1、高三数学（理）一轮复习 教案 第八编 立体几何 总第40期8.6 空间向量及其运算基础自测1.有4个命题：若p=xa+yb，则p与a、b共面；若p与a、b共面，则p=xa+yb；若=x+y，则P、M、A、B共面；若P、M、A、B共面，则=x+y.其中真命题的个数是 .答案 22.下列是真命题的命题序号是 .分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量若|a|=|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反若向量，满足|，且与同向，则若两个非零向量与满足+=0，则答案 3.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且ab，则x= ,y= .答案 -4.已知A（1，2
2、，3），B（2，1，2），P（1，1，2），点Q在直线OP上运动，当取最小值时，点Q的坐标是 .答案 5.在四面体O-ABC中，=a,=b, =c,D为BC的中点,E为AD的中点，则= (用a,b,c表示).答案 a+b+c例题精讲 例1 如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设=a，=b，=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： （1）；（2）；（3）+.解 （1）P是C1D1的中点，=+=a+=a+c+=a+c+b.（2）N是BC的中点，=+=-a+b+=-a+b+=-a+b+c.（3）M是AA1的中点，=+=+=-a+(a+c+b)
3、= a+b+c，又=+=+=+=c+a，+=(a+b+c)+(a+c) =a+b+c.例2 已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，（1）求证：E、F、G、H四点共面；（2）求证：BD平面EFGH；（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有=（+）.证明 （1）连接BG，则=+=+（+）= +=+，由共面向量定理的推论知： E、F、G、H四点共面.（2）因为=-=-=（-）=，所以EHBD. 又EH平面EFGH， BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.（3）连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.由（2）知=，同理=， 所以=，即EH F
4、G，所以四边形EFGH是平行四边形.所以EG，FH交于一点M且被M平分.故=（+）=+=（+）+（+）=（+）.例3 如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点.（1）求证：MNAB，MNCD；（2）求MN的长；（3）求异面直线AN与CM所成角的余弦值.（1）证明 设=p, =q，=r.由题意可知：|p|=|q|=|r|=a，且p、q、r三向量两两夹角均为60.=-=（+）-=（q+r-p），=（q+r-p）p=（qp+rp-p2）=（a2cos60+a2cos60-a2）=0.MNAB,同理可证MNCD.（2）解 由（1）可知=（q+r-p）|
5、2=2=（q+r-p）2=q2+r2+p2+2（qr-pq-rp）=a2+a2+a2+2（-）=2a2=.|=a,MN的长为a.(3)解 设向量与的夹角为.=(+)=(q+r), =-=q-p,=（q+r）（q-p）=（q2-qp+rq-rp）=(a2-a2cos60+a2cos60-a2cos60) =（a2-+-）=.又|=|=，=|cos=cos=.cos=，向量与的夹角的余弦值为，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为.例4（1）求与向量a=(2,-1,2)共线且满足方程ax=-18的向量x的坐标；（2）已知A、B、C三点坐标分别为（2，-1，2），（4，5，-1），（-2，2，3），
6、求点P的坐标使得=（-）；（3）已知a=（3，5，-4），b=（2，1，8），求：ab；a与b夹角的余弦值；确定，的值使得a+b与z轴垂直，且（a+b）（a+b）=53.解 （1）x与a共线，故可设x=ka，由ax=-18得aka=k|a|2=k（）2=9k，9k=-18，故k=-2.x=-2a=（-4，2，-4）.（2）设P（x，y，z），则=（x-2，y+1，z-2），=（2，6，-3），=（-4，3，1），=（-）.（x-2，y+1，z-2）=（2，6，-3）-（-4，3，1）=（6，3，-4）=(3，-2)，解得P点坐标为(5，0).（3）ab=（3，5，-4）（2，1，8）=32+5
7、1-48=-21.|a|=5,|b|=,cosa,b= =-.a与b夹角的余弦值为-.取z轴上的单位向量n=（0，0，1），a+b=（5，6，4）.依题意 即故 解得.巩固练习 1.已知六面体ABCDABCD是平行六面体.（1）化简+,并在图上标出其结果；（2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCCB对角线BC上的分点，设=+，试求,的值.解 （1）如图所示，取AA的中点E，则=.在DC上取点F，使=，因为=，所以=.又=,从而+=+=.(2)= +=+=(+)+ (+)=(-+)+(+)=+,可见,=,=, =.2.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证
