1、4数学归纳法第1课时数学归纳法1.用数学归纳法证明等式1+2+3+(n+3)=(n+3)(n+4)2(nN+)时,验证当n=1时,等式的左边为()A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+4答案:D2.若Sk=1k+1+1k+2+1k+3+12k,则Sk+1为()A.Sk+12k+2B.Sk+12k+1+12k+2C.Sk+12k+1-12k+2D.Sk+12k+2-12k+1解析:Sk+1=1k+2+1k+3+12k+12k+1+12k+2=Sk+12k+1+12k+2-1k+1=Sk+12k+1-12k+2.答案:C3.已知f(n)=1n+1n+1+1n+2+1n2,则()A.f(n)
2、中共有n项,当n=2时,f(2)=12+13B.f(n)中共有n+1项,当n=2时,f(2)=12+13+14C.f(n)中共有n2-n项,当n=2时,f(2)=12+13D.f(n)中共有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=12+13+14答案:D4.某个命题与正整数n有关,如果当n=k(kN+)时,该命题成立,那么可推得当n=k+1时命题也成立,现在已知当n=5时,该命题不成立,那么可推得()A.当n=6时,该命题不成立B.当n=6时,该命题成立C.当n=4时,该命题不成立D.当n=4时,该命题成立解析:“若当n=k时命题成立,则当n=k+1时该命题也成立”的等价命题是“若当n=k+1时
3、命题不成立,则当n=k时命题也不成立”.故选C.答案:C5.用数学归纳法证明12+32+52+(2n-1)2=13n(4n2-1)的过程中,由n=k递推到n=k+1时,不等式左边增加的项为()A.(2k)2B.(2k+3)2C.(2k+2)2D.(2k+1)2解析:假设当n=k时等式成立,即12+32+52+(2k-1)2=13k(4k2-1),则当n=k+1时,12+32+52+(2k-1)2+(2k+1)2=13k(4k2-1)+(2k+1)2.故等式左边增加的项是(2k+1)2.答案:D6.已知1+23+332+433+n3n-1=3n(na-b)+14对一切nN+都成立,则a,b的值为
4、()A.a=12,b=14B.a=b=14C.a=0,b=14D.a=14,b=12解析:1+23+332+433+n3n-1=3n(na-b)+14对一切nN+都成立,当n=1,2时有1=3(a-b)+14,1+23=32(2a-b)+14,即1=3a-3b+14,7=18a-9b+14,解得a=12,b=14.答案:A7.证明:假设当n=k(kN+)时等式成立,即2+4+2k=k2+k,那么2+4+2k+2(k+1)=k2+k+2(k+1)=(k+1)2+(k+1),即当n=k+1时等式也成立.因此对于任何nN+等式都成立.以上用数学归纳法证明“2+4+2n=n2+n(nN+)”的过程中的
5、错误是.(只填序号)缺少归纳基础;未使用归纳假设;从n=k到n=k+1时的推理错误.答案:8.用数学归纳法证明:12+122+123+12n-1+12n=1-12n(nN+).证明:(1)当n=1时,左边=12,右边=1-12=12,等式成立.(2)假设当n=k(k1,kN+)时等式成立,即12+122+123+12k-1+12k=1-12k,则当n=k+1时,左边=12+122+123+12k-1+12k+12k+1=1-12k+12k+1=1-2-12k+1=1-12k+1,所以当n=k+1时,等式成立.故由(1)和(2)知,对任意nN+,等式成立.9.已知数列an的前n项和Sn=1-na
6、n(nN+).(1)计算a1,a2,a3,a4;(2)猜想an的表达式,并用数学归纳法证明你的结论.解:(1)分别将n=1,2,3,4代入Sn=1-nan,得a1=12,a2=16,a3=112,a4=120.(2)猜想an=1n(n+1).下面用数学归纳法证明:当n=1时,猜想显然成立.假设n=k(k1,kN+)时,猜想成立,即ak=1k(k+1).那么,当n=k+1时,Sk+1=1-(k+1)ak+1,即Sk+ak+1=1-(k+1)ak+1.又Sk=1-kak=kk+1,所以kk+1+ak+1=1-(k+1)ak+1,从而ak+1=1(k+1)(k+2)=1(k+1)(k+1)+1.即当n=k+1时,猜想也成立.故由和可知,猜想成立.5
