1、2015学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 数学学科（理科）参考答案及评分标准 2016.1一 填空题：(本题满分56分，每小题4分) 3 45 6 716 80 928 10 119 12 13 14二选择题：（本题满分20分，每小题5分）15A1617A18三 解答题：（本大题共5题，满分74分）19（本题满分12分）解：因为，,所以平面,所以.又.所以平面.故.-6分在中，,所以.-8分又在中，,所以.-10分又因为平面,所以.-12分20（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）解：（1）设，则上式化为，即，-6分（2）因为，-10分当，即时，-12分当或，即或时，-14分2
2、1（本题满分16分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）解：（1）由已知得，即（其中）-6分（2）记，则，则有，解得或-10分由于，所以，当，即点在中垂线上离点距离为km处,取得最小值（km）-14分22（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（2）小题7分）解：（1）-3分（2）当时，所以-4分当时，两式相减得所以 又所以，数列是以为首项、为公比的等比数列.-9分由知： ；又，由于所以由推得所以对任意的正整数恒成立.-13分因为所以-14分由，得，但且，所以解得，所以-16分23（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分）解：（1）由于直线和将单位
3、圆分成长度相等的四段弧，所以，在等腰直角中，圆心到直线的距离为，同理，-4分（2）由题知，直线关于原点对称，因为圆的圆心为原点，所以，故四边形为平行四边形.易知，点在对角线上.联立解得，由得，所以，于是，因为，所以四边形为正方形.-9分（3） 证明：假设椭圆存在内接正方形，其四个顶点为.当直线的斜率不存在时，设直线、的方程为，因为在椭圆上，所以，由四边形为正方形，易知，直线、的方程为，正方形的面积.-12分当直线的斜率存在时，设直线、的方程分别为，显然.设，联立得，所以代人，得，同理可得，因为为正方形，所以解得因为，所以，因此，直线与直线关于原点对称，所以原点为正方形的中心（由知，四边形为平行四边形）由为正方形知，即代人得，解得（注：此时四边形为菱形）由为正方形知，因为直线与直线的距离为，故但，由得即，与矛盾.所以，这与矛盾.即当直线的斜率存在时，椭圆内不存在正方形.综上所述，椭圆的内接正方形有且只有一个，且其面积为.-18分
