1、第二节空间点、直线、平面之间的位置关系1平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线2空间两条直线的位置关系(1)位置关系分类：(2)平行公理(公理4)和等角定理：平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补(3)异面直线所成的角：定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或
2、夹角)；范围：3空间直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交aA1个平行a0个在平面内a无数个平面与平面平行0个相交l无数个1公理的作用公理1：可用来证明点、直线在平面内公理2：可用来确定一个平面公理3：(1)可用来确定两个平面的交线(2)判断或证明多点共线(3)判断或证明多线共点公理4：(1)可用来判断空间两条直线平行(2)等角定理的理论依据2异面直线的两个结论(1)平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线(2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面1(基础知识：平面的概念)下列命题中，真命题是()A空间不同三点确定一个平面B空间两两相交的
3、三条直线确定一个平面C两组对边相等的四边形是平行四边形D和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内答案：D2(基础知识：空间直线的关系)若空间三条直线a，b，c满足ab，bc，则直线a与c()A一定平行 一定相交C一定是异面直线 D一定垂直答案：D3(基本方法：异面直线所成角的概念)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为()A30 B45C60 D90答案：C4(基础知识：点、线、面关系的推理)设P表示一个点，a，b表示两条直线，表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是_(填序号).Pa，Pa；abP，ba；ab
4、，a，Pb，Pb；b，P，PPb.答案：5.(基本应用：空间直线与平面关系的应用)如图所示，在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为正方形答案：(1)ACBD(2)ACBD且ACBD题型一平面的基本性质 典例剖析类型 1共面问题例1(1)如图所示，P，Q，R，S分别是所在正方体或四面体的棱的中点，则这四个点不共面的是()解析：选项ABC图中四点一定共面，选项D中四点不共面答案：D(2)如图所示，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，B
5、ADFAB90，BCAD且BCAD，BEAF且BEAF，G，H分别为FA，FD的中点证明：四边形BCHG是平行四边形；C，D，F，E四点是否共面？为什么？解析：证明：由题设知，因为G，H分别为FA，FD的中点，所以GHAD且GHAD，又BCAD且BCAD，故GHBC且GHBC，所以四边形BCHG是平行四边形C，D，F，E四点共面理由如下：由BEAF且BEAF，G是FA的中点知BEGF且BEGF，所以四边形EFGB是平行四边形，所以EFBG.由知BGCH，所以EFCH.故EC，FH共面又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面类型 2共点、共线问题例2如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D
6、1中，E，F分别是AB和AA1的中点求证：CE，D1F，DA三线共点证明：连接EF，CD1，A1B.EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA，CE，D1F，DA三线共点方法总结1由元素确定平面时，要看元素满足的条件(1)由点确定平面：三点不共线；(2)由点和线确定平面：点不在直线上；(3)由线确定平面：两条相交线，两条平行线2共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内
7、；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合(2)证明点共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定的直线上(3)证明线共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点题组突破1如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()AA，M，O三点共线BA，M，O，A1不共面CA，M，C，O不共面DB，B1，O，M共面解析：如图所示，连接A1C1，AC，则A1C1AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C平面ACC1A1，因为MA1C，所以M平面ACC1A1，又M平面
8、AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线答案：A2已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，ACBDP，A1C1EFQ.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线交于一点证明：(1)如图所示，连接B1D1.因为EF是D1B1C1的中位线，所以EFB1D1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1D1BD，所以EFBD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面(2)在正方体AB
9、CDA1B1C1D1中，连接A1C，设A1，C，C1确定的平面为，又设平面BDEF为.因为QA1C1，所以Q.又QEF，所以Q，所以Q是与的公共点，同理，P是与的公共点所以PQ.又A1CR，所以RA1C，R，且R.则RPQ，故P，Q，R三点共线(3)因为EFBD且EFBD，所以DE与BF相交，设交点为M，则由MDE，DE平面D1DCC1，得M平面D1DCC1，同理，点M平面B1BCC1.又平面D1DCC1平面B1BCC1CC1，所以MCC1.所以DE，BF，CC1三线交于一点题型二空间直线的位置关系 1已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则()Am与n异面Bm与n相交Cm与
10、n平行Dm与n异面、相交、平行均有可能解析：在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是mn1，选项AB错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，选项C错误答案：D2如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E2ED，CF2FA，则EF与BD1的位置关系是()A相交但不垂直 B相交且垂直C异面 D平行解析：连接D1E并延长交AD于M点(图略)，因为A1E2ED，可得M为AD中点，连接BF并延长交AD于N点，因为CF2FA，可得N为AD中点，所以M，N重合且，所以，所以EFBD1.答案：D3在下列各图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点
