1、题目 第五章平面向量平面向量的数量积高考要求 掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件 知识点归纳 1两个向量的数量积:已知两个非零向量与,它们的夹角为,则=cos叫做与的数量积(或内积) 规定2向量的投影:cos=R,称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义: 等于的长度与在方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系:5乘法公式成立: ;6平面向量数量积的运算律:交换律成立:对实数的结合律成立:分配律成立:特别注意:(1)结合律不成立:;(2)消去律不成立不能得到(3)=0不能得到=或=7两个向量的数量积
2、的坐标运算:已知两个向量,则=8向量的夹角:已知两个非零向量与,作=, =,则AOB= ()叫做向量与的夹角cos=当且仅当两个非零向量与同方向时,=00,当且仅当与反方向时=1800,同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直:如果与的夹角为900则称与垂直,记作10两个非零向量垂直的充要条件:O平面向量数量积的性质题型讲解 例1 判断下列各命题正确与否:(1);(2);(3)若,则;若,则当且仅当时成立;(5)对任意向量都成立;(6)对任意向量,有解:错; 对; 错; 错; 错;对例2已知两单位向量与的夹角为,若,试求与的夹角解:由题意,且与的夹角为,所以,同理可得 而,设为与的夹角
3、,则 点评:向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑例3 已知,按下列条件求实数的值 (1);(2);解:(1);(2);点评:此例展示了向量在坐标形式下的基本运算例4 已知(,),(,),则与的夹角是多少?分析:为求与夹角,需先求及,再结合夹角的范围确定其值解:由(,),(,)有(),记与的夹角为,则cos又,评述:已知三角形函数值求角时,应注重角的范围的确定例5 如图,以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角ABC,使 = 90,求点和向量的坐标解:设点坐标(x, y),则= (x, y),= (x-5, y-2) x(x-5) + y(y-2) = 0即:x2 + y2 -5x - 2y
4、 = 0又| = | x2 + y2 = (x-5)2 + (y-2)2即:10x + 4y = 29由点坐标或;=或 例6 在ABC中,=(2, 3),=(1, k),且ABC的一个内角为直角,求k值解:当 = 90时,= 0,21 +3k = 0 k = 当 = 90时,= 0,=-= (1-2, k-3) = (-1, k-3)2(-1) +3(k-3) = 0 k = 当C= 90时,= 0,-1 + k(k-3) = 0 k = 例7 已知(3,4),(4,3),求x,y的值使(x+y),且x+y=1分析:这里两个条件互相制约,注意体现方程组思想解:由(3,4),(4,3),有x+y
5、=(3x+4y,4x+3y)又(x+y)(x+y)3(3x+4y)+4(4x+3y)=0即25x+24y 又x+y=1x+y(x+4y)(x+3y)整理得25x48xy+25y即x(25x+24y)+24xy+25y 由有24xy+25y 将变形代入可得:y=再代回得:学生练习 1若=(-4,3),=(5,6),则3|( )A23 B57 C63 D832已知(1,2),(2,3),(-2,5),则为( ) A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D不等边三角形3已知=(4,3),向量是垂直的单位向量,则等于( )A或 B或C或 D或4已知=(2,3),=(-4,7),则在方向上的投影为(
6、)A B C D5已知=(,),=(-3,5)且与的夹角为钝角,则的取值范围是( ) A B C D6给定两个向量=(3,4),=(2,-1)且(+x)(-),则x等于( ) A23 B C D 7=(2,3),=(-2,4),则(+)(-)= 8已知(3,2),(-1,-1),若点P(x,-)在线段的中垂线上,则x= 9已知(1,0),(3,1),(2,0),且=,=,则与的夹角为 10已知|=,=(1,2)且,则的坐标为 11已知=(1,2),(1,1),=-k,若,则 12已知=(3,0),=(k,5)且与的夹角为,则k的值为 13已知=(3,-1),=(1,2),求满足条件x=9与x=-4的向量x14已知点A (1,2)和B (4,-1),问能否在y轴上找到一点C,使ABC90,若不能,说明理由;若能,求C点坐标15四边形ABCD中= (6,1), =(x,y),=(-2,-3),(1)若,求x与y间的关系式;(2)满足(1)问的同时又有,求x,y的值及四边形ABCD的面积参考答案:1D 2A 3D 4C 5A 6C 7 7 8 94510(,)或(-,)11() 12-5 13(2,-3) 14不能(理由略)15(1)x+2y=0 (2) S四边形ABCD=16课前后备注