1、高考研究(二)天体运动中的“四大难点”分析天体运动的问题中，有以下四大难点：近地卫星、同步卫星及赤道上物体的运行问题；人造卫星的变轨问题；卫星的追及相遇问题；天体运动中的能量问题。题型简述近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转的物体的三种匀速圆周运动，比较这三种运动的轨道半径、线速度、角速度、运行周期、向心加速度等。|近地卫星、同步卫星及赤道上物体的运行问题方法突破(1)轨道半径：近地卫星与赤道上物体的轨道半径相同，同步卫星的轨道半径较大，即 r 同r 近r 物。(2)线速度：由 vGMr 可知，近地卫星的线速度大于同步卫星的线速度，由 vr 可知，同步卫星的线速度大于赤道上物体的线速度，即 v
2、 近v 同v 物。(3)角速度：同步卫星与赤道上物体的角速度相同，由 GMr3 可知，近地卫星的角速度大于同步卫星的角速度，即 近 同 物。方法突破(4)运行周期：同步卫星与赤道上物体的运行周期相同。由 T2 r3GM可知，近地卫星的周期要小于同步卫星的周期，即 T 近a 同a 物。例 1(2016四川高考)国务院批复，自 2016年起将 4 月 24 日设立为“中国航天日”。1970 年4 月 24 日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为 440 km，远地点高度约为 2 060 km；1984年 4 月 8 日成功发射的东方红二号卫星运行在赤
3、道上空 35 786 km 的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为 a1，东方红二号的加速度为 a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为 a3，则 a1、a2、a3 的大小关系为()Aa2a1a3 Ba3a2a1Ca3a1a2Da1a2a3解析 卫星围绕地球运行时，万有引力提供向心力，对于东方红一号，在远地点时有 GMm1Rh12m1a1，即 a1GMRh12，对于东方红二号，有 GMm2Rh22m2a2，即 a2GMRh22，由于 h2h1，故 a1a2，东方红二号卫星与地球自转的角速度相等，由于东方红二号做圆周运动的轨道半径大于地球赤道上物体做圆周运动的半径，根据 a2r
4、，故 a2a3，所以 a1a2a3，选项 D 正确，选项 A、B、C 错误。答案 D跟进训练 1(2017天津质检)地球赤道上有一物体随地球自转而做圆周运动，所受到的向心力为 F1，向心加速度为 a1，线速度为 v1，角速度为 1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)所受到的向心力为 F2，向心加速度 为 a2，线速度为 v2，角速度为 2；地球同步卫星所受到的向心力为 F3，向心加速度为 a3，线速度为 v3，角速度为 3。假设三者质量相等，地球表面的重力加速度为 g，第一宇宙速度为 v，则()AF1F2F3 Ba1a2ga3Cv1v2vv3D132解析：选 B 根据题意，研究对象
5、三者质量相等，轨道半径 r1r2r3。物体与近地人造卫星比较，由于赤道上物体受引力和支持力的合力提供向心力，而近地卫星只受万有引力，故 F1F2，故 A 错误；由选项 A 的分析知道向心力F1F2，故由牛顿第二定律可知 a1a2，故 B 错误；由 A 选项的分析知道向心力 F1F2，根据向心力公式 Fmv2R，由于 m、R 相等，故 v1T2，再根据 2T，有 132，故 D 正确。题型简述当人造卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或受空气阻力作用)，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行。例如飞船或卫星从地面发射时，一般先将其发射到距地球较近的轨道上做圆周运动，再在适当位置实施
6、变轨，使其离开原来的圆周轨道，在半长轴较大的椭圆轨道运动，当运行至椭圆轨道的远地点时再次实施变轨，使其在更大的圆周轨道上做圆周运动，这个轨道通常就是飞船或卫星稳定运行的工作轨道。|人造卫星的变轨问题方法突破(1)当卫星的速度突然增加时，GMmr2 mv2r，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时，由 vGMr可知其运行速度比在原轨道时大。例 2(多选)如图是“嫦娥三号”飞行轨道示意图。假设“嫦娥三号”运行经过 P 点第一次通过近月制动，使“嫦娥三号”在距离月面高度为 100 km 的圆轨道上运动，再次经过 P 点时第二次通过
7、近月制动，使“嫦娥三号”在距离月面近地点为 Q、高度为 15 km，远地点为 P、高度为 100 km 的椭圆轨道上运动，下列说法正确的是()A“嫦娥三号”在距离月面高度为 100 km 的圆轨道上运动时速度大小可能变化B“嫦娥三号”在距离月面高度为 100 km 的圆轨道上运动的周期一定大于在椭圆轨道上运动的周期C“嫦娥三号”在椭圆轨道上运动经过 Q 点时的加速度一定大于经过 P 点时的加速度D“嫦娥三号”在椭圆轨道上运动经过 Q 点时的速率可能小于经过 P 点时的速率解析 “嫦娥三号”在距离月面高度为 100 km 的圆轨道上运动是做匀速圆周运动，速度大小不变，选项 A错误；由于圆轨道的轨
