1、高 考 总 复 习 艺考生山东版数学 第2节 用样本估计总体第八章 统计与统计案例最新考纲核心素养考情聚焦1.了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释1.频率分布直方图，达成数据分析和逻辑推理的素养2.茎叶图的应用，达成数据分析和逻辑推理的素养 预计在 2020 年的高考中用样本估计总体的考查主要有三点：1.频率分布直方图2.根据茎叶图、频率分布直方图估计总体4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征
2、估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题3.样本的数字特征，提升数据分析、逻辑推理的素养和数学运算的素养3.在实际问题中的应用要正确审题，搞清概念、记准公式、数形结合、适当转化常在选择题、填空题中考查，在解答题与概率、统计综合起来考查，一般难度不会太大，属中低档题型1通常我们对总体作出的估计一般分成两种，一种是用样本的频率分布估计总体的频率分布，另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征2在频率分布直方图中，纵轴表示频率组距，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，各小长方形的面积总和等于 1.3连接频率分布直方
3、图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为总体密度曲线，它能够更加精细的反映出总体在各个范围内取值的百分比4当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，给数据的记录和表示都带来方便5茎叶图的画法步骤第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列，写在左(右)侧；有两组数据时，写在中间；第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧6样本的数字特征数字特征定义众数在一组数据中，出
4、现次数 最多 的数据叫做这组数据的众数中位数将一组数据按大小依次排列，把处在 最中间 位置的一个数据(或最中间两个数据的 平均数)叫做这组数据的中位数在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积 相等 平均数样本数据的算术平均数，即 x x1x2xnn 方差s21n(x1 x)2(x2 x)2(xn x)2，其中 s为标准差 频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数的估计值(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和思考辨析 判断
5、下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率()(2)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间内的频率越高()(3)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次()(4)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势()(5)一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据()(6)一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)小题查验1(人教 A 版教材 P81A 组 T1 改编)若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如
6、茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是()A91.5 和 91.5 B91.5 和 92C91 和 91.5 D92 和 92解析：A 这组数据由小到大排列为 87,89,90,91,92,93,94,96，中位数是9192291.5，平均数 x 8789909192939496891.5.2(2019全国卷)演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分.7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是()A中位数B平均数C方差D极差解析：A 去掉 1 个最高分，1 个最低分，不变的
7、数字特征为中位数3(2019齐齐哈尔市模拟)某高校调查了 320 名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5,30，样本数据分组为17.5,20)，20,22.5)，22.5,25)，25,27.5)，27.5,30根据直方图，这 320 名学生中每周的自习时间不足 22.5 小时的人数是()A68 B72 C76 D80解析：B 由频率分布直方图得每周的自习时间不足 22.5 小时的频率为(0.020.07)2.50.225，这 320 名学生中每周的自习时间不足 22.5 小时的人数是 0.22532072.故选 B.4为了普及环保知识
8、，增强环保意识，某大学随机抽取 30 名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为m，众数为 n，平均数为 x，则 m，n，x 的大小关系为 _.(用“”表示)解析：由图可知，30 名学生得分的中位数为第 15 个数和第 16个数(分别为 5,6)的平均数，即 m 5.5；又 5 出现次数最多，故 n5；x 233410566372829210305.97.故n m x.答案：nm x5(2019全国卷)我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99
9、，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_解析：平均正点率的估计值为100.97200.98100.99400.98.答案：0.98考点一 频率分布直方图(自主练透)题组集训1学校根据某班的期中考试成绩绘制了频率分布直方图(如图所示)，根据图中所给的数据可知 ab()A0.024 B0.036 C0.06 D0.6解析：C 根据频率分布直方图得，(0.01ab0.0180.012)101，解得 ab0.06.故选 C.2(2019黔东南州一模)经过中央电视台魅力中国城栏目的三轮角逐，黔东南州以三轮竞演总分排名第一名问鼎“最具人气魅力城市”如图统计了黔东南州从 2010 年到 2017
10、 年的旅游总人数(万人次)的变化情况，从一个侧面展示了大美黔东南的魅力所在根据这个图表，在下列给出的黔东南州从 2010 年到 2017 年的旅游总人数的四个判断中，错误的是()A旅游总人数逐年增加B2017 年旅游总人数超过 2015、2016 两年的旅游总人数的和C年份数与旅游总人数成正相关D从 2014 年起旅游总人数增长加快解析：B 从图表中看出：在 A 项中，旅游总人数逐年增加，故 A 正确；在 B 项中，2017 年旅游总人数没有超过 2015、2016 两年的旅游总人数的和，故 B 错误；在 C 项中，年份数与旅游总人数成正相关，故 C 正确；在 D 项中，从 2014 年起旅游
