s(t)0.当t=1时,s(t)取得极大值4+d.又s(4)=4+d,当t12,4时,s(t)的最大值为
6、4+d;当t12,4时,s(t)3d2恒成立,4+d43或d0),x=2时,f(x)取得极值,f(2)=0,解得a=-34,经检验知符合题意.(2)函数f(x)的定义域为(0,+),依题意f(x)0在x0时恒成立,即ax2+2x-10在x0恒成立,则a1-2xx2=1x-12-1在x0恒成立,即a1x-12-1min(x0).当x=1时,1x-12-1取最小值-1,a的取值范围是(-,-1.(3)a=-12,f(x)=-12x+b,即14x2-32x+ln x-b=0.设g(x)=14x2-32x+ln x-b(x0),则g(x)=(x-2)(x-1)2x.列表:x(0,1)1(1,2)2(2
7、,4)g(x)+0-0+g(x)极大值极小值g(x)的极小值为g(2)=ln 2-b-2,极大值为g(1)=-b-54.g(4)=2ln 2-b-2,又方程g(x)=0在1,4上恰有两个不相等的实数根,则g(1)0,g(2)0,g(4)0,解得ln 2-2b-54.12.已知函数f(x)=ax+ln x,其中a为常数.(1)当a=-1时,求f(x)的最大值;(2)若f(x)在区间(0,e上的最大值为-3,求a的值.解:(1)当a=-1时,f(x)=-x+ln x,得函数f(x)的定义域为(0,+).f(x)=-1+1x=1-xx,令f(x)=0,得x=1.当0x0;当x1时,f(x)0.f(x)在(0,1)上是增加的,在(1,+)上是减少的.f(x)max=f(1)=-1.故函数f(x)在(0,+)上的最大值为-1.(2)f(x)=a+1x,x(0,e时,1x1e,+.若a-1e,则f(x)0,f(x)在(0,e上是增函数,f(x)max=f(e)=ae+10,不合题意;若a0,即a+1x0,得0x-1a;由f(x)0,即a+1x0,得-1axe.从而f(x)在0,-1a上是增加的,在-1a,e上是减少的,f(x)max=f-1a=-1+ln-1a.令-1+ln-1a=-3,则ln-1a=-2.-1a=e-2,即a=-e2.-e2-1e,a=-e2即为所求.7