8、道半径大于椭圆轨道半长轴，根据开普勒定律，“嫦娥三号”在距离月面高度为 100 km 的圆轨道上运动的周期一定大于在椭圆轨道上运动的周期，选项 B 正确；由于在 Q 点“嫦娥三号”距离月面近，所受万有引力大，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道上运动经过 Q点时的加速度一定大于经过 P 点时的加速度，选项 C 正确；“嫦娥三号”在椭圆轨道上运动的引力势能和动能之和保持不变，Q 点的引力势能小于 P 点的引力势能，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道上运动到 Q 点的动能较大，速率较大，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道上运动经过 Q 点时的速率一定大于经过 P 点时的速率，选项 D 错误。答案 BC 名师指津 解答本题时
9、，应注意以下两点：1轨道为椭圆轨道，需要利用开普勒行星运动定律解决速度、周期问题。2明确变轨前后速度的变化，要使卫星由较低的圆轨道进入较高的圆轨道，即增大轨道半径(增大轨道高度 h)，一定要给卫星增加能量，与在低轨道时比较，卫星在高轨道上的动能 Ek 减小了，势能 Ep 增大了，机械能 E 机也增大了(增加的机械能由燃烧燃料消耗化学能转化而来)。跟进训练2.(2017山东师大附中模拟)发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道 1，然后点火，使其沿椭圆轨道 2 运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道 3，轨道 1、2 相切于 Q 点，轨道 2、3 相切于 P 点，如图所示。则以下说法不正确
10、的是()A要将卫星由圆轨道 1 送入圆轨道 3，需要在圆轨道1 的 Q 点和椭圆轨道 2 的远地点 P 分别点火加速一次B由于卫星由圆轨道 1 送入圆轨道 3 被点火加速两次，则卫星在圆轨道 3 上正常运行速度要大于在圆轨道 1上正常运行的速度C卫星在椭圆轨道 2 上的近地点 Q 的速度一定大于7.9 km/s，而在远地点 P 的速度一定小于 7.9 km/sD卫星在椭圆轨道 2 上经过 P 点时的加速度等于它在圆轨道 3 上经过 P 点时的加速度解析：选 B 从轨道 1 变轨到轨道 2，需在 Q 点点火加速，从轨道 2 变轨到轨道 3 需要在 P 点点火加速，故 A说法正确；根据公式 GMm
11、r2 mv2r 解得 vGMr，即轨道半径越大，速度越小，故在轨道 3 上正常运行的速度小于轨道 1 上正常运行的速度，B 说法错误；第一宇宙速度是近地轨道环绕速度，即 7.9 km/s，轨道 2 上卫星在 Q点做离心运动，则速度大于 7.9 km/s，而轨道 3 上的运行速度都小于第一宇宙速度，则在远地点 P 的速度一定小于7.9 km/s，C 说法正确；根据 GMmr2 ma 可得 aGMr2，而卫星在椭圆轨道 2 上经过 P 点时和在圆轨道 3 上经过 P点时所受万有引力相同，故加速度相同，D 说法正确。本题选不正确的，故选 B。|卫星的追及相遇问题题型简述地面上沿同一轨道上运动的物体常
12、常出现追及相遇问题，天体运动中也有追及相遇问题，若某天体有两颗轨道共面的卫星，从某次它们在天体中心同侧与天体中心共线(两卫星相距最近)到下次出现这一情形称为相遇。方法突破某天体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分，但它们都处在同一条直线上。由于它们的轨道不重合，因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量。若卫星初始位置在同一直线上，则内轨道的卫星所转过的圆心角与外轨道的卫星所转过的圆心角之差为 的整数倍时就是出现最近或最远的时刻。例 3(多选)(2014全国卷)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳
13、之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。据报道，2014 年各行星冲日时间分别是：1 月 6 日木星冲日；4 月 9 日火星冲日；5 月 11 日土星冲日；8 月 29 日海王星冲日；10 月 8日天王星冲日。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是()地球火星 木星土星天王星海王星轨道半径(AU)1.01.55.29.51930A.各地外行星每年都会出现冲日现象B在 2015 年内一定会出现木星冲日C天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半D地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短解析 设某行星相邻两次冲日的时间间隔为 t，地球绕太阳运动
