1、6.4数列求和必备知识预案自诊知识梳理1.基本数列求和方法(1)等差数列求和公式:Sn=n(a1+an)2=na1+n(n-1)2d.(2)等比数列求和公式:Sn=na1,q=1,a1-anq1-q=a1(1-qn)1-q,q1.(3)使用已知求和公式求和的方法,即等差、等比数列或可化为等差、等比数列的求和方法.2.非基本数列求和常用方法(1)倒序相加法:如果一个数列an的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.(2)分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用
2、分组求和法,分别求和后再相加减.如已知an=2n+(2n-1),求Sn.(3)并项求和法:若一个数列的前n项和中两两结合后可求和,则可用并项求和法.如已知an=(-1)nf(n),求Sn.(4)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.(5)裂项相消法:把数列的通项公式拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.常见的裂项公式:1n(n+k)=1k1n-1n+k;1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1;1n(n+1)(n+2)=121n(
3、n+1)-1(n+1)(n+2);1n+n+k=1k(n+k-n).常用求和公式(1)1+2+3+4+n=n(n+1)2;(2)1+3+5+7+(2n-1)=n2;(3)12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)6;(4)13+23+33+n3=n(n+1)22.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)当n2时,1n2-1=1n-1-1n+1.()(2)利用倒序相加法可求得sin21+sin22+sin23+sin288+sin289=44.5.()(3)若Sn=a+2a2+3a3+nan,则当a0,且a1时,Sn的值可用错位相减法求得.()(4)如果数列an
4、是周期为k的周期数列,那么Skm=mSk(m,k为大于1的正整数).()(5)已知等差数列an的公差为d,则有1anan+1=1d1an-1an+1.()2.已知数列an满足:当n2且nN*时,有an+an-1=(-1)n3.则数列an的前200项的和为()A.300B.200C.100D.03.(2020山东滨州模拟)若数列an的通项公式为an=2n+2n-1,则该数列的前10项和为()A.2 146B.1 122C.2 148D.1 1244.已知数列an,若an+1=an+an+2(nN*),则称数列an为“凸数列”.已知数列bn为“凸数列”,且b1=1,b2=-2,则数列bn的前2 0
5、20项和为()A.5B.-5C.0D.-45.(2020湖南湘潭高三第三次模拟)已知等差数列an的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.令bn=1anan+1,则数列bn的前50项和T50=.关键能力学案突破考点分组求和【例1】已知an是等差数列,bn是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求an的通项公式;(2)设cn=an+bn,求数列cn的前n项和.解题心得1.分组转化求和数列求和应从通项公式入手,若无通项公式,则先求通项公式,然后通过对通项公式变形,转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和.2.分组转化法求和的常见类型对点训练1(20
6、20山东栖霞高三模拟)在a1=-8,a2=-7,an+1=kan+1(nN+,kR);若an为等差数列,且a3=-6,a7=-2;设数列an的前n项和为Sn,且Sn=12n2-172n(nN+)这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答.在数列an中,.记Tn=|a1|+|a2|+|a3|+|an|,求T20.考点错位相减求和【例2】(2020全国1,理17)设an是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.(1)求an的公比;(2)若a1=1,求数列nan的前n项和.解题心得错位相减法求和的基本步骤及注意事项(1)基本步骤(2)注意事项在写出Sn与qSn的表达式时,应特别注意将两
7、式“错位对齐”,以便下一步准确写出Sn-qSn;作差后,应注意减式中所剩各项的符号要变号.对点训练2(2020全国3,理17)设数列an满足a1=3,an+1=3an-4n.(1)计算a2,a3,猜想an的通项公式并加以证明;(2)求数列2nan的前n项和Sn.考点裂项相消求和(多考向探究)考向1形如an=1n(n+k)【例3】(2020湖南湘东六校联考)已知数列an的前n项和Sn满足Sn=Sn-1+1(n2,nN*),且a1=1.(1)求数列an的通项公式an;(2)记bn=1anan+1,求数列bn的前n项和Tn.考向2形如an=1(n+k)+n【例4】已知函数f(x)=x的图像过点(4,
8、2),令an=1f(n+1)+f(n),nN*.记数列an的前n项和为Sn,则S2 020=()A.2019-1B.2020-1C.2021-1D.2021+1考向3形如an=kan(an-1)(an+1-1)(a0,a1)【例5】已知数列an满足a1=3,an+1=2an-n+1,数列bn满足b1=2,bn+1=bn+an-n,nN*.(1)证明:an-n为等比数列;(2)数列cn满足cn=an-n(bn+1)(bn+1+1),求证数列cn的前n项和Tn13.解题心得裂项法求和的基本步骤注意:在应用裂项相消法求和时,消项的规律具有对称性,即消项后前面剩多少项,后面就剩多少项.对点训练3(1)已知数列an的前n项和为Sn,a1=12,2Sn=Sn-1+1(n2,nN*).求数列an的通项公式;记bn=log12an(nN*),求1bnbn+1的前n项和Tn.(2)已知数列an满足a1+4a2+42a3+4n-1an=n4(nN*).求数列an的通项公式;设bn=4nan2n+1,求数列bnbn+1的前n项和Tn.
