1、7.4空间直线、平面的垂直必备知识预案自诊知识梳理1.直线与直线所成的角一般地,如果a,b是空间中的两条异面直线,过空间中一点,分别作与a,b的直线a,b,则所成角的大小,称为异面直线a与b所成角的大小.规定空间中两条平行直线所成角的大小为.两条直线所成的角也称为这两条直线的.特别地,空间中两条直线l,m所成角的大小为时,称l与m,记作lm.2.直线与平面垂直的定义文字语言图形语言符号语言直线l与平面垂直的充要条件是如果直线l与平面内的直线都垂直,直线l叫做平面的垂线,平面叫做直线l的垂面,它们唯一的公共点P叫做垂足lm,lm3.直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言如果一条直线与一
2、个平面内的直线垂直,则这条直线与这个平面垂直m,n,mn,lm,lnl4.直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言如果两条直线垂直于同一个平面,那么两条直线lm5.直线与平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和所成的锐角.(2)规定:一条直线垂直于平面,它们所成的角是;一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是.(3)取值范围:.6.二面角概念平面内的一条直线把一个平面分成两部分,其中的每一部分都称为一个.从一条直线出发的所组成的图形称为二面角.这条直线称为二面角的,这两个半平面称为二面角的.平面角的定义在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于的射线,则这两
3、条射线所组成的称为二面角的平面角图示符号OA,OB,=l,Ol,OAl,OBlAOB是二面角的平面角范围7.平面与平面垂直一般地,如果两个平面与所成角的大小为,则称这两个平面互相垂直,记作.8.面面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言如果一个平面经过另外一个平面的,则这两个平面互相垂直l9.面面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言如果两个平面互相垂直,那么在垂直于的直线垂直于另一个平面=ma直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(
4、4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直.(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)已知直线a,b,c,若ab,bc,则ac.()(2)直线l与平面内的无数条直线都垂直,则l.()(3)设m,n是两条不同的直线,是一个平面,若mn,m,则n.()(4)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()(5)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线,则.()2.(2020黑龙江大庆高三三模)设l,m,n均为直线,其中m,n在平面内,“l”是“lm,且ln”的
5、()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,PA=1,则侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是()A.30B.45C.60D.904.(2020新高考全国1,4)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40,则晷针与点A处的水平面所成的角
6、为()A.20B.40C.50D.905.(多选)如图,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,点C是圆周上异于A,B任意一点,则下列结论中正确的是()A.PBACB.PCBCC.AC平面PBCD.平面PAC平面PBC关键能力学案突破考点线面垂直的判定与性质(多考向探究)考向1证明线面垂直【例1】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB平面PAD,ABDC,PD=AD,E是PB的中点,F是DC上的点,且DF=12AB,PH为PAD中AD边上的高.求证:(1)PH平面ABCD;(2)EF平面PAB.考向2证明线线垂直【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为D1D的中点,O为底面ABCD的中
7、心,求证:B1OAP.解题心得证明直线与平面垂直与利用线面垂直的性质证明线线垂直的通法是线面垂直的判定定理的应用,其思维流程为:对点训练1如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,ACB=90,D是A1B1的中点,F在BB1上.(1)求证:C1D平面AA1B1B;(2)在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可以使AB1平面C1DF?请选择并证明你的结论.F为BB1的中点;AB1=3;AA1=2.考点面面垂直的判定与性质【例3】(一题多解)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABAC,ABPA,ABCD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.求证:(1)C
