1、高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网第第第第 19191919 讲：二面角的求法讲：二面角的求法讲：二面角的求法讲：二面角的求法【考纲要求】能用向量的方法解决二面角的计算问题。【基础知识】一、二面角的定义平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分叫做半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做这个二面角的平面角.二、二面角的范围规定：二面角的两个半平面重合时，二面角为00，当两个半平面合成一个平面时，二面角
2、为0180，因此，二面角的大小范围为000,180.三、二面角的求法方法一：（几何法）找 作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指 求（解三角形）方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量,m n；再代入公式 cosm nm n=（其中,m n 分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角。）求解。（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）四、求二面角体现的是数学的转化的思想，就是把空间的角转化为平面的角，再利用解三角形的知识解答。例 1如图所示，过正方形 ABCD 的顶点 A 作 PA平面 ABCD，设 PA=AB=a，求:（1）二面角 BPCD 的大小；（2）平面 PAB 和平面 PCD 所成
3、二面角的大小.解：（1）PA平面 ABCD，BDAC，BDPC（三垂线定理）在平面 PBC 内，作 BEPC，E 为垂足，连结 DE，得 PC平面 BED，从而 DEPC，即BED 是二面角 BPCD 的平面角.在 RtPAB 中，由 PA=AB=a，得 PB=2 a.PA平面 ABCD，BCAB，BCPB（三垂线定理）PC=aBCPB322=+在 RtPBC 中，BE=.3632aaaaPCBCPB=同理 DE=a36.在BDE 中，根据余弦定理，得 cosBED=+DEBEBDDEBE222221322232322222=+aaaa.BED=120，即二面角 BPCD 的大小为 120.高
4、考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网（2）过 P 作 PQAB，则 PQ 平面 PAB.ABCD，PQCD，PQ 平面 PCD.PAAB，PAPQ PA平面 ABCD，CDAD.CDPD 即 QPPD，则APD 即为所求的二面角，PA=AD=a,PAAD，APD=45 即所求的二面角的大小为 45.ECAEDBAD=2，DE=3.现将ABC 沿 DE 折成直二面角.求：（1）异面直线 AD 与 BC 的距离；（2）二面角 AECB 的大小。方法二向量法使用情景二面角的平面角不易作出来。解题步骤建立空间直角坐标系 求出两个平面的法向量,m n 代入公式cosm nm n=（其中,m n
5、 分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角。）求解。（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）例 2已知四棱锥PABCD 的底面为直角梯形，ABDC，90DAB=，PA 底面 ABCD，且112PAADDCAB=，M 是 PB 的中点（1）证明：面 PAD 面 PCD；（2）求 AC 与 PB 所成的角；（3）求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小证明：以 A 为坐标原点，ADABAP，所在直线分别为 xyz，轴，建立如图 1 所示空间直角坐标系，则1(0 0 0)(0 2 0)(11 0)(11 0)(0 0 1)0 1 2ABCDPM，图（1）高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考
6、资源网且111010 11 0222MAMBMC=，【变式演练 2】如图，在圆锥 PO 中，已知 PO 2，O 的直径 AB2，C 是 AB 的中点，D为 AC 的中点(1)证明：平面 POD平面 PAC；(2)求二面角 BPAC 的余弦值【高考精选传真】1、（2012 高考真题广东理 18）如图所示，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 为矩形，PA 平面 ABCD，点 E 在线段 PC 上，PC 平面 BDE。（1111）证明：BD 平面 PAC；（2222）若1,2PAAD=，求二面角 BPCA的正切值；【解析】（1111）PC 平面 BDE，BD 面 BDEBDPCPA 平面 ABC
