1、巩固层知识整合提升层题型探究空间几何体的表面积与体积【例1】如图所示的三棱锥OABC为长方体的一角其中OA，OB，OC两两垂直，三个侧面OAB，OAC，OBC的面积分别为1.5 cm2, 1 cm2, 3 cm2，求三棱锥OABC的体积解设OA，OB，OC的长依次为x cm，y cm，z cm，则由已知可得xy1.5，xz1，yz3.解得x1，y3，z2.将三棱锥OABC看成以C为顶点，以OAB为底面易知OC为三棱锥COAB的高于是VOABCVCOABSOABOC1.521(cm3)空间几何体的表面积与体积的求法(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.(2)旋
2、转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.(3)求复杂几何体的体积常用割补法、等积法求解.1如图所示，已知三棱柱ABCABC，侧面BBCC的面积是S，点A到侧面BBCC的距离是a，求三棱柱ABCABC的体积解连接AB，AC，如图所示，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥设所求体积为V，显然三棱锥AABC的体积是V.而四棱锥ABCCB的体积为Sa，故有VSaV，即VSa.与球有关的切、接问题【例2】(1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为()ABCD16(2)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，如果这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是()A96B
3、16 C24D48(1)B(2)D(1)如图，设PE为正四棱锥PABCD的高，则正四棱锥PABCD的外接球的球心O必在其高PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF.由球的性质可知PAF为直角三角形且AEPF，又底面边长为4, 所以AE2， PE6, 所以侧棱长PA2. 设球的半径为R, 则PF2R. 由三角形相似得PA2PFPE，即442R6，解得R，所以S4R24，故选B(2)由球的体积公式可求得球的半径R2.设球的外切正三棱柱的底面边长为a，高即侧棱长，为h，则h2R4.在底面正三角形中，由正三棱柱的内切球特征，有aR2，解得a4.故此三棱柱的体积V(4)2448.与球相关
4、问题的解题策略(1)作适当的截面(如轴截面等)时， 对于球内接长方体、正方体， 则截面一要过球心， 二要过长方体或正方体的两条体对角线，才有利于解题.(2)对于“内切”和“外接”等问题， 首先要弄清几何体之间的相互关系， 主要是指特殊的点、线、面之间的关系， 然后把相关的元素放到这些关系中来解决.2若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为_4Rr法一：如图，作DEBC于点E.设球的半径为r1，则在RtCDE中，DE2r1，CERr，DCRr.由勾股定理得4r(Rr)2(Rr)2，解得r1，故球的表面积为S球4r4Rr.法二：如图，设球心为O，球的半径为r1，连接OA，OB，
5、则在RtAOB中，OF是斜边AB上的高由相似三角形的性质得OF2BFAFRr，即rRr，故r1，故球的表面积为S球4Rr.空间点、线、面位置关系的判断与证明【例3】如图所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EFAC，AB，CEEF1.(1)求证：AF平面BDE；(2)求证：CF平面BDE. 证明(1)设AC与BD交于点O，连接EO，如图所示，EFAC，且EF1，AOAC1，四边形AOEF为平行四边形，AFOE.OE平面BDE，AF平面BDE，AF平面BDE.(2)连接FO，如图所示EFCO，EFCO1，且CE1，四边形CEFO为菱形，CFEO.四边形ABCD为正方形，BDAC
6、又平面ACEF平面ABCD，且平面ACEF平面ABCDAC，BD平面ACEF，CFBD又BDEOO，BD，EO平面BDE，CF平面BDE.空间平行、垂直关系的转化(1)平行、垂直关系的相互转化(2)证明空间线面平行或垂直需注意三点由已知想性质，由求证想判定适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论3如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点求证：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直线A1F平面ADE.证明(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC
7、1平面ABC又AD平面ABC，所以CC1AD又因为ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因为A1B1A1C1，F为B1C1的中点，所以A1FB1C1.因为CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE.空间角的计算问题【例4】如图，正方体的棱长为1，BCBCO，求：(1)AO与AC所成角的
8、度数；(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数解(1)ACAC，AO与AC所成的角就是OACAB平面BC，OC平面BC，OCAB，又OCBO，ABBOBOC平面ABO.又OA平面ABO，OCOA在RtAOC中，OC，AC，sinOAC，OAC30，即AO与AC所成角的度数为30.(2)如图，作OEBC于E，连接AE.平面BC平面ABCD，OE平面ABCD，OAE为OA与平面ABCD所成的角在RtOAE中，OE，AE，tanOAE.(3)OCOA，OCOB，OAOBO，OC平面AOB又OC平面AOC，平面AOB平面AOC即平面AOB与平面AOC所成角的度数
9、为90.空间角的求法,求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算.(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角).(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影).(3)二面角的平面角的作法常有三种：定义法；垂线法；垂面法.4如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，ABAC，D，E分别是BC，AB的中点，ACAD，设PC与DE所成的角为，PD与平面ABC所成的角为，二面角PBCA的平面角为，则，的大小关系是_D、E分别是BC、AB的中点，DEAC，PC与DE所成的角为PCA，即；PA平面ABC，PD与平面ABC所成
10、的角为PDA，即；过A作AHBC，垂足为H，连接PH，易证BC平面PAH，PHA是二面角PBCA的平面角，即. ABAC，ADAH，又ACAD，ACADAH，tan tan tan ，又，.培优层素养升华【典例】图是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB1，BEBF2，FBC60.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图.图图(1)证明：图中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；(2)求图中的四边形ACGD的面积解(1)证明：由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面由已知得ABBE，
11、ABBC，且BEBCB，故AB平面BCGE.又AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE.(2)如图，取CG的中点M，连接EM，DM.因为ABDE，AB平面BCGE，所以DE平面BCGE，故DECG.由已知，四边形BCGE是菱形，且EBC60，得EMCG，又DE平面DEM，EM平面DEM，DEEME.故CG平面DEM.因此DMCG.在RtDEM中，DE1，EM，故DM2.所以四边形ACGD的面积为4.本题的空间几何体是一个由多个多边形拼接而成的三棱柱，需考虑，拼接前后图形中的线面位置关系哪些发生了变化，哪些没有改变，通过平面和空间两个方向得到线线垂直，进而判定线面垂直，再利用面面垂直的判定定理
12、得到面面垂直.这个链式推理过程考查逻辑推理素养.通过由图形特征发现空间线面位置关系，考查直观想象素养.素养提升练如图所示，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点(1)证明：平面AMD平面BMC；(2)当三棱锥MABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值解(1)由题设知，平面CMD平面ABCD，且两平面的交线为CD因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC(2)如图，将几何体补成长方体ABCDA1B1C1D1，当三棱锥MABC体积最大时，M为的中点，即M为C1D1的中点取AB的中点N，CD的中点H，连接MN，MH，NH，则MNC1D1，MHC1D1，所以NMH为平面MAB与平面MCD所成二面角的平面角(或其补角)易知MHHN，MN，NH2，则sinNMH.所以平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值是.