8、E平面PAD;(2)平面EFG平面EMN.思维变式1(变设问)在本例条件下,证明:平面EMN平面PAC.思维变式2(变设问)在本例条件下,证明:平面EFG平面PAC.解题心得1.面面垂直判定的2种方法与1个转化(1)2种方法:面面垂直的定义;面面垂直的判定定理.(2)1个转化:在已知两个平面垂直时,一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.2.面面垂直性质的应用(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”.(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.考点垂直关系中的探索性问
9、题【例4】如图,在三棱台ABC-DEF中,CF平面DEF,ABBC.(1)设平面ACE平面DEF=a,求证:DFa;(2)若EF=CF=2BC,试问在线段BE上是否存在点G,使得平面DFG平面CDE?若存在,请确定G点的位置;若不存在,请说明理由.解题心得(1)对于线面关系中的存在性问题,首先假设存在,然后在该假设条件下,利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证,寻找假设满足的条件,若满足则肯定假设,若得出矛盾的结论则否定假设.(2)对于探索性问题用向量法比较容易入手,一般先假设存在,设出空间点的坐标,转化为代数方程是否有解的问题,若有解且满足题意则存在,若有解但不满足题意或无解则不存在.对点
10、训练2如图,在四棱锥S-ABCD中,侧棱SA=SB=SC=SD,底面ABCD是菱形,AC与BD交于O点.(1)求证:AC平面SBD;(2)若E为BC的中点,点P在侧面SCD内及其边界上运动,并保持PEAC,试指出动点P的轨迹,并证明.考点空间位置关系与几何体的度量计算【例5】如图,在四棱锥P-ABCD中,AD平面PCD,ADBC,PDPB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值;(2)求证:PD平面PBC;(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.解题心得1.本题证明的关键是垂直与平行的转化,如由ADBC,ADPD,得PDBC,进而利用线面垂直的判定
11、定理证明PD平面PBC.2.利用综合法求空间线线角、线面角、二面角一定注意“作角、证明、计算”是完整统一过程,缺一不可.(1)线面角的求法:找出斜线在平面上的射影,关键是作垂线,找垂足,要把线面角转化到一个三角形中求解.(2)二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有:定义法;垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.对点训练3如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB.(1)证明:PEFG.(2)求二面角P-AD-C的平面角的正切值.(3)求直线PA与
12、直线FG所成的角的余弦值.类型一将平面图形折叠成立体图形【例1】(2020山东德州一中高考模拟)如图是正四棱锥P-ABCD的平面展开图,其中点P1,P2,P3,P4是顶点P展开后的四个点,E,F,G,H分别为P3A,P2D,P4C,P4B的中点,在此四棱锥中,给出下面五个结论:平面EFGH平面ABCD;PA平面BDG;EF平面PBC;FH平面BDG;EF平面BDG.其中正确结论的序号是.答案解析先把平面展开图还原为一个四棱锥,如图所示.E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点EFAD,GHBC.ADBC,EFGH,EF,GH确定平面EFGH.EF平面EFGH,AD平面EFGH,AD平面
13、EFGH,同理AB平面EFGH,ABAD=A,AB,AD平面ABCD,平面EFGH平面ABCD,故正确;连接AC,BD交于点O,则O为AC中点,连接OG,G为PC中点,OGPA,OG平面BDG,PA平面BDG,PA平面BDG,故正确;E,F分别为PA,PD的中点,EFAD.四边形ABCD为正方形,ADBC,EFBC.又BC平面PBC,EF平面PBC,EF平面PBC.故正确;连接FH,F,H为PD,PB的中点,FHBD.BD平面BDG,FH平面BDG,FH平面BDG.故正确;由题知,EFGH,GH与平面BDG相交,EF与平面BDG相交,故错误.故答案为.解题心得画折叠图形一般以某个面为基础,依次
14、将其余各面翻折,当然,画图之前要对翻折后形成的立体图形有所认识,这是解答此类问题的关键.对点训练1如图是一个正方体表面的一种平面展开图,图中的四条线段AB,CD,EF和GH在原正方体中相互异面的有对.类型二折叠中的“变”与“不变”【例2】如图1,在等腰直角三角形ABC中,A=90,BC=6,D,E分别是AC,AB上的点,CD=BE=2,O为BC的中点.将ADE沿DE折起,得到如图2所示的四棱锥A-BCDE,其中AO=3.(1)证明:AO平面BCDE;(2)求二面角A-CD-B的平面角的余弦值.(1)证明在图1中,易得OC=3,AC=32,AD=22.连接OD,OE,在OCD中,由余弦定理可得O
15、D=OC2+CD2-2OCCDcos45=5.由翻折不变性可知AD=22,所以AO2+OD2=AD2,所以AOOD.同理可证AOOE.又ODOE=O,OD,OE均是平面BCDE中的直线,所以AO平面BCDE.(2)解过点O作OHCD交CD的延长线于点H,连接AH,因为AO平面BCDE,所以AHCD,所以AHO为二面角A-CD-B的平面角.结合图1可知,OH=12AB=322,从而AH=OH2+OA2=302,所以cosAHO=OHAH=155,所以二面角A-CD-B的平面角的余弦值为155.解题心得折叠中的“变”与“不变”一般地,在同一半平面内的几何元素之间的关系是不变的.涉及两个半平面内的几