14、的周期为 T，某行星绕太阳运动的周期为 T行，则2T t2T行t2，可得 tT1 TT行；而根据开普勒定律可得T2T2行R3R3行，联立可得 tT1R3R3行，代入相关数据可得 t火T1R3R3火2.195T，t木T1R3R3木1.092T，t 土T1R3R3土1.035T，t 天T1R3R3天1.012T，t 海T1R3R3海1.006T；根据上述数据可知，各地外行星并不是每年都会出现冲日现象，A 错误；木星在 2014 年 1 月 6 日出现了木星冲日现象，再经 1.092T 将再次出现木星冲日现象，所以在 2015 年内一定会出现木星冲日，B 正确；根据上述数据可知，天王星相邻两次冲日的
15、时间间隔不是土星的一半，C 错误；根据上述数据可知，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短，D 正确。答案 42r3GT2跟进训练3.(多选)(2017河南实验中学模拟)“神舟十号”与“天宫一号”已多次成功实现交会对接。如图所示，交会对接前“神舟十号”飞船先在较低圆轨道 1 上运动，在适当位置经变轨与在圆轨道 2 上运动的“天宫一号”对接。M、Q 两点在轨道 1 上，P 点在轨道 2 上，三点连线过地球球心，把飞船的加速过程简化为只做一次短时加速。下列关于“神舟十号”变轨过程的描述，正确的有()A“神舟十号”在 M 点加速，可以在 P 点与“天宫一号”相遇B“神舟十号”在 M 点经一次加速，即可变轨
16、到轨道 2C“神舟十号”经变轨后速度总大于变轨前的速度D“神舟十号”变轨后的运行周期总大于变轨前的运行周期解析：选 AD “神舟十号”与“天宫一号”实施对接，需要“神舟十号”抬升轨道，即“神舟十号”开动发动机加速做离心运动，使轨道高度抬高与“天宫一号”实现对接，故“神舟十号”在 M 点加速，可以在 P 点与“天宫一号”相遇，故A 正确；“神舟十号”绕地球做圆周运动向心力由万有引力提供，故有 GMmr2 mv2r，解得：vGMr，所以“神舟十号”轨道高度越大线速度越小，“神舟十号”在轨道 2 的速度小于轨道 1 的速度，所以 M 点经一次加速后，还有一个减速过程，才可变轨到轨道 2，故 B、C
17、错误；根据 GMmr2 m42rT2 解得：T2 r3GM，可知轨道半径越大，周期越大，所以“神舟十号”变轨后的运行周期总大于变轨前的运行周期，故 D 正确。|天体运动中的能量问题题型简述人造卫星在圆形轨道上运行时地球对卫星的引力充当向心力，地球引力对卫星不做功，卫星的动能和重力势能均不发生变化，但卫星在发射、变轨、对接、着陆等过程中伴随着功和能量的变化。方法突破卫星变轨做离心运动时克服地球引力做功，卫星的动能减少，重力势能增加，机械能不变；卫星变轨做近心运动时地球引力对卫星做正功，卫星的动能增加，重力势能减少，机械能不变；但卫星变轨前后，由于推进火箭做功，卫星的机械能不守恒，卫星若受到空气阻
18、力做变轨运动，克服空气阻力做功，机械能也不守恒。例 4(2014山东高考)2013 年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程。某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想：如图，将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到 h 高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球。设“玉兔”质量为 m，月球半径为 R，月面的重力加速度为 g 月。以月面为零势能面，“玉兔”在 h 高度的引力势能可表示为 Ep GMmhRRh，其中 G为引力常量，M 为月球质量。若忽略月球的自转，从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功为()A.mg月RRh(h2R)
19、B.mg月RRh(h 2R)C.mg月RRh h 22 R D.mg月RRh h12R解析 根据题意可知，要使“玉兔”和飞船在距离月球表面高为 h 的轨道上对接，若不考虑月球的自转影响，从开始发射到完成对接需要对“玉兔”做的功应为克服月球的万有引力做的功与在该轨道做圆周运动的动能之和，所以 WEpEk，Ep GMmhRRh，再根据：GMmRh2 mv2Rh，据此可求得需要的动能为：Ek GMm2Rh，再联系：GMg 月R2，由以上三式可求得，从开始发射到完成对接需要对“玉兔”做的功应为：Wmg月RRhh12R，所以 D 正确。答案 42r3GT2跟进训练4(多选)目前，在地球周围有许多人造地球
20、卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小。若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是()A卫星的动能逐渐减小B由于地球引力做正功，引力势能一定减小C由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变D卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小解析：选 BD 由于空气阻力做负功，卫星轨道半径变小，地球引力做正功，引力势能一定减小，动能增大，机械能减小，选项 A、C 错误，B 正确；根据动能定理，卫星动能增大，卫星克服阻力做的功小于地球引力做的正功，而地球引力做的正功等于引力势能的减小，所以卫星克服阻力做的功小于引力势能的减小，选项 D 正确。