7、D，BD 面 ABCDBDPA又 PAPCPBD=面 PAC（2）ACBDO=由（1）得：BDACABAD=，1,22PAADAB=，PC 平面,BDEBFPC OFPCBFO 是二面角BPCA2.2.2.2.【2012201220122012 高考真题新课标理 19191919】如图，直三棱柱111ABCA B C中，112ACBCAA=，高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网D 是棱1AA 的中点，BDDC 1（1）证明：BCDC 1（2）求二面角11CBDA的大小.1111111ACB CC OA B=，面111A B C 面1A BD1C O 面1A BD1OHBDC HBD
8、得：点 H 与点 D 重合且1C DO是二面角11CBDA的平面角设 ACa=，则122aC O=，1112230C DaC OC DO=既二面角11CBDA的大小为30【反馈训练】1.已知三棱锥的三个侧面和底面全等，且 AB=AC=3，BC=2.则以 BC 为棱，以平面 BDC 与平面 BDA 为面的二面角的大小为()高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网A.4B.3C.2D.322.正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 AB 的中点，则二面角 CA1EB 的正切值为()A.25B.5C.3D.23.如图所示,正方体 ABCDA1B1C1D1中,过顶点 B、D、C1作截面,
9、则二面角 BDC1C 的大小是_.(用反三角函数值表示)4在边长为 a 的正三角形 ABC 中，ADBC 于 D，沿 AD 折成二面角 BADC 后，BC21 a，这时二面角 BADC 的大小为（）A30B45C60D905 已知AOB=90,过 O 点引AOB 所在平面的斜线 OC，与 OA、OB 分别成 45、60，则以OC 为棱的二面角 AOCB 的余弦值等于_6如图 2，在四棱锥PABCD，底面 ABCD 为矩形，PD 底面 ABCD，E 是 AB 上一点，PEEC已知1222PDCDAE=，求：（1）异面直线 PD 与 EC 的距离；（2）二面角 EPCD的大小7如图，在长方体 AB
10、CDA1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点 E 在棱 AB 上移动.（1）证明：D1EA1D；高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网（2）当 E 为 AB 的中点时，求点 E 到面 ACD1的距离；（3）AE 等于何值时，二面角 D1ECD 的大小为 4.8已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形，ABDC，=PADAB,90底面 ABCD，且 PA=AD=DC=21 AB=1，M 是 PB 的中点。（）证明：面 PAD面 PCD；（）求 AC 与 PB 所成的角；（）求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小.9.如 图，在 四 棱 锥 PABCD 中，底 面 A
11、BCD 是 矩 形.已 知AB=3,AD=2,PA=2,PD=22,PAB=60.10矩形 ABCD 中,AB=6,BC=32,沿对角线 BD 将三角形 ABD 向上折起,使点 A 移动到点 P,且点 P 在平面 BCD 上的射影在 DC 上(如图).(1)求证:PDPC;(2)求二面角 PDBC 的大小;(3)求直线 CD 与平面 PBD 所成角的大小.【变式演练详细解析】【变式演练 1 详细解析】图(2)高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网又已知 DE=3,从而 BC=23 DE=29.【变式演练 2 详细解析】(1)证明如图，以 O 为坐标原点，OB，OC，OP 所在直线分别
12、为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0，2)，D12，12，0.设 n1(x1，y1，z1)是平面 POD 的一个法向量，则由 n1OD0，nOP0，得12x112y10，2z10.所以 z10，x1y1.取 y11，得 n1(1,1,0)设 n2(x2，y2，z2)是平面 PAC 的一个法向量，则由 n2PA0，n2PC0，得x2 2z20，y2 2z20.所以 x2 2z2，y2 2z2.取 z21，得 n2(2，2，1)因为 n1n2(1,1,0)(2，2，1)0，所以 n1n2.从而平面 PO
13、D平面 PAC.(2)解因为 y 轴平面 PAB，所以平面 PAB 的一个法向量为 n3(0,1,0)由(1)知，平面 PAC 的一个法向量为 n2(2，2，1)设向量 n2和 n3的夹角为，则 cos n2n3|n2|n3|25 105.由图可知，二面角 BPAC 的平面角与相等，所以二面角 BPAC 的余弦值为 105.【反馈训练详细解析】1C【解析】:由已知 DA=BC，DB=DC=AB=AC.取 BC 中点 E，连结 DE、AE，则 DEBC,AEBC,高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网AED 就是所求二面角的平面角.CE=1,DC=3,DE=2.同理 AE=2.又 DA
