1、第十五讲导数的应用班级_姓名_考号_日期_得分_一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内)1已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件B11万件C9万件 D7万件解析：因为yx281，所以当x9时，y0，所以函数yx381x234在(9，)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x9是函数的极大值点，又因为函数在(0，)上只有一个极大值点，所以函数在x9处取得最大值答案：C2(2011荆州质检题)函数f(x)ax33x1对于x1,1总有f(x)0
2、成立，则a的取值为()A2，) B4，)C4 D2,4解析：f(x)3ax23，当a0时，f(x)minf(1)a20，a2，不合题意；当01时，f(1)a40且f10，解得a4.综上所述，a4，故选C.答案：C3设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f(x)，g(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且满足f(x)g(x)f(x)g(x)0，则当axf(b)g(x)Bf(x)g(a)f(a)g(x)Cf(x)g(x)f(b)g(b)Df(x)g(x)f(b)g(a)解析：令yf(x)g(x)，则yf(x)g(x)f(x)g(x)，由于f(x)g(x)f(x)g(x)0，所以y在R上单调递减，
3、又xf(b)g(b)答案：C4函数f(x)ex(sinxcosx)在区间上的值域为()A. B.C. D.解析：f(x)ex(sinxcosx)ex(cosxsinx)excosx，当0x时，f(x)0，且只有在x时f(x)0，f(x)是上的增函数，f(x)的最大值为fe，f(x)的最小值为f(0).f(x)在上的值域为.故应选A.答案：A5已知函数f(x)x22xalnx，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是()Aa0 Ba0或a4解析：f(x)2x2，f(x)在(0,1)上单调，f(x)0或f(x)0在(0,1)上恒成立，即2x22xa0或2x22xa0在(0,1)上恒成
4、立，所以a(2x22x)或a(2x22x)在(0,1)上恒成立记g(x)(2x22x),0x1，可知4g(x)0(故可排除B)；当五角星薄片全部露出水面后，S(t)的值不再变化，故其导数值S(t)最终应等于0，符合上述特征的只有选项A.答案：A二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7函数f(x)x的单调区间为_解析：f(x)1，令f(x)0，解得3x0或0x3，故单调减区间为(3,0)和(0,3)答案：(3,0)，(0,3)8若函数f(x)x33xa有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_解析：f(x)3x233(x1)(x1)令f(x)0，得x1或x
5、1.f(x)在(，1)和(1，)上递增，在(1,1)上递减，2a2.答案：2a或x0；当x时，f(x)0.所以f(x)的单调递增区间为(，)和(，)；单调减区间为(，)当x时，f(x)有极大值54；当x时，f(x)有极小值54.(2)由(1)的分析知yf(x)的图象的大致形状及走向如图所示，当54a1，所以kx2x5在(1，)上恒成立令g(x)x2x5，此函数在(1，)上是增函数所以g(x)g(1)3.所以k的取值范围是k3.评析：(1)利用导数求单调区间和极值(2)由(1)的结论，问题转化为yf(x)和ya的图象有3个不同的交点，利用数形结合的方法求解(3)将问题转化为不等式恒成立问题，利用
6、分离参数法求解本题综合考查了利用导数求单调区间、极值以及方程、函数、不等式三者之间的相互转化，对理性思维能力要求较高12已知函数f(x)ax36ax2b，问是否存在实数a、b，使f(x)在1,2上取得最大值3，最小值29？若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由解：显然a0.f(x)3ax212ax3ax(x4)令f(x)0，解得x10，x24(舍去)(1)当a0时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1,0)0(0,2f(x)0f(x)最大值所以当x0时，f(x)取得最大值，所以f(0)b3.又f(2)16a3，f(1)7a3，f(1)f(2)所以当x2时，f(x)取得最小
7、值，即16a329，a2.(2)当af(1)所以当x2时，f(x)取得最大值，即16a293，a2.综上所述a2，b3或a2，b29.评析：本题综合运用了求极值、最值的方法确定系数a、b，注意对a的讨论和最大值、最小值的确定13已知函数f(x)x2eax(a0)，求函数在1,2上的最大值分析：通过求导先判断单调性再求最值在求最值时，对a的情况要进行讨论解：f(x)x2eax(a0)，f(x)2xeaxx2(a)eaxeax(ax22x)令f(x)0，即eax(ax22x)0，得0x.f(x)在(，0)，上是减函数，在上是增函数当02时，f(x)在(1,2)上是减函数，f(x)maxf(1)ea.当12，即1a2时，f(x)在上是增函数，在上是减函数，f(x)maxf4a2e2.当2时，即0a1时，f(x)在(1,2)上是增函数，f(x)maxf(2)4e2a.综上所述，当0a2时，f(x)的最大值为ea.评析：求函数在闭区间上的最值，首先应判断函数的单调性，一般情况下是先利用导数求出单调区间，分清单调区间与已知区间的关系，有时也需要分类讨论，分类时要不重不漏
