1、第3讲 不等式 考情分析 总纲目录 考点一 不等式的解法及应用 考点二 基本不等式及其应用 考点三 简单的线性规划问题（高频考点）考点一 不等式的解法及应用 1.一元二次不等式的解法把一元二次不等式先化为一般形式ax2+bx+c0(a0),再求相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根,最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集.2.简单分式不等式的解法(1)0(0(0,则x的取值范围是 .21,1,2log,1,xxx x答案(1)D(2)(-1,3)解析(1)当x1时,由 2=,得x-1;当x1时,由log2x2=log24,得x4.故不等式f(x)2的解集为
2、(-,-14,+).(2)f(2)=0,f(x-1)0,f(x-1)f(2),又f(x)是偶函数,f(|x-1|)f(2),又f(x)在0,+)上单调递减,|x-1|2,-2x-12,-1x2,则x0的取值范围是()A.(-,-1)(2,+)B.(-,-1)C.(-,-1)D.(-,-1)2,+)223,2,32,2,xxxxx5,25,2答案B 不等式f(x0)2可化为 或 解得x0 或x00对一切aR恒成立,原不等式等价于(a+1)(a+2)0,a-1,故所求a的取值范围是(-,-2)(-1,+).11aa2aa21a 2aa 234(1)(2)aaaa考点二 基本不等式及其应用 1.三个
3、重要不等式(1)a,bR+,a+b2,当且仅当a=b时取等号.(2)a,bR,a2+b22ab,当且仅当a=b时取等号.(3)a,bR,ab ,当且仅当a=b时取等号.ab22ab222ab2.利用基本不等式求最大值、最小值的基本法则(1)如果x0,y0,xy=p(定值),当x=y时,x+y有最小值2.(简记:积定,和有最小值)(2)如果x0,y0,x+y=s(定值),当x=y时,xy有最大值 s2.(简记:和定,积有最大值)p14典型例题 (1)(2017山东,12,5分)若直线+=1(a0,b0)过点(1,2),则2a+b的最小值为 .(2)(2017天津,13,5分)若a,bR,ab0,
4、则 的最小值为 .xayb4441abab答案8 4解析(1)由题设可得+=1,a0,b0,2a+b=(2a+b)=2+24+2=8.故2a+b的最小值为8.(2)a4+4b42a22b2=4a2b2(当且仅当a2=2b2时“=”成立),=4ab+,由于ab0,4ab+2=4 当且仅当4ab=时“=”成立,故当且仅当 时,的最小值为4.1a2b12abba4ab4baab4,2,babaab当且仅当即时 等号成立4441abab2241a bab1ab1ab14ab ab1ab222,14ababab4441abab利用基本不等式求最值应注意的问题(1)利用基本不等式必须注意“一正二定三相等”
5、的原则.(2)基本不等式在解题时一般不能直接应用,而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”,即把研究对象化成适用基本不等式的形式,常见的转化方法有:x+=x-a+a(xa);若+=1,则mx+ny=(mx+ny)1=(mx+ny)=ma+nb+ma+nb+2(字母均为正数).(3)两次连用基本不等式,要注意等号取得条件的一致性.bxabxaaxbyabxynayxmbxyabmn方法归纳跟踪集训 1.若a,b都是正数,则 的最小值为()A.7 B.8 C.9 D.101ba41ab答案C a,b都是正数,=5+5+2=9,当且仅当b=2a0时取等号.故选C.1ba41abba4
6、ab4baab2.已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是 .答案 3解析 由题意得,y=(0 x),2x+y=2x+=3,当且仅当x=y=1时,等号成立.232xx3232xx2332xx321xx考点三 简单的线性规划问题(高频考点)命题点1.求可行域的面积.2.求目标函数的最值.3.由最优解情况或可行域情况确定参数的值(范围).1.平面区域的确定方法平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”,二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的区域的交集.2.线性目标函数z=ax+by最值的确定方法线性目标函数z=ax+by中的z不是直线ax+by=z在y轴上的截距
