1、第三章 1.导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数记作或.0 xxf(x0)limx0yx.(2)函数yf(x)的导函数 f(x)limx0fxxfxx.f(x0)y|limx0fx0 xfx0 x2.导数的几何意义 函数yf(x)在xx0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的，相应的切线方程为.斜率yf(x0)f(x0)(xx0)3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)c(c为常数)f(x)_ f(x)x(Q，且0)f(x)_ f(x)sin x f(x)_ f(x)cos x f(x)_ f(x)ax(a0，且a1)f(x)_ f(
2、x)ex f(x)_ 0 x1cos xsin xaxln aexf(x)logax(a0，且a1)f(x)_ f(x)ln x f(x)_ 1xln a1x4.导数的运算法则 若f(x)，g(x)存在，则有 f(x)g(x)；f(x)g(x)；fxgx fxgxfxgxgx2(g(x)0)；cf(x).f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)cf(x)1.区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.常用 结论 2.1fx fxfx2(f(x)0).例 1 函数 f(x)的导函数为 f(x)，
3、若 f(x)x2f3 sin x，则 f6.23623f(x)2xf3 cos x，f3 23 12f3，f3 43，f6 23623.题型一 导数的运算 例2（1）在等比数列an中，a12，a84，函数f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则f(0)等于 A.26B.29C.212D.215 教师备选 因为在等比数列an中，a12，a84，所以a1a8a2a7a3a6a4a5248.因为函数f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，所以f(x)(xa1)(xa2)(xa8)x(xa1)(xa2)(xa8)，所以f(0)a1a2a8(a1a8)484212.(2)若函数f(x)，g(x)满
4、足f(x)xg(x)x21，且f(1)1，则f(1)g(1)等于 A.1 B.2 C.3 D.4 当x1时，f(1)g(1)0，f(1)1，得g(1)1，原式两边求导，得f(x)g(x)xg(x)2x，当x1时，f(1)g(1)g(1)2，得f(1)g(1)2g(1)2(1)3.思维升华(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.命题点1 求切线方程 题型二题型二 导数的几何意义 例3(1)(2021全国甲卷)曲线y在点(1，3)处的切线方程为.2x1x25xy20所以切线方程为y35(x1)
5、，即5xy20.y2x1x2 2x22x1x225x22，所以 y|x151225，(2)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为.xy10点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，设切点为(x0，y0).又f(x)1ln x，直线l的方程为y1(1ln x0)x.由y0 x0ln x0，y011ln x0 x0，解得 x01，y00.直线l的方程为yx1，即xy10.命题点2 求参数的值(范围)例4(1)(2022西安模拟)直线ykx1与曲线f(x)aln xb相切于点P(1,2)，则2ab等于 A.4 B.3 C.2 D.1 直线ykx
6、1与曲线f(x)aln xb相切于点P(1,2)，将P(1,2)代入ykx1，可得k12，解得k1，f(x)aln xb，f(x)ax，由 f(1)a11，解得a1，可得f(x)ln xb，P(1,2)在曲线f(x)ln xb上，f(1)ln 1b2，解得b2，故2ab224.(4，)(2)已知曲线 f(x)13x3x2ax1 存在两条斜率为 3 的切线，则实数 a的取值范围是_.f(x)x22xa，依题意知x22xa3有两个实数解，即ax22x3(x1)24有两个实数解，ya与y(x1)24的图象有两个交点，a4.思维升华(1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列
7、出参数的方程：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上.(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”.例5 若函数f(x)ln x2x2ax的图象上存在与直线2xy0平行的切线，则实数a的取值范围是.2，)直线2xy0的斜率k2，又曲线f(x)上存在与直线2xy0平行的切线，f(x)1x4xa2 在(0，)内有解，则 a4x1x2，x0.又 4x1x24x1x4，当且仅当 x12时取“”.a422.a的取值范围是2，).例6(1)(2022驻马店模拟)已知函数f(x)xln x，g(x)x2ax(aR)，直线l与f(x)的图象相切于点A(1,0)，若直线l与g(x)的图象也
8、相切，则a等于 A.0 B.1 C.3 D.1或3 题型三题型三 两曲线的公切线 由f(x)xln x求导得f(x)1ln x，则f(1)1ln 11，于是得函数f(x)在点A(1,0)处的切线l的方程为yx1，因为直线l与g(x)的图象也相切，则方程组yx1，gxx2ax，有唯一解，即关于x的一元二次方程x2(a1)x10有两个相等的实数根，因此(a1)240，解得a1或a3，所以a1或a3.(2)若函数f(x)x21与函数g(x)aln x1的图象存在公切线，则正实数a的取值范围是 A.(0，e)B.(0，e C.(0,2e)D.(0,2e f(x)x21 的导函数 f(x)2x，g(x)
9、aln x1 的导函数为 g(x)ax.设切线与f(x)相切的切点为(n，n21)，与g(x)相切的切点为(m，aln m1)，所以切线方程为y(n21)2n(xn)，y(aln m1)am(xm)，即 y2nxn21，yamxaaln m1.所以2nam，n21a1aln m，所以 a24m2aaln m，由于 a0，所以 a4m21ln m，即a4m2(1ln m)有解即可.令h(x)x2(1ln x)(x0)，h(x)x(12ln x)，所以 h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，最大值为h(e)e2，当0 x0，当xe时，h(x)0，所以 0a4e2，所以00，由f(x
10、)2x2m，可得f(x)4x，则切线的斜率为kf(a)4a，由 g(x)3ln xx，可得 g(x)3x1，则切线的斜率为 kg(a)3a1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以4a3a1，解得 a1 或 a34(舍去)，又由g(1)1，即公共点的坐标为(1，1)，将点(1，1)代入f(x)2x2m，可得m1.(2)不与x轴重合的直线l与曲线f(x)x3和yx2均相切，则l的斜率为_.6427设直线 l 与曲线 f(x)x3 相切的切点坐标为(x0，x30)，f(x)3x2，则 f(x0)3x20，则切线方程为 y3x20 x2x30，因为不与x轴重合的直线l与曲线yx3和yx2均相切，则y3x20 x2x30，yx2，得 x23x20 x2x300，9x408x300，得 x00(舍去)或 x089，所以 l 的斜率为 3x206427.课后作业1.课后作业单
