1、高考资源网()您身边的高考专家版权所有高考资源网第第第第 19191919 讲:二面角的求法讲:二面角的求法讲:二面角的求法讲:二面角的求法【考纲要求】能用向量的方法解决二面角的计算问题。【基础知识】一、二面角的定义平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分叫做半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面.二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角,叫做这个二面角的平面角.二、二面角的范围规定:二面角的两个半平面重合时,二面角为00,当两个半平面合成一个平面时,二面角
2、为0180,因此,二面角的大小范围为000,180.三、二面角的求法方法一:(几何法)找 作(定义法、三垂线法、垂面法)证(定义)指 求(解三角形)方法二:(向量法)首先求出两个平面的法向量,m n;再代入公式 cosm nm n=(其中,m n 分别是两个平面的法向量,是二面角的平面角。)求解。(注意先通过观察二面角的大小选择“”号)四、求二面角体现的是数学的转化的思想,就是把空间的角转化为平面的角,再利用解三角形的知识解答。例 1如图所示,过正方形 ABCD 的顶点 A 作 PA平面 ABCD,设 PA=AB=a,求:(1)二面角 BPCD 的大小;(2)平面 PAB 和平面 PCD 所成
3、二面角的大小.解:(1)PA平面 ABCD,BDAC,BDPC(三垂线定理)在平面 PBC 内,作 BEPC,E 为垂足,连结 DE,得 PC平面 BED,从而 DEPC,即BED 是二面角 BPCD 的平面角.在 RtPAB 中,由 PA=AB=a,得 PB=2 a.PA平面 ABCD,BCAB,BCPB(三垂线定理)PC=aBCPB322=+在 RtPBC 中,BE=.3632aaaaPCBCPB=同理 DE=a36.在BDE 中,根据余弦定理,得 cosBED=+DEBEBDDEBE222221322232322222=+aaaa.BED=120,即二面角 BPCD 的大小为 120.高
4、考资源网()您身边的高考专家版权所有高考资源网(2)过 P 作 PQAB,则 PQ 平面 PAB.ABCD,PQCD,PQ 平面 PCD.PAAB,PAPQ PA平面 ABCD,CDAD.CDPD 即 QPPD,则APD 即为所求的二面角,PA=AD=a,PAAD,APD=45 即所求的二面角的大小为 45.ECAEDBAD=2,DE=3.现将ABC 沿 DE 折成直二面角.求:(1)异面直线 AD 与 BC 的距离;(2)二面角 AECB 的大小。方法二向量法使用情景二面角的平面角不易作出来。解题步骤建立空间直角坐标系 求出两个平面的法向量,m n 代入公式cosm nm n=(其中,m n
5、 分别是两个平面的法向量,是二面角的平面角。)求解。(注意先通过观察二面角的大小选择“”号)例 2已知四棱锥PABCD 的底面为直角梯形,ABDC,90DAB=,PA 底面 ABCD,且112PAADDCAB=,M 是 PB 的中点(1)证明:面 PAD 面 PCD;(2)求 AC 与 PB 所成的角;(3)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小证明:以 A 为坐标原点,ADABAP,所在直线分别为 xyz,轴,建立如图 1 所示空间直角坐标系,则1(0 0 0)(0 2 0)(11 0)(11 0)(0 0 1)0 1 2ABCDPM,图(1)高考资源网()您身边的高考专家版权所有高考
6、资源网且111010 11 0222MAMBMC=,【变式演练 2】如图,在圆锥 PO 中,已知 PO 2,O 的直径 AB2,C 是 AB 的中点,D为 AC 的中点(1)证明:平面 POD平面 PAC;(2)求二面角 BPAC 的余弦值【高考精选传真】1、(2012 高考真题广东理 18)如图所示,在四棱锥 PABCD中,底面 ABCD 为矩形,PA 平面 ABCD,点 E 在线段 PC 上,PC 平面 BDE。(1111)证明:BD 平面 PAC;(2222)若1,2PAAD=,求二面角 BPCA的正切值;【解析】(1111)PC 平面 BDE,BD 面 BDEBDPCPA 平面 ABC
7、D,BD 面 ABCDBDPA又 PAPCPBD=面 PAC(2)ACBDO=由(1)得:BDACABAD=,1,22PAADAB=,PC 平面,BDEBFPC OFPCBFO 是二面角BPCA2.2.2.2.【2012201220122012 高考真题新课标理 19191919】如图,直三棱柱111ABCA B C中,112ACBCAA=,高考资源网()您身边的高考专家版权所有高考资源网D 是棱1AA 的中点,BDDC 1(1)证明:BCDC 1(2)求二面角11CBDA的大小.1111111ACB CC OA B=,面111A B C 面1A BD1C O 面1A BD1OHBDC HBD