14、=2，AE2+DE2=DA2.AED=90.故选 C.3.arccos 33【解析】:如图所示,过点 C 作 C1D 的垂线交 C1D 于点 E,连结 EB,则 BC 是平面 C1D的垂线,CE 是 BE 在平面 CC1D1D 内的射影.由三垂线定理 BEC1D,则CEB 为二面角 BC1DC 的平面角,设正方体棱长为 1,在BEC 中,设BEC=,BCE=90,CE=22,高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网BE=2622=+CEBC,cos=332622=EBCE.=arccos 33.0DE CE=，即 DECE，又 DEPD，故 DE 是异面直线 PD 与 EC 的公垂线而
15、1DE=，即异面直线 PD 与 EC 的距离为 1（2）作 DGPC，并设(0)Gyz，(0)(0 22)DGyz PC=，且0DG PC=，则2zy=，可取(012)DG=，再作 EFPC于 F，并设(0)Fmn，3122EFmn=，且0EF PC=，则222nm=，又取3 12222EF=，由 DGPC，EFPC，可知 DG与 EF的夹角就是所求二面角 的大小，2cos2DG EFDG EF=，即所求二面角为 4 7.【解析】：以 D 为坐标原点，直线 DA，DC，DD1分别为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则 A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A
16、（1，0，0）C（0，2，0）（1）11(1,0,1)(1,1)DA D Ex=因为110,.DAD E=所以高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网（）因为 E 为 AB 的中点，则 E（1，1，0），从而)0,2,1(),1,1,1(1=ACED，)1,0,1(1=AD，由10,20(2)0.0,n D Ccaxn CE=+=).2,1,2(xn=依题意11|2cos 42|n DDnDD=222.2(2)5x=+321+=x（不合，舍去），322=x.AE=32 时，二面角 D1ECD 的大小为 4(0,0,1),(0,1,0),APDC=0,.AP DCAPDC=故所以又由题设
17、知 ADDC，且 AP 与与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线，由此得 DC面 PAD.又 DC 在面 PCD 上，故面 PAD面 PCD（）解：因),1,2,0(),0,1,1(=PBAC高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网|2,|5,2,10cos,.5|ACPBAC PBAC PBAC PBACPB=故由此得 AC 与 PB 所成的角为.510arccos（）解：设平面 ACM 的法向量为(,1)nx y=，由1,(0,1,)2nAC AM=垂直于得：1 1(,1)2 2n=设平面 BCM 的法向量为(,1)mx y=同上得11(,1)22m=1cos,3m n=结合图
18、形可得二面角 A-MC-B 为1arccos 3 0,0,.AN MCBN MCANMC BNMCANB=由得:所以为所求二面角的平面角.30304|,|,.555ANBNAN BN=2cos(,).3|AN BNAN BNANBN=2arccos().3故所求的二面角为9.【解析】:(1)证明:如图,在PAD 中,由题设 PA=2,AD=2,PD=22,可得 PA2+AD2=PD2,所以ADPA.在矩形 ABCD 中,ADAB,又 PAAB=A,所以 AD平面 PAB.高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网AH=PAcos60=1,BH=AB-AH=2,BD=22ADAB+=13,
19、HE=BDAD BH=134,于是在 RtPHE中，tanPEH=439=HEPH,所以二面角 PBDA 的大小为 arctan439.10.【解析】(1)证明:四边形 ABCD 为矩形,BCCD,DAAB.A 点移动到了 P 点,PDPB.又P 点在平面 BCD 上的射影在 CD 上,过 P 点作 PFCD,则 PF平面 BCD.于是 BC平面 PCD,BCPD.PD平面 PBC,得 PDPC.(2)解:由 PF平面 BCD,过点 F 作 EFBD,连结 PE,故PEF 为二面角 PBDC 的平面角.PDPC,则CPD 为直角三角形,由 PD=32,CD=6,得 PC=62.PF=22.又在 RtDPB 中,PD=32,PB=6,BD=34,PE=3.于是 sinPEF=322,故PEF=arcsin322.高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网(3)解:过 F 点作 FGPE;由(2)可知,FG平面 PDB,连结 GD,GDF 为直线 CD 与平面 PDB 所成的角.