1、专题(2)平面向量的几何意义、极化恒等式、等和线1.已知G是ABC的重心,若GC=xAB+yAC,x,yR,则x+y=()A.-1B.1C.13D.-132.(2014新课标全国卷)设向量a,b满足|a+b|=10,|a-b|=6,则ab=()A.1B.2C.3D.53.已知平面向量a,b(ab)满足|a|=1,且a与b-a的夹角为150,若c=(1-t)a+tb(tR),则|c|的最小值为()A.1B.14C.12D.324.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一.每年新春佳节,我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗,以此达到装点环境、渲染气氛的目的,并寄托着辞旧迎新、接
2、福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花,已知图2中正六边形ABCDEF的边长为2,圆O的圆心为正六边形的中心,半径为1,若点P在正六边形的边上运动,MN为圆O的直径,则PMPN的取值范围是()A.2,4B.2,3C.32,4D.32,35.如图,在ABC中,AB=2,AC=3,BC边的垂直平分线分别与BC,AC交于点D,E,若P是线段DE上的动点,则PABC的值为()A.与角A有关,且与点P的位置有关B.与角A有关,但与点P的位置无关C.与角A无关,但与点P的位置有关D.与角A无关,且与点P的位置无关6.在ABC中,C=90,AC=4,BC=3,D是AB的中点,E,F分别
3、是边BC,AC上的动点,且EF=1,则DEDF的最小值等于()A.54B.154C.174D.1747.在ABC中,AB=2,C=30,则ABBC的取值范围是.8.在扇形OAB中,AOB=60,C为弧AB上的一个动点.若OC=xOA+yOB,则3x+y的取值范围是.9.已知ABC中,AB=7,AC=8,BC=9,P是平面ABC内一点,满足PAPC=-7,则|PB|的取值范围是.10.如图,在ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,BACA=4,BFCF=-1,则BECE的值是.11.已知|AB|=|AC|=1,AB,AC所成角为60,点P满足|APAC|1,若AP=xAB+yA
4、C,则x+y的最大值为.12.正方形ABCD的边长为2,动圆Q的半径为1,圆心在线段CB(含端点)上运动,P是圆Q上及其内部的动点,设向量AP=mAB+nAD(m,nR),求m+n的取值范围.专题(2)平面向量的几何意义、极化恒等式、等和线1.C解析设D是BC中点,由重心的定义可知:AG=23AD=2312(AB+AC)=13(AB+AC),所以GC=ACAG=AC13(AB+AC)=-13AB+23AC.所以x+y=-13+23=13.故选C.2.A解析由极化恒等式可知,ab=(a+b)2-(a-b)24=1.3.C解析如图所示,设AB=a,AC=b,则BC=b-a,可令BD=t(b-a),
5、则AD=AB+BD=a+t(b-a)=(1-t)a+tb=c,点D在BC上,因为a与b-a的夹角为150,则ABC=30,当ADBC时,线段AD最短,此时|c|取最小值,即|c|min=|AB|sin30=12.故选C.4.B解析如图,取AF的中点Q,根据题意,AOF是边长为2的正三角形,易得|OQ|=3,又PMPN=(PO+OM)(PO+ON)=|PO|2+POON+POOM+OMON=|PO|2+PO(ON+OM)-1=|PO|2-1.根据图形可知,当点P位于正六边形各边的中点时|PO|有最小值为3,此时|PO|2-1=2,当点P位于正六边形的顶点时,|PO|有最大值为2,此时|PO|2-
6、1=3,所以2PMPN3.故选B.5.D解析(向量拆解)PABC=(PD+DA)BC=PDBC+DABC=DABC=-12(AB+AC)(ACAB)=-12(AC2-AB2)=-52,故PABC的值与角A无关,且与点P的位置无关,故选D.6.B解析DEDF=(DE+DF)2-(DE-DF)24=DH2EF24=DH214(H为EF中点),又因为CH+DHCD,所以DHCD-CH=5212=2.所以DEDF=DH2144-14=154.7.-6,2解析由AB=2,C=30可知ABC的外接圆半径r=2,ABBC=-|AB|BC|cosB=-24sinAcosB=-4sin(A+B)+sin(A-B
7、)=-2-4sin(A-B)-6,2.8.1,3解析如图,取点D使得OD=13OA,OC=xOA+yOB=3xOD+yOB,作一系列与BD平行的直线与圆弧相交,构造等高线模型,易知:当点C与点A重合时,3x+y取最大值3,点C位于直线BD上时(即点C与点B重合时),3x+y取得最小值1,故3x+y的取值范围是1,3.9.4,10解析设AC中点为M,则PAPC=(PA+PC)2-(PA-PC)24=|PM|2-16=-7,|PM|=3.点P在以M为圆心,3为半径的圆上.由平行四边形性质(2|BM|)2+|AC|2=2(|BA|2+|BC|2)知|BM|=7,|PB|的取值范围是4,10.10.7
8、8解析由题可知:BACA=ABAC=AD2BC24=4,BFCF=FBFC=FD2BC24=AD29BC24=-1,AD2=458,BC2=132.BECE=EBEC=ED2BC24=4AD29BC24=78.11.233+1解析如图所示,点P的轨迹为以C为圆心、1为半径的圆.由等和线分析,当点P在BC上时x+y=1,当PCBC时,在点P的切线和BC平行,此时x+y最大.由相似性可得(x+y)max=APAD=233+1.12.解如图,当点P在BD上时,x+y=1;当点Q为点B时,点P在经过点A且与BD平行的直线上时,x+y=0;当点Q为点C时,点P在经过点E且与BD平行的直线上时,x+y=3,故x+y的取值范围是0,3.