11、总人数增长加快，故 D 正确故选B.3(2019全国卷)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成 A、B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液每只小鼠给服的溶液体积相同，摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如下直方图：记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到 P(C)的估计值为 0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中 a，b 的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)解
12、析：本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题(1)由题得 a0.200.150.70，解得 a0.35，由 0.05b0.151P(C)10.70，解得 b0.10.(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为0.1520.2030.3040.2050.1060.0574.05，乙离子残留百分比的平均值为 0.0530.1040.1550.3560.2070.1586.00答案：(1)a0.35，b0.10；(2)4.05,6.00用频率分布直方图解决相关问题时，应正确理解图表中各个量的意义，识图掌握信息是解决该类问题的关键频率分布直方图有以下几个要点：(1)纵轴表示频率/组距；(
13、2)频率分布直方图中各长方形高的比也就是其频率之比；(3)直方图中每一个矩形的面积是样本数据落在这个区间上的频率，所有的小矩形的面积之和等于 1，即频率之和为 1.考点二 茎叶图的应用(师生共研)典例(1)(2019安阳市二模)在某校连续 5 次考试成绩中，统计甲，乙两名同学的数学成绩得到如图所示的茎叶图已知甲同学 5次成绩的平均数为 81，乙同学 5 次成绩的中位数为 73，则 xy 的值为()A3 B4 C5 D6解析：A 根据茎叶图中甲同学的 5 次成绩的平均数为15(72778680 x90)81，解得 x0；乙同学 5 次成绩按大小排列为 67,70，(70y)，85,91，其中位数
14、为 73，y3；xy033.故选 A.(2)甲、乙两人在淘宝网各开一家网店，直销同一厂家的同一种产品，厂家为考察两人的销售业绩，随机选了 10 天，统计两店销售量，得到如图所示的茎叶图，由图知()A甲网店的极差大于乙网店的极差B甲网店的中位数是 46C乙网店的众数是 42 D甲网店的销售业绩好解析 D 甲网店极差为 58652，乙网店极差为 58553，A 错；甲网店中位数为 44，B 错；乙网店的众数为 13，C 错；甲网店平均数 110(6111232434745515851)35.6，乙网店平均数为 110(571313132234424258)24.9，所以甲网店的业绩好.故选 D.在
15、使用茎叶图时，一定要观察所有的样本数据，弄清楚这个图中数字的特点，不要漏掉了数据，也不要混淆茎叶图中茎与叶的含义提醒：茎叶图的绘制需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置上的数据跟踪训练1下面的茎叶图是某班学生在一次数学测试时的成绩：根据茎叶图，得出该班男、女生数学成绩的四个统计结论，其中错误的一项是()A15 名女生成绩的平均分为 78B17 名男生成绩的平均分为 77C女生成绩和男生成绩的中位数分别为 82,80D男生中的高分段和低分段均比女生多，相比较男生两极分化比较严重解析：C 15 名
16、女生成绩的平均分为115(909380808282838385707173756657)78，A 正确；17 名男生成绩的平均分为117(9393968082838686887174756262685357)77，故 B 正确；观察茎叶图，对男生、女生成绩进行比较，可知男生两极分化比较严重，D 正确；根据女生和男生成绩数据分析可得，两组数据的中位数均为 80，C错误故选 C.2(2018郴州市三模)将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分，去掉 1 个最低分，7 个剩余分数的平均分为 91，现场做的 9 个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以 x 表示：则 7 个剩余分数的方差为
17、()A.1169 B.367C36 D.6 77解析：B 由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，所剩的数据是 87,90,90,91,91,94,90 x，这组数据的平均数是87909091919490 x791，解得 x4，这组数据的方差是17(16110099)367.故选 B.考点三 样本的数字特征(多维探究)命题角度 1 样本的数字特征与直方图交汇 1(2019莆田市一模)为了解某校一次期中考试数学成绩情况，抽取 100 位学生的数学成绩，得如图所示的频率分布直方图，其中成绩分组区间是40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100，则估计该次数学成绩
18、的中位数是()A71.5 B71.8 C72 D75解析：C 由频率分布直方图得：(0.0042a0.030.040.01)101，解得 a0.08，成绩在40,70)的频率为：(0.0040.0080.03)100.42，成绩在70,80)的频率为 0.04100.4，估计该次数学成绩的中位数是：700.50.420.41072.故选C.样本的数字特征与直方图交汇是考试常见内容，时刻牢记，频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系，准确计算命题角度 2 样本的数字特征与茎叶图交汇 2为比较甲、乙两地某月 14 时的气温状况，随机选取该月中的5 天，将这 5 天中 14 时的气温数据(单位：)
19、制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温；甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温；甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为()AB C D解析：B 由题中茎叶图，知 x 甲2628293131529，s甲 152629228292292923129231292 3105；x 乙2829303132530，s乙 1528302293023030231302323022.所以 x 甲 s乙，故选 B.由
20、茎叶图，一方面可以由图形得到相应的样本数据，再直接由公式计算平均数、方差(标准差)；另一方面，可以从图形直观分析样本数据的分布情况，大致判断平均数的范围，并利用数据的波动性大小比较方差(标准差)的大小命题角度 3 样本的数字特征与优化决策问题 3甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：甲乙丙丁平均环数 x8.38.88.88.7方差 s23.53.62.25.4从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是()A甲B乙C丙 D丁解析：C 由题目表格中数据可知，乙、丙平均环数最高，且方差最小，说明技术稳定，且成绩好，选 C.平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小在实际决策中，方差越小，波动越小，成绩越稳定