11、，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号).解析：图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG(图略)，则GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H平面GMN，因此GH与MN异面，在图中GH与MN异面答案：4如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点MAB1，NBC1，且AMBN，有以下四个结论：AA1MN；A1C1MN；MN平面A1B1C1D1；MN与A1C1是异面直线其中正确结论的序号是_解析：过N作NPBB1于点P，连接MP(图略)，可证AA1平面MNP，AA1MN, 正确过M，N
12、分别作MRA1B1，NSB1C1于点R，S(图略)，则当M不是AB1的中点，N不是BC1的中点时，直线A1C1与直线RS相交；当M，N分别是AB1，BC1的中点时，A1C1RS，A1C1与MN可以异面，也可以平行，故错误由正确知，AA1平面MNP，而AA1平面A1B1C1D1，平面MNP平面A1B1C1D1，故正确综上所述，其中正确结论的序号是.答案：方法总结 1异面直线的判定方法(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不
13、经过点B的直线是异面直线2线线平行或垂直的判定方法(1)对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理来判断(2)对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直3(拓展)注意几个“唯一”结论(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 题型三异面直线所成的角 典例剖析类型 1连线平移法例1(1)(2020青岛模拟)如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12
14、AB2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A BC D解析：如图所示，连接BC1，易证BC1AD1，则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角连接A1C1，由AB1，AA12，易得A1C1，A1BBC1，故cos A1BC1.答案：D(2)如图所示，在三棱锥ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是_.解析：如图所示，连接ND，取ND的中点E，连接ME，CE，则MEAN，则异面直线AN，CM所成的角即为EMC.由题可知CN1，AN2，ME.又CM2，DN2，NE，CE，则cos CME.答案：类型 2补体平移
15、法例2已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A BC D解析：如图所示，将直三棱柱ABCA1B1C1补成直四棱柱ABCDA1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1BC1，所以B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角因为ABC120，AB2，BCCC11，所以AB1，AD1.在B1D1C1中，B1C1D160，B1C11，D1C12，所以B1D1，所以cos B1AD1.答案：C方法总结求异面直线所成角的方法方法解读适合题型平移法将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平
16、行线， 形成三角形求解易于作出平行线的题目补形法在该几何体的某侧补接上同样一个几何体，在这两个几何体找异面直线相应的位置，形成三角形求解平行线不易作出的规则几何体题组突破1如图所示，圆柱O1O2的底面半径为1，高为2，AB是一条母线，BD是圆O1的直径，C是上底面圆周上一点，CBD30，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为()A. BC D解析：连接AO2，设AO2的延长线交下底面圆周上的点为E，连接CE，易知CAE(或其补角)即为异面直线AC与BD所成的角，连接CD(图略)，在RtBCD中，BCD90，BD2，CBD30，得BC，CD1.又ABDEAEBD2，AC，CE，所以在CAE中，co
17、s CAE，即异面直线AC与BD所成角的余弦值为.答案：C2平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为()A BC D解析：如图所示，过点A补作一个与正方体ABCDA1B1C1D1相同棱长的正方体，易知平面为平面AF1E，则m，n所成的角为EAF1.AF1E为正三角形，sin EAF1sin 60.答案：A1(2020高考全国卷)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行p4：若直线l平面，直线m平面，则ml
18、.则下述命题中所有真命题的序号是_p1p4p1p2p2p3p3p4解析：p1是真命题，两两相交且不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知p1为真命题；p2是假命题，因为空间三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；p3是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；p4是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线由以上结论知p2，p3，p4依次为真命题、真命题、假命题，从而中命题为真命题，中命题为假命题答案：2(2020高考全国卷)如图，在长方体ABCDA1B1
19、C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DEED1，BF2FB1.证明：(1)当ABBC时，EFAC；(2)点C1在平面AEF内证明：(1)如图，连接BD，B1D1.因为ABBC，所以四边形ABCD为正方形，故ACBD.因为BB1平面ABCD，于是ACBB1.又BDBB1B，所以AC平面BB1D1D.由于EF平面BB1D1D，所以EFAC.(2)如图，在棱AA1上取点G，使得AG2GA1，连接GD1，FC1，FG.因为D1EDD1，AGAA1，DD1綊AA1，所以ED1綊AG，于是四边形ED1GA为平行四边形，故AEGD1.因为B1FBB1，A1GAA1，BB1綊AA1，所以A1G綊
20、B1F，所以B1FGA1是平行四边形，所以FG綊A1B1，所以FG綊C1D1，四边形FGD1C1为平行四边形，故GD1FC1，于是AEFC1，所以A，E，F，C1四点共面，即点C1在平面AEF内如图所示，平面l，AD且ADl，BC且BCl，A，Bl.AD与BC是异面直线，且所成的角为，ADb，BCc，ABa，求DC的长度解析：在平面内，过B作BE綊AD，由异面直线所成角的定义知CBE，四边形ADEB为矩形，DEa.在BEC中，CE2b2c22bc cos ，由于ABBC，ABAD，ABBE，AB平面BCE，ABCE，即有DECE.在RtDEC中，DC2a2CE2a2b2c22bc cos ，DC.