8、：B1C平面ODC1.证明 设=a，=b，=c，四边形B1BCC1为平行四边形，=c-a，又O是B1D1的中点，=（a+b），=-（a+b）=-=b-（a+b）=（b-a）. D1D C1C，所以=c，=+=（b-a）+c.若存在实数x、y，使=x+y（x，yR）成立，则c-a=x（b-a）+c+y-（a+b） =-（x+y）a+（x-y）b+xc.a、b、c不共线，得=+，、是共面向量，不在、所确定的平面ODC1内，B1C平面ODC1.3.如图所示，正四面体VABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.（1）求证：AO、BO、CO两两垂直；（2）求,.(1)证明 设=a,=b, =c,正四面体
9、的棱长为1,则=(a+b+c),=(b+c-5a), =(a+c-5b), =(a+b-5c)=（b+c-5a）（a+c-5b）=（18ab-9|a|2）=（1811cos60-9）=0.，AOBO，同理，BOCO，AO、BO、CO两两垂直.（2）解 =+=-（a+b+c）+=(-2a-2b+c).|=， |=，=（-2a-2b+c）（b+c-5a）=，cos,=，,(0,), =45.4.如图所示,PD平面ABCD,且四边形ABCD为正方形,AB=2,E是PB的中点,cos,=.(1)建立适当的空间坐标系,写出点E的坐标;(2)在平面PAD内求一点F,使EF平面PCB.解 (1)如图所示,以
10、DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0），设P（0，0，2m），则E（1，1，m），=（-1，1，m），=（0，0，2m）.cos,=.解得m=1,点E的坐标是（1，1，1）.（2）F平面PAD，可设F（x，0，z）.则=（x-1，-1，z-1），又=（2，0，0），=（0，2，-2）EF平面PCB，且即，F点的坐标为（1，0，0）即点F是AD的中点时满足EF平面PCB.回顾总结知识方法思想课后作业 一、填空题1.已知点O、A、B、C为空间不共面的四点，且向量a=+，向量b=+-，则、中不能与a,b构成空间基底的向
11、量是 .答案 2.已知向量a=（8，x，x）b=（x，1，2），其中x0.若ab，则x的值为 .答案 43.已知向量a,b满足|a|=2，|b|=3，|2a+b|=，则a与b的夹角为 .答案 604.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E、F分别是BC、AD的中点，则 的值为 .答案 a25.已知A（4，1，3），B（2，-5，1），C为线段AB上一点，且=，则C点的坐标为 .答案 6.A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足=0，=0，=0，则BCD是 三角形（用“锐角”、“直角”、“钝角”填空）.答案 锐角7.如图所示，已知空间四边形ABCD，F为BC的中点，E为AD的中
12、点，若=（+），则 = . 答案 8.已知a=（1-t，1-t，t），b=（2，t，t），则|b-a|的最小值为 .答案 二、解答题9.如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60.(1)求AC1的长；（2）求BD1与AC夹角的余弦值.解 记=a，=b，=c，则|a|=|b|=|c|=1，a,b=b,c=c,a=60,ab=bc=ca=.（1）|2=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）=1+1+1+2(+)=6,|=,即AC1的长为.(2)=b+c-a,=a+b,|=,|=,=（b+c-a）（a+b）=b2-a2+ac
13、+bc=1.cos,=.AC与BD1夹角的余弦值为.10.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1，M为AA1的中点，N为A1B1上的点，且满足A1N=NB1，P为底面正方形A1B1C1D1的中心.求证：MNMC，MPB1C.证明 设=a，=b，=c则a、b、c两两垂直且模相等.ab=bc=ac=0，又=NB1=b，=+=a+b, =+=-a+b+c,=（a+b）（b+c-a）=- =0.MNMC，又=+ =+（b+c）=（a+b+c），=+=-a+c.=（a+b+c）（c-a）=0.MPB1C.11.如图所示，在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（，0），点D在平面
14、yOz内，且BDC=90，DCB=30.（1）求的坐标；（2）设和的夹角为，求cos的值.解 (1)如图所示，过D作DEBC，垂足为E，在RtBDC中，由BDC=90，DCB=30，BC=2，得BD=1，CD=. DE=CDsin30=.OE=OB-BDcos60=1-=.D点坐标为(0，-，)，即的坐标为(0，-，).（2）依题意：=(，0)， =（0，-1，0），=（0，1，0）.=- =(-，-1，)， =- =（0，2，0）.设和的夹角为，则cos=-.cos=-.12.已知ABCD是平行四边形，P点是ABCD所在平面外的一点，连接PA、PB、PC、PD.设点E、F、G、H分别为PAB
15、、PBC、PCD、PDA的重心.（1）试用向量方法证明E、F、G、H四点共面；（2）试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断.（1）证明 分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R点，因为E、F、G、H分别是所在三角形的重心，所以M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连接M、N、Q、R得到的四边形为平行四边形，且有=， =，=， =+=（-）+（-）=（-）+（-）=（+）又=-=-=（+）,=+由共面向量定理知：E、F、G、H四点共面. (2)解 由（1）得=,故.又平面ABC，EG平面ABC.EG平面ABC.又=-=-=MNEF，又MN平面ABC，EF平面ABC， EF平面ABC.EG与EF交于E点，平面EFGH平面ABCD. 254