16、何元素之间的关系是要变化的.分别位于两个半平面内,但垂直于折叠棱的直线翻折后仍然垂直于折叠棱.对点训练2(2020安徽肥东综合高中二模)如图1,在边长为4的正方形ABCD中,点E,F分别是AB,BC的中点,点M在AD上,且AM=14AD,将AED,DCF分别沿DE,DF折叠,使A,C两点重合于点P,如图2所示.(1)试判断PB与平面MEF的位置关系,并给出证明;(2)求二面角M-EF-D的平面角的余弦值.类型三立体图形的表面展开图的应用【例3】如图,在一个底面直径是5 cm,高为2 cm的圆柱形玻璃杯子的上沿B处有一只苍蝇,而恰好在相对的底沿A处有一只蜘蛛,A,B两点是圆柱的一个轴截面的顶点,
17、蜘蛛要想用最快的速度捕捉到这只苍蝇,蜘蛛所走的最短的路程是.答案412 cm解析利用侧面展开图,如图,蜘蛛所走的最短的路程是线段AB的长,AC=125=52(cm),BC=2cm,则AB=(2)2+(52)2=412cm,即蜘蛛所走的最短的路程是412cm.解题心得求从一点出发沿几何体表面到另一点的最短距离问题:通常把几何体的侧面展开,转化为平面图形中的距离问题.对点训练3如图所示,已知圆锥中,底面半径r=1,母线长l=4,M为母线SA上的一个点,且SM=x,从点M拉一根绳子,围绕圆锥侧面转到点A.求:(1)绳子的最短长度的平方f(x);(2)绳子最短时,圆锥的顶点S到绳子的最短距离;(3)f
18、(x)的最大值.指点迷津(二)球与空间几何体的切接问题1.外接球的问题球面经过多面体的所有顶点的球,叫多面体的外接球.球面经过旋转体的底面圆周和顶点(如果有顶点的话)的球,叫旋转体的外接球.解决外接球的问题,要注意球心到顶点的距离就是球的半径,长方体外接球的直径就是长方体的对角线长,三棱锥的外接球要找出三棱锥的底面截球所得的截面圆,画出以这个截面圆的直径为弦的球的大圆,把问题转化为研究圆的问题,利用大圆的弦(三棱锥底面外接圆的直径)和球半径之间的关系,求出球的半径,那么问题就容易解决了.旋转体的外接球问题,要画出轴截面,把问题转化为平面几何中圆的问题来解决.【例1】(1)三棱锥P-ABC中,A
19、B=BC=15,AC=6,PC平面ABC,PC=2,则该三棱锥的外接球的表面积为()A.253B.252C.833D.832(2)已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆,则该圆锥的外接球的表面积是()A.43B.4C.163D.16(3)正四面体的各条棱长都为2,则该正四面体外接球的体积为.思路分析计算空间几何体外接球的表面积和体积,关键是求出球的半径,结合球心与截面圆圆心的距离、球半径、截面圆半径所构造的直角三角形勾股关系求解.答案(1)D(2)C(3)32解析(1)由题可知,ABC中AC边上的高为15-32=6,球心O在底面ABC的投影即为ABC的外心D,设DA=DB=DC=x,所以x2
20、=32+(6-x)2,解得x=546.易证PC=2OD,所以R2=x2+PC22=758+1=838(其中R为三棱锥外接球的半径),所以外接球的表面积S=4R2=832,故选D.(2)设圆锥底面半径为r,则2r=2,故r=1,所以圆锥轴截面为边长为2的正三角形,圆锥外接球球心是正三角形中心,外接球半径是正三角形外接圆半径R=23322=233,所以该圆锥外接球的表面积为4R2=163,故选C.(3)将正四面体补成一个正方体,如图,则正方体棱长为1,正方体对角线长为3,因为正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长,所以外接球的体积为43R3=43323=32.方法总结要求外接球的表面积和体积,关
21、键是求出球的半径,求外接球半径的常见方法有:若三棱锥的三条棱两两垂直则用4R2=a2+b2+c2(a,b,c为三条棱的长);若SA平面ABC(SA=a),则4R2=4r2+a2(r为ABC外接圆半径);可以转化为长方体的外接球;特殊几何体可以直接找出球心和半径.变式发散若本例(1)中,三棱锥P-ABC的底面ABC变为边长为3的等边三角形,其他条件不变,求该三棱锥外接球的表面积.2.内切球的问题与多面体(或旋转体)的各个面都相切的球,叫做多面体(或旋转体)的内切球.解答内切球的问题时,首先要找准切点,通过部分切点和球心作球的大圆截面来解决.如正四面体的内切球,要用两个切点和球心三点确定的平面作截
22、面,如图截面三角形只有两条边和球的大圆相切,有了这个截面图形,问题转化为三角形和圆的问题,再利用切点是等边三角形的中心,那么问题很容易解决.【例2】设球O内切于正三棱柱ABC-A1B1C1,则球O的体积与正三棱柱ABC-A1B1C1的体积的比值为.答案2327解析设球O半径为R,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,则R=1332a=36a,即a=23R.又正三棱柱ABC-A1B1C1的高为2R,所以球O的体积与正三棱柱ABC-A1B1C1的体积的比值为43R334a22R=43R33412R22R=2327.方法总结处理球的“切”问题的求解策略与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体与
23、旋转体,解答时首先要找准切点,通过作截面来解决.如果内切于多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.对点练习1(2020陕西榆林高三模拟)已知正四面体A-BCD外接球的体积为86,则这个四面体的表面积为()A.183B.163C.143D.123对点练习2球O与棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的各个面都相切,点M为棱DD1的中点,则平面ACM截球O所得截面的面积为()A.43B.C.23D.3对点练习3已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计),现从该三棱锥顶端向内注水,小球慢慢上浮,当注入的水的体积是该三棱锥体积的78时,小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切),则小球的表面积等于()A.76B.43C.23D.2
