1、6.2 平面向量的运算 6.2.3 向量的数乘运算 第六章 平面向量及其应用 学 习 任 务1了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义(重点)2理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算(重点)3理解并掌握两向量共线的性质和判断方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题(难点)4理解实数相乘与向量数乘的区别(易混点)核 心 素 养 1通过向量的加法得到向量数乘运算的直观感知，再过渡到数乘运算及数乘运算律，养成数学抽象和数学运算的核心素养 2通过判断向量共线的学习，培养逻辑推理和数据分析的核心素养 情境导学探新知 NO.1 一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果
2、蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？蚂蚁向西运动3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是3a吗？你能用图形表示吗？问题：类比实数的运算“aaa3a”你能猜想实例中aaa的结果吗？知识点1 向量的数乘运算(1)定义：规定实数与向量a的积是一个，这种运算叫做向量的数乘，记作：a，它的长度与方向规定如下：|a|；当0时，a的方向与a的方向；当0时，a的方向与a的方向 向量|a|相同相反(2)运算律：设，为任意实数，则有：(a)；()a；(ab)；特别地，有()a；(ab)()aaaab(a)(a)ab(3)线性运算：向量的加、减、数乘运
3、算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是对于任意向量a，b，以及任意实数，1，2，恒有(1a2b)向量1a2b1(多选题)已知a，b为两个非零向量，下列说法中正确的是()A2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍 B2a与5a的方向相反，且2a的模是5a的模的25 C2a与2a是一对相反向量 Dab与(ba)是一对相反向量 ABC 先从实数的正负判断两向量方向的关系，再找两向量模的关系，从而得出结论 A正确，20，2a与a的方向相同，且|2a|2|a|B正确，50，5a与a的方向相同，且|5a|5|a|，又20，2a与a的方向相反，且|2a|2|a|，5a与2a的方向相反，且2a的模
4、是5a的模的25 C正确，按照相反向量的定义可以判断 D不正确，(ba)与ba是一对相反向量，而ab与ba是一对相反向量，ab与(ba)为相等向量 2若|a|1，|b|2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是()Ab2a Bb2a Ca2bDa2b A 因为a，b方向相同，故b2a 3化简：2(3a4b)8a_ 2a8b 原式6a8b8a2a8b 知识点2 向量共线定理 向量a(a0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使_ ba定理中把“a0”去掉可以吗？提示 定理中a0不能去掉若ab0，则实数可以是任意实数；若a0，b0，则不存在实数，使得ba 4判断下列各小题中的向量a，b是否共线
5、(其中e1，e2是两个不共线向量)(1)a5e1，b10e1；(2)a12e113e2，b3e12e2；(3)ae1e2，b3e13e2 解(1)b2a，a与b共线(2)a16b，a与b共线(3)设ab，则e1e2(3e13e2)，(13)e1(13)e2 e1与e2是两个不共线向量，130，130.这样的不存在，因此a与b不共线合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型1 向量的线性运算【例1】(对接教材P14例5)化简下列各式：3(6ab)9a13b；123a2ba12b 212a38b；2(5a4bc)3(a3bc)7a 解 原式18a3b9a3b9a 原式122a32b a3
6、4ba34ba34b0 原式10a8b2c3a9b3c7abc 向量数乘运算的方法(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数(2)向量也可以通过列方程来解把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算 跟进训练 1(1)化简234a3b13b146a7b；(2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x2ya，4x3yb，求向量x，y 解(1)原式234a3b13b32a74
7、b 23432 a31374 b 2352a1112b 53a1118b(2)3x2ya，4x3yb，由32得，x3a2b，代入得3(3a2b)2ya，所以y4a3b 所以x3a2b，y4a3b 类型2 向量共线定理【例2】(1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若AB2e18e2，CBe13e2，CD 2e1e2，求证：A，B，D三点共线；(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若 OP x OAyOB，求xy的值 1如何证明向量a与b共线？提示 要证明向量a与b共线，只需证明存在实数，使得ba(a0)即可，一般地，把a和b用相同的两个向量m，n表示出来，观察a与b具有倍数关系即可
