1、题目 第五章平面向量平面向量的数量积高考要求 掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件 知识点归纳 1两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则=cos叫做与的数量积（或内积） 规定2向量的投影：cos=R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义： 等于的长度与在方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：5乘法公式成立： ；6平面向量数量积的运算律：交换律成立：对实数的结合律成立：分配律成立：特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7两个向量的数量积
2、的坐标运算：已知两个向量，则=8向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则AOB= （）叫做向量与的夹角cos=当且仅当两个非零向量与同方向时，=00，当且仅当与反方向时=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作10两个非零向量垂直的充要条件：O平面向量数量积的性质题型讲解 例1 判断下列各命题正确与否：（1）；（2）；（3）若，则；若，则当且仅当时成立；（5）对任意向量都成立；（6）对任意向量，有解：错； 对； 错； 错； 错；对例2已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角解：由题意，且与的夹角为，所以，同理可得 而，设为与的夹角
3、，则 点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑例3 已知，按下列条件求实数的值 （1）；（2）；解：（1）；（2）；点评：此例展示了向量在坐标形式下的基本运算例4 已知（，），（，），则与的夹角是多少?分析：为求与夹角，需先求及，再结合夹角的范围确定其值解：由（，），（，）有（），记与的夹角为，则cos又，评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定例5 如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角ABC，使 = 90，求点和向量的坐标解：设点坐标(x, y)，则= (x, y)，= (x-5, y-2) x(x-5) + y(y-2) = 0即：x2 + y2 -5x - 2y
4、 = 0又| = | x2 + y2 = (x-5)2 + (y-2)2即：10x + 4y = 29由点坐标或；=或 例6 在ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且ABC的一个内角为直角，求k值解：当 = 90时，= 0，21 +3k = 0 k = 当 = 90时，= 0，=-= (1-2, k-3) = (-1, k-3)2(-1) +3(k-3) = 0 k = 当C= 90时，= 0，-1 + k(k-3) = 0 k = 例7 已知（3，4），（4，3），求x,y的值使(x+y)，且x+y=1分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想解：由（3，4），（4，3），有x+y
5、=(3x+4y,4x+3y)又（x+y）(x+y)3(3x+4y)+4(4x+3y)=0即25x+24y 又x+y=1x+y（x+4y）（x+3y）整理得25x48xy+25y即x(25x+24y)+24xy+25y 由有24xy+25y 将变形代入可得：y=再代回得：学生练习 1若=(-4,3),=(5,6),则3|（ ）A23 B57 C63 D832已知(1,2),(2,3),(-2,5)，则为（ ） A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D不等边三角形3已知=(4,3),向量是垂直的单位向量，则等于（ ）A或 B或C或 D或4已知=(2,3),=(-4,7),则在方向上的投影为（
6、）A B C D5已知=(，)，=(-3,5)且与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ） A B C D6给定两个向量=(3,4),=(2,-1)且(+x)(-),则x等于（ ） A23 B C D 7=(2,3),=(-2,4),则(+)(-)= 8已知(3，2)，(-1，-1)，若点P(x,-)在线段的中垂线上，则x= 9已知(1，0)，(3，1)，(2，0)，且=,=,则与的夹角为 10已知|=,=(1,2)且,则的坐标为 11已知=(1,2),(1,1),=-k,若，则 12已知=(3,0),=(k,5)且与的夹角为，则k的值为 13已知=(3,-1),=(1,2),求满足条件x=9与x=-4的向量x14已知点A (1，2)和B (4，-1)，问能否在y轴上找到一点C，使ABC90，若不能，说明理由；若能，求C点坐标15四边形ABCD中= (6,1), =(x,y)，=(-2,-3),(1)若，求x与y间的关系式；(2)满足(1)问的同时又有,求x,y的值及四边形ABCD的面积参考答案：1D 2A 3D 4C 5A 6C 7 7 8 94510（，）或（-，）11() 12-5 13(2,-3) 14不能(理由略)15(1)x+2y=0 (2) S四边形ABCD=16课前后备注