1、第2课时正弦函数、余弦函数的性质(2)目标 1.掌握ysinx，ycosx的单调性，会结合它们的图象说出单调区间，并能根据单调性比较大小；2.掌握ysinx，ycosx的最大值、最小值，会求简单三角函数的值域和最值，并能指出取得最大(小)值时自变量x的集合重点 正、余弦函数的单调性难点 利用三角函数的性质解决一些简单问题知识点 正弦函数、余弦函数的性质 填一填答一答1正弦函数、余弦函数在定义域内是单调函数吗？正弦函数在第一象限是增函数吗？提示：正弦函数、余弦函数都不是定义域上的单调函数正弦函数在第一象限不是单调增函数2对于ysin(x)或ycos(x)，当0时，如何求单调区间？当0)或ycos
2、(x)(0)的单调区间时，把x看作一个整体，令zx，即通过求ysinz或ycosz的单调区间求出函数的单调区间，若0.以为底的对数函数是单调递减的，要求ylogsin的单调递增区间，需求sin的单调递减区间同时满足的x的取值范围为2kx2k，kZ，2kx2k，kZ.故所求函数的单调递增区间为(kZ)命题视角2：利用单调性比较大小例2比较下列各组中函数值的大小：(1)cos()与cos()；(2)sin194与cos160.分析利用诱导公式将异名三角函数转化为同名三角函数，非同一单调区间上的角转化到同一单调区间上，利用函数的单调性来比较解(1)cos()cos(6)cos，cos()cos(6)
3、cos，2，coscos，即cos()cos()(2)sin194sin(18014)sin14，cos160cos(18020)cos20sin70.0147090，sin14sin70，即sin194cos160.(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较.(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上.变式训练2比较大小：(1)cos()与cos；(2)sin与cos.解：(1)cos()coscos()cos，而coscos，0cos.coscos，cos()cos.(2)cossin()，
4、sin()cos，即sincos.类型二 三角函数的值域(或最值)问题 命题视角1：利用三角函数的有界性和单调性求值域(或最值)例3求下列函数的值域：(1)y2sin(2x)，x；(2)y|sinx|sinx.分析利用正弦函数的有界性和单调性来求解(1)由x的取值范围，确定2x的取值范围，再由正弦函数的单调性求解；(2)先去绝对值符号，再求解解(1)x，2x.令u2x，又ysinu在上单调递增，0sin(2x)1，02sin(2x)2；ysinu在上单调递减，sin(2x)1，2sin(2x)2，函数的值域为，2(2)y|sinx|sinx又sinx0时，02sinx2，函数y|sinx|si
5、nx的值域为0,2形如yAsin(x)或yAcos(x)的三角函数值域(或最值)问题，要注意x的取值范围.一般情况下先利用x的取值范围，求出x的范围，再求三角函数的值域(或最值).变式训练3求函数y34cos，x的最大、最小值及相应的x值解：因为x，所以2x，从而cos1.所以当cos1，即2x0，x时，ymin341.当cos，即2x，x时，ymax345.综上所述，当x时，ymin1；当x时，ymax5.命题视角2：化为f(sinx)或g(cosx)型函数求值域(或最值)例4求使下列函数取得最大值和最小值时的x的值，并求出函数的最大值和最小值：(1)ycos2x2sinx2；(2)ycos
6、2xsinx，x.解(1)ycos2x2sinx2sin2x2sinx1(sinx1)2.因为1sinx1，所以当sinx1，即x2k，kZ时，函数取得最小值，ymin(11)24；当sinx1，即x2k，kZ时，函数取得最大值，ymax(11)20.(2)ycos2xsinx1sin2xsinx(sinx)2.x，sinx，当x，即sinx时，函数取得最大值，ymax；当x，即sinx时，函数取得最小值，ymin.形如f(x)asin2xbsinxc(a0)的函数值域问题，可以通过换元转化为二次函数g(t)at2btc在闭区间1，1上的最值问题.要注意，正、余弦函数值域的有界性，即当xR时，
7、1sinx1，1cosx1对值域的影响.变式训练4求函数y2cos2x2sinx3，x的最大值和最小值解：y2(1sin2x)2sinx32sin2x2sinx12(sinx)2.x，sinx1.当sinx1时，ymax5；当sinx时，ymin.1函数y2sin(2x)的一个单调递减区间是(A)A，B，C， D，解析：令z2x，函数y2sinz的单调递减区间是2k，2k(kZ)由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.令k0，得x.2下列关系式中正确的是(C)Asin11cos10sin168Bsin168sin11cos10Csin11sin168cos10Dsin168cos10sin11解
8、析：sin168sin(18012)sin12，cos10sin80，sin11sin12sin80.sin11sin1680，0)单调区间的方法把x看成一个整体，由2kx2k(kZ)解出x的范围，所得区间即为单调增区间，由2kx2k(kZ)解出x的范围，所得区间即为单调减区间若0，先利用诱导公式把转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间2比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断3求三角函数值域或最值的常用求法将y表示成以sinx(或cosx)为元的一次或二次的复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围