8、 2如何证明A，B，C三点在同一直线上？提示 要证三点A，B，C共线，只需证明AB 与BC 或AB 与AC共线即可 解(1)证明：CBe13e2，CD 2e1e2，BD CD CBe14e2 又AB2e18e22(e14e2)，AB2BD，ABBD AB与BD有公共点B，A，B，D三点共线(2)由于A，B，P三点共线，所以向量AB，AP在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数，使APAB，即OP OA(OB OA)，所以OP(1)OA OB，故x1，y，即xy1 1本例(1)中把条件改为“AB e12e2，BC 5e16e2，CD7e12e2”，则A，B，C，D中哪三点共线？解 AB e
9、12e2，BD BC CD 5e16e27e12e22(e12e2)2AB AB，BD 共线，且有公共点B，A，B，D三点共线 2本例(1)中条件“AB 2e18e2”改为“AB 2e1ke2”且A，B，D三点共线，如何求k的值？解 因为A，B，D三点共线，则 AB 与 BD 共线设 AB BD(R)，BD CD CB2e1e2(e13e2)e14e2，2e1ke2e14e2由e1与e2不共线可得 2e1e1，ke24e2，2，k8 3试利用本例(2)中的结论判断下列三点P，A，B，是否共线 OP 13OA 23OB；OP 2OA 3OB；OP 45OA 15OB 解 中13231，P，A，B
10、三点共线；中231，P，A，B三点共线；中4515 351，P，A，B三点不共线 1证明或判断三点共线的方法(1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得ABAC(或BCAB等)即可(2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点存在实数x，y，使OA xOB yOC 且xy1 2利用向量共线求参数的方法 判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数，使得ab(b0)而已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，解方程从而求得的值 跟进训练 2已知e，f为两个不共线的向量，
11、且四边形ABCD满足ABe2f，BC4ef，CD 5e3f(1)将AD 用e，f表示；(2)证明：四边形ABCD为梯形 解(1)AD ABBC CD(e2f)(4ef)(5e3f)(145)e(213)f8e2f(2)证明：因为AD 8e2f2(4ef)2BC，所以AD 与BC同向，且AD的模为BC的模的2倍，所以在四边形ABCD中，ADBC，且ADBC，所以四边形ABCD是梯形 类型3 用已知向量表示未知向量【例3】(1)如图，ABCD中，E是BC的中点，若 AB a，ADb，则DE()A12ab B12ab Ca12bDa12b(2)如图所示，D，E分别是ABC的边AB，AC的中点，M，N
12、分别是DE，BC的中点，已知BCa，BD b，试用a，b分别表示DE，CE，MN (1)D DE DC CEAB12AD AB12AD a12b(2)解 由三角形中位线定理，知DE12BC，故DE 12BC，即DE12a CECBBD DE ab12a12ab MN MD DB BN12ED DB 12BC14ab12a14ab 1本例(1)中，设AC与BD相交于点O，F是线段OD的中点，AF的延长线交DC于点G，试用a，b表示AG 解 因为DGAB，所以DFGBFA，又因为DF12OD1212BD14BD，所以DGABDFBF13，所以AG AD DG AD 13AB13ab 2本例(1)中
13、，将“若AB a，AD b，则DE”改为“若点F为边AB的中点，设aDE，bDF，用a，b表示DB”解 由题意aAB12AD，b12ABAD，解得AB43a23b，AD 23a43b，所以DB ABAD 23a23b 用已知向量表示其他向量的方法有哪些？如何求解此类问题？提示 用已知向量表示其他向量有直接法和方程法(1)直接法(2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程 提醒：用已知向量表示未知向量的关键是弄清向量之间的数量关系 跟进训练 3如图所示，在四边形ABCD中，M，N分别是DC，AB的中点，已
14、知ABa，AD b，DC c，试用a，b，c表示BC，MN 解 BCBAAD DC ABAD DC abc MN MD DA AN12DC AD 12AB12cb12a12ab12c 当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 113122a8b4a2b 等于()A2ab B2ba CbaDab B 原式16(2a8b)13(4a2b)13a43b43a23ba2b 1 2 3 4 5 2点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是()AAB3BC BAC2BC CAC12BCDAC2CB D 由题意可知：AB 3BC；AC 2BC 2CB 故只有D正确 1 2 3 4 5 3(多选题)下列
15、非零向量a，b中，一定共线的是()Aa2e，b2e Bae1e2，b2e12e2 Ca4e125e2，be1 110e2 Dae1e2，b2e12e2 1 2 3 4 5 ABC 对于A，ba，有ab；对于B，b2a，有ab；对于C，a4b，有ab；对于D，a与b不共线 1 2 3 4 5 4设a，b是两个不共线的向量若向量ka2b与8akb的方向相反，则k_ 4 因为向量ka2b与8akb的方向相反，所以ka2b(8akb)2k，k8k4(因为方向相反，所以0k0)1 2 3 4 5 5如图所示，已知AP 43AB，用OA，OB 表示OP，则OP _ 13OA 43OB OP OA APOA 43ABOA 43(OB OA)13OA 43OB 回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)向量数乘的定义是什么？其几何意义又是什么？(2)向量数乘的运算律有哪些？(3)共线向量定理的内容是什么？如何利用共线向量定理解决三点共线问题？点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
