1、 华东师大二附中2015届暑期练习(四)数学试卷一、填空题(每小题4分,满分56分)1、是第二象限角,则是第 象限角 2、复数满足,则此复数所对应的点的轨迹方程是 .3、已知全集,集合, 若,则实数的值为 .一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与 某一个球的直径相等,这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 .已知, 则的值为 . 定义在上的奇函数,且当时, (为常数),则的值为 .7、公差不为零的等差数列中,数列是等比数列,且,则等于 .已知等差数列的通项公式为,则的展开式中项的系数是数列中的第 项9、已知极坐标系的极点为直角坐标系的原点,极轴与轴的非负半轴重合.若直线的极坐标方程为,曲线的参数方
2、程为为参数,且,则直线与曲线的交点的直角坐标为 .10、一个口袋内有4个不同的红球,6个不同的白球,若取一个红球记2分,取一个白球记1分,从中任取5个球,使总分不少于7分的取法有多少种 . 11、棱长为1的正方体及其内部一动点,集合,则集合构成的几何体表面积为 .12、是双曲线的右支上一点,、分别是圆和上的点,则的最大值等于 .13、设为实数,且满足:,则 .14、在区间上,关于的方程解的个数为 二、选择题(每小题5分,满分20分)15、已知为实数,若复数是纯虚数,则的虚部为( )、 、 、 、16、“”是“函数()在区间上为增函数”的( )、充分不必要条件 、必要不充分条件、充要条件 、既不
3、充分也不必要条件如果函数在上的最大值和最小值分别为、, 那么.根据这一结论求出的取值范围( ).、 、 、 、18、如图,已知点,正方形内接于,、分别为边、的中点,当正方形绕圆心旋转时,的取值范围是( ) 、 、 、 、解答题(满分74分)19、(本题满分12分)如图,直四棱柱,底面直角梯形,是棱上一点,.(1)求异面直线与所成的角;求证:平面.20、(本题满分14分)已知数列和满足:,其中为实数,为正整数.(1)对任意实数,求证:不成等比数列;(2)试判断数列是否为等比数列, 并证明你的结论.21、(本题满分14分)如图,、是两个小区所在地,、到一条公路的垂直距离分别为,两端之间的距离为.(
4、1)某移动公司将在之间找一点,在处建造一个信号塔,使得对、的张角与对、的张角相等,试确定点的位置.(2)环保部门将在之间找一点,在处建造一个垃圾处理厂,使得对、所张角最大,试确定点的位置.22、(本题满分16分)阅读:已知、,求的最小值.解法如下:,当且仅当,即时取到等号,则的最小值为.应用上述解法,求解下列问题:(1)已知,求的最小值;(2)已知,求函数的最小值;(3)已知正数、,求证:.23、(本题满分18分)已知函数常数)满足.(1)求出的值,并就常数的不同取值讨论函数奇偶性;(2)若在区间上单调递减,求的最小值;(3)在(2)的条件下,当取最小值时,证明:恰有一个零点且存在递增的正整数
5、数列, 使得成立.虹口区2013学年度第二学期高三年级数学学科第二次月考试卷(答案) 2014.051、 一或三;2、3、 4、 . 5 6、.7、 . 8、 20 9、;设取红球个,白球个,则 ,取法为. 11、 .12、9. 13、. 14、个解.15、则,选.16、时,在上为增函数;反之,在区间上为增函数,则,故选.17、求在上的最值,选.18、且长度为1,可设,然后用坐标求解.也可以,答案选.19、解:(1)以原点,、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则,.于是,异面直线与所成的角的大小等于.过作交于,在中,则,.又,平面.20、解(1)证明:假设存在一个实数,使是等比数列,则有,即
6、矛盾.所以不成等比数列.(2)因为,又,所以当,(为正整数),此时不是等比数列:当时,由上式可知,(为正整数) ,故当时,数列是以为首项,为公比的等比数列.21、解:(1)设,.依题意有,.由,得,解得,故点应选在距点2处.(2)设,.依题意有,令,由,得,当,所张的角为钝角,最大角当,即时取得,故点应选在距点处.22、解(1),而,当且仅当时取到等号,则,即的最小值为.(2),而,当且仅当,即时取到等号,则,所以函数的最小值为.(3)当且仅当时取到等号,则.23、解:(1)由得,解得.从而,定义域为当时,对于定义域内的任意,有,为偶函数当时,从而,不是奇函数;,不是偶函数,非奇非偶.对于任意的,总有恒成立,即,得.,从而.又,的最小值等于.(3)在(2)的条件下,.当时,恒成立,函数在无零点当时,对于任意的,恒有,即,所以函数在上递增,又,在是有一个零点.综上恰有一个零点,且15分,得,又,故,取