8、得:点 H 与点 D 重合且1C DO是二面角11CBDA的平面角设 ACa=,则122aC O=,1112230C DaC OC DO=既二面角11CBDA的大小为30【反馈训练】1.已知三棱锥的三个侧面和底面全等,且 AB=AC=3,BC=2.则以 BC 为棱,以平面 BDC 与平面 BDA 为面的二面角的大小为()高考资源网()您身边的高考专家版权所有高考资源网A.4B.3C.2D.322.正方体 ABCDA1B1C1D1中,E 为棱 AB 的中点,则二面角 CA1EB 的正切值为()A.25B.5C.3D.23.如图所示,正方体 ABCDA1B1C1D1中,过顶点 B、D、C1作截面,
9、则二面角 BDC1C 的大小是_.(用反三角函数值表示)4在边长为 a 的正三角形 ABC 中,ADBC 于 D,沿 AD 折成二面角 BADC 后,BC21 a,这时二面角 BADC 的大小为()A30B45C60D905 已知AOB=90,过 O 点引AOB 所在平面的斜线 OC,与 OA、OB 分别成 45、60,则以OC 为棱的二面角 AOCB 的余弦值等于_6如图 2,在四棱锥PABCD,底面 ABCD 为矩形,PD 底面 ABCD,E 是 AB 上一点,PEEC已知1222PDCDAE=,求:(1)异面直线 PD 与 EC 的距离;(2)二面角 EPCD的大小7如图,在长方体 AB
10、CDA1B1C1D1,中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 在棱 AB 上移动.(1)证明:D1EA1D;高考资源网()您身边的高考专家版权所有高考资源网(2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1的距离;(3)AE 等于何值时,二面角 D1ECD 的大小为 4.8已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形,ABDC,=PADAB,90底面 ABCD,且 PA=AD=DC=21 AB=1,M 是 PB 的中点。()证明:面 PAD面 PCD;()求 AC 与 PB 所成的角;()求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小.9.如 图,在 四 棱 锥 PABCD 中,底 面 A
11、BCD 是 矩 形.已 知AB=3,AD=2,PA=2,PD=22,PAB=60.10矩形 ABCD 中,AB=6,BC=32,沿对角线 BD 将三角形 ABD 向上折起,使点 A 移动到点 P,且点 P 在平面 BCD 上的射影在 DC 上(如图).(1)求证:PDPC;(2)求二面角 PDBC 的大小;(3)求直线 CD 与平面 PBD 所成角的大小.【变式演练详细解析】【变式演练 1 详细解析】图(2)高考资源网()您身边的高考专家版权所有高考资源网又已知 DE=3,从而 BC=23 DE=29.【变式演练 2 详细解析】(1)证明如图,以 O 为坐标原点,OB,OC,OP 所在直线分别
12、为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则 O(0,0,0),A(1,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D12,12,0.设 n1(x1,y1,z1)是平面 POD 的一个法向量,则由 n1OD0,nOP0,得12x112y10,2z10.所以 z10,x1y1.取 y11,得 n1(1,1,0)设 n2(x2,y2,z2)是平面 PAC 的一个法向量,则由 n2PA0,n2PC0,得x2 2z20,y2 2z20.所以 x2 2z2,y2 2z2.取 z21,得 n2(2,2,1)因为 n1n2(1,1,0)(2,2,1)0,所以 n1n2.从而平面 PO
13、D平面 PAC.(2)解因为 y 轴平面 PAB,所以平面 PAB 的一个法向量为 n3(0,1,0)由(1)知,平面 PAC 的一个法向量为 n2(2,2,1)设向量 n2和 n3的夹角为,则 cos n2n3|n2|n3|25 105.由图可知,二面角 BPAC 的平面角与相等,所以二面角 BPAC 的余弦值为 105.【反馈训练详细解析】1C【解析】:由已知 DA=BC,DB=DC=AB=AC.取 BC 中点 E,连结 DE、AE,则 DEBC,AEBC,高考资源网()您身边的高考专家版权所有高考资源网AED 就是所求二面角的平面角.CE=1,DC=3,DE=2.同理 AE=2.又 DA
