1、8.3简单几何体的表面积与体积8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积素养目标定方向素养目标学法指导1了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.(逻辑推理)2理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系.(逻辑推理)3能利用计算公式求几何体的表面积与体积.(数学运算)1求棱柱、棱锥、棱台的表面积时，要充分利用侧面展开图与原几何体的关系；2求体积时，要准确把握底面积和高，尤其是四面体.优先选面积容易求出的面作为底面.必备知识探新知知识点1棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体_各个面_的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的_各个面_的面积的和.知识点2棱柱、棱锥、
2、棱台的体积几何体体积说明棱柱V棱柱ShS为棱柱的_底面积_，h为棱柱的_高_棱锥V棱锥ShS为棱锥的_底面积_，h为棱锥的_高_棱台V棱台(SS)hS，S分别为棱台的_上、下底面面积_，h为棱台的_高_知识解读1棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积(1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开分别是平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积.(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和.2对于棱柱、棱锥、棱台的体积公式的几点认识(1)等底、等高的两个棱柱的体积相同.(2)等底、等高的棱锥和棱柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高
3、的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系VShV(SS)hVSh.(4)求棱台的体积可转化为求棱锥的体积.根据棱台的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去“小棱锥”的方法求棱台的体积.关键能力攻重难题型探究题型一棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积典例1现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积.分析利用体对角线的长求出底面对角线长，由此求出菱形的边长.解析如图，设底面对角线ACa，BDb，交点为O，体对角线A1C15，B1D9，a252152，b25292，a2200，b256该直四棱柱的底面是菱形，A
4、B22264，AB8直四棱柱的侧面积S侧485160直四棱柱的底面积S底ACBD20.直四棱柱的表面积S表16022016040.归纳提升棱柱、棱锥、棱台的表面积求法(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和.【对点练习】已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥SABCD如图所示，求它的侧面积、表面积.解析四棱锥SABCD的各棱长均为5，各侧面都是全等的正三角形.设E为AB的中点，连接SE，则SEAB，S侧4SSAB4ABSE2525，S表S侧S底252525(1).题型二棱柱、棱锥、棱台的体积典例2(1)已知高为3的三棱柱ABCA1B1
5、C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1ABC的体积为(D)ABCD(2)正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2求其体积.分析利用体积公式计算求解.解析(1)设三棱锥B1ABC的高为h，则V三棱锥B1ABCSABCh3.(2)正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B110 cm，AB20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高.设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形.S侧4(1020)EE1780(cm2)，EE113 cm.在直角梯形EOO1E1中，O1E1A1B15 cm，OEAB10 cm，O1O1
6、2(cm).故该正四棱台的体积为V12(1022021020)2 800(cm3).【对点练习】如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1BB1D1D的体积为_.解析由题意可知四棱锥A1BB1D1D的底面是矩形，边长为1和，四棱锥的高为A1C1，则四棱锥A1BB1D1D的体积为V1.题型三求体积的等积法与分割法典例3(1)如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1D1EF的体积.(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EFAB，EF2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求
7、该多面体的体积.分析(1)适合用等积法；(2)适合用分割法.解析(1)由V三棱锥A1D1EFV三棱锥FA1D1E，SA1D1EEA1A1D1a2，又三棱锥FA1D1E的高为CDa，V三棱锥FA1D1Eaa2a3，V三棱锥A1D1EFa3(2)如图，连接EB，EC，AC.V四棱锥EABCD42316AB2EF，EFAB，SEAB2SBEF.V三棱锥FEBCV三棱锥CEFBV三棱锥CABEV三棱锥EABCV四棱锥EABCD4多面体的体积VV四棱锥EABCDV三棱锥FEBC16420归纳提升求几何体体积的常用方法公式法直接代入公式求解等积法例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易
8、求的形式即可补体法将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等分割法将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积【对点练习】如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距离d.解析在三棱锥A1ABD中，ABADAA1a，A1BBDA1Da，VA1ABDVAA1BD，a2aaad.解得da.A到平面A1BD的距离为a.易错警示忽略对侧面展开图的分类讨论而致错典例4已知一个正三棱柱的侧面展开图是一个长为9 cm，宽为6 cm的矩形，求此正三棱柱的体积.错解由题知正三棱柱的底面周长为9 cm，宽为6 cm，则底面等边三角形的边长为3 cm.S底面33(cm2
9、).V正三棱柱Sh6(cm3).错因分析若侧面展开图是一个长、宽不等的矩形，其长和宽都可能是正三棱柱的底面周长.该解法中忽略了另一种情况，导致答案不完整.正解设正三棱柱的高为h cm，底面等边三角形的边长为a cm.若正三棱柱的底面周长为9 cm，则高h6 cm,3a9 cm，a3 cm.S底面33(cm2).V正三棱柱Sh6(cm3).若正三棱柱的底面周长为6 cm，则高h9 cm,3a6 cm，a2 cm.S底面22(cm2).V正三棱柱Sh99(cm3).故该正三棱柱的体积为 cm3或9 cm3误区警示解答此类问题一定要注意侧面展开图的长、宽都可能是底面的周长，不要漏解.【对点练习】如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_.解析由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连接顶点和底面中心即为高，可求高为，所以体积为V11.