7、,把目标函数化为y=-x+可得 是直线ax+by=z在y轴上的截距,要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值.abzbzb典型例题 (1)(2017课标全国,5,5分)设x,y满足约束条件 则z=x-y的取值范围是()A.-3,0 B.-3,2C.0,2 D.0,3(2)(2017湖北四校第一次联考)若变量x,y满足约束条件 则z=(x-1)2+y2的最大值为()A.4 B.C.17 D.163260,0,0,xyxy 20,260,2,xyxyx 17(3)(2017江西五市部分学校第三次联考)已知实数x,y满足不等式组 若点P(2a+b,3a-b)在该不等式组
8、所表示的平面区域内,则 的取值范围是()A.-12,-7 B.C.D.-12,-21,2,4,xyxy 21ba97,2912,2解析(1)由题意,画出可行域(如图中阴影部分所示),易知A(0,3),B(2,0).由图可知,目标函数z=x-y在点A,B处分别取得最小值与最大值,zmin=0-3=-3,zmax=2-0=2,故z=x-y的取值范围是-3,2.故选B.(2)z=(x-1)2+y2表示平面区域内的点(x,y)与点P(1,0)间距离的平方.画出约答案(1)B(2)C(3)C束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示,易知P(1,0)与A(2,4)间的距离最大,因此zmax=(2-1)2+
9、42=17.(3)因为点P(2a+b,3a-b)在不等式组 所表示的平面区域内,所以 即 其表示的平面区域是以A,B,1,2,4xyxy 21,32,234,abababab21,32,54,ababa43,554 2,5 5C 为顶点的三角形区域(包括边界).可看作是可行域内的点与点M(1,-2)连线的斜率,所以kMB kMC,即-12-.31,5521ba21ba21ba92解决线性规划应注意的问题(1)首先要找到可行域,再注意目标函数所表示的几何意义,找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点),但要注意作图一定要准确,整点问题要验证解决.(2)画可行域时应注意区域是否包含边界.(
10、3)对目标函数z=Ax+By中B的符号,一定要注意B的正负与z的最值的对应,要结合图形分析.方法归纳跟踪集训 1.(2017课标全国,7,5分)设x,y满足约束条件 则z=x+y的最大值为()A.0 B.1 C.2 D.333,1,0,xyxyy 答案D 作出约束条件表示的可行域如图:平移直线x+y=0,可得目标函数z=x+y在A(3,0)处取得最大值,zmax=3,故选D.2.(2017广东惠州第三次调研)已知x,y满足约束条件 若z=ax+y的最大值为4,则a=()A.3 B.2 C.-2 D.-30,2,0.xyxyy 答案 B 作出可行域如图.当a0时,显然z=ax+y的最大值不为4;
11、当a=0时,z=y在B(1,1)处取得最大值,为1,不符合题意;当0a1时,z=ax+y在A(2,0)处取得最大值,zmax=2a=4,得a=2,符合题意.综上,a=2.1.已知关于x的不等式(ax-1)(x+1)b0,且ab=1,则下列不等式成立的是()A.a+log2(a+b)B.log2(a+b)a+C.a+log2(a+b)D.log2(a+b)a+0,b0,若不等式-0恒成立,则m的最大值为()A.4 B.16 C.9 D.33mab3a1b答案B a0,b0,由-0恒成立得m(3a+b)=10+恒成立.+2=6,当且仅当a=b时等号成立,故10+16,m16,即m的最大值为16.故选B.3mab3a1b31ab3ba3ab3ba3ab33baab3ba3ab4.(2017课标全国,7,5分)设x,y满足约束条件 则z=2x+y的最小值是()A.-15 B.-9 C.1 D.92330,2330,30,xyxyy 答案A 根据线性约束条件画出可行域,如图.作出直线l0:y=-2x.平移直线l0,当经过点A时,目标函数取得最小值.由 2330,30 xyy 得点A的坐标为(-6,-3).zmin=2(-6)+(-3)=-15.故选A.