14、=2,AE2+DE2=DA2.AED=90.故选 C.3.arccos 33【解析】:如图所示,过点 C 作 C1D 的垂线交 C1D 于点 E,连结 EB,则 BC 是平面 C1D的垂线,CE 是 BE 在平面 CC1D1D 内的射影.由三垂线定理 BEC1D,则CEB 为二面角 BC1DC 的平面角,设正方体棱长为 1,在BEC 中,设BEC=,BCE=90,CE=22,高考资源网()您身边的高考专家版权所有高考资源网BE=2622=+CEBC,cos=332622=EBCE.=arccos 33.0DE CE=,即 DECE,又 DEPD,故 DE 是异面直线 PD 与 EC 的公垂线而
15、1DE=,即异面直线 PD 与 EC 的距离为 1(2)作 DGPC,并设(0)Gyz,(0)(0 22)DGyz PC=,且0DG PC=,则2zy=,可取(012)DG=,再作 EFPC于 F,并设(0)Fmn,3122EFmn=,且0EF PC=,则222nm=,又取3 12222EF=,由 DGPC,EFPC,可知 DG与 EF的夹角就是所求二面角 的大小,2cos2DG EFDG EF=,即所求二面角为 4 7.【解析】:以 D 为坐标原点,直线 DA,DC,DD1分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,设AE=x,则 A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A
16、(1,0,0)C(0,2,0)(1)11(1,0,1)(1,1)DA D Ex=因为110,.DAD E=所以高考资源网()您身边的高考专家版权所有高考资源网()因为 E 为 AB 的中点,则 E(1,1,0),从而)0,2,1(),1,1,1(1=ACED,)1,0,1(1=AD,由10,20(2)0.0,n D Ccaxn CE=+=).2,1,2(xn=依题意11|2cos 42|n DDnDD=222.2(2)5x=+321+=x(不合,舍去),322=x.AE=32 时,二面角 D1ECD 的大小为 4(0,0,1),(0,1,0),APDC=0,.AP DCAPDC=故所以又由题设
17、知 ADDC,且 AP 与与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线,由此得 DC面 PAD.又 DC 在面 PCD 上,故面 PAD面 PCD()解:因),1,2,0(),0,1,1(=PBAC高考资源网()您身边的高考专家版权所有高考资源网|2,|5,2,10cos,.5|ACPBAC PBAC PBAC PBACPB=故由此得 AC 与 PB 所成的角为.510arccos()解:设平面 ACM 的法向量为(,1)nx y=,由1,(0,1,)2nAC AM=垂直于得:1 1(,1)2 2n=设平面 BCM 的法向量为(,1)mx y=同上得11(,1)22m=1cos,3m n=结合图
18、形可得二面角 A-MC-B 为1arccos 3 0,0,.AN MCBN MCANMC BNMCANB=由得:所以为所求二面角的平面角.30304|,|,.555ANBNAN BN=2cos(,).3|AN BNAN BNANBN=2arccos().3故所求的二面角为9.【解析】:(1)证明:如图,在PAD 中,由题设 PA=2,AD=2,PD=22,可得 PA2+AD2=PD2,所以ADPA.在矩形 ABCD 中,ADAB,又 PAAB=A,所以 AD平面 PAB.高考资源网()您身边的高考专家版权所有高考资源网AH=PAcos60=1,BH=AB-AH=2,BD=22ADAB+=13,
19、HE=BDAD BH=134,于是在 RtPHE中,tanPEH=439=HEPH,所以二面角 PBDA 的大小为 arctan439.10.【解析】(1)证明:四边形 ABCD 为矩形,BCCD,DAAB.A 点移动到了 P 点,PDPB.又P 点在平面 BCD 上的射影在 CD 上,过 P 点作 PFCD,则 PF平面 BCD.于是 BC平面 PCD,BCPD.PD平面 PBC,得 PDPC.(2)解:由 PF平面 BCD,过点 F 作 EFBD,连结 PE,故PEF 为二面角 PBDC 的平面角.PDPC,则CPD 为直角三角形,由 PD=32,CD=6,得 PC=62.PF=22.又在 RtDPB 中,PD=32,PB=6,BD=34,PE=3.于是 sinPEF=322,故PEF=arcsin322.高考资源网()您身边的高考专家版权所有高考资源网(3)解:过 F 点作 FGPE;由(2)可知,FG平面 PDB,连结 GD,GDF 为直线 CD 与平面 PDB 所成的角.