1、 讲 义 六年级春季 第 1 讲圆柱、圆锥进阶（一）本讲内容：圆柱、圆锥基础知识 圆柱、圆锥强化训练 后续内容：立体图形 知识导航 【模块一】知识要点一、圆柱圆柱由 3 个面围成。圆柱的上、下两个面分别叫做上底面和下底面。圆柱周围的面（上、下底面除外）叫做侧面。圆柱的两个底面之间的距离叫做高，用 h表示。圆柱有无数条高。圆柱的侧面是一个曲面，把侧面展开得到一个长方形，这个长方形的长是底面圆的周长，宽是圆柱的高。圆柱的侧面积 S 侧底面周长高dh2rh 圆柱的表面积 S 表S 侧2S 底2rh2r2 圆柱的体积 VShr2h 二、圆锥圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。底面是一个圆，侧面是一个曲面
2、。圆锥顶点和底面圆心之间的距离是圆锥的高，圆锥只有一条高。圆锥的体积 V13r2h 等底等高时，圆柱体积是圆锥体积的 3 倍。例题 1 如图，一个圆柱形水池，水池内部底面周长是 25.12m，池深 1m。（取 3.14）（1）水池内壁和底部都镶上瓷砖，镶瓷砖的面积是多少平方米？（2）已知 1 立方米水重 1 吨，这个水池最多装水多少吨？圆柱、圆锥基础知识 练习 1 一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽 1.25 米，直径 0.8 米。（取 3.14）（1）前轮转动一周，压路的面积是多少平方米？（2）已知 1 立方米铁重 7.85 吨，这台压路机前轮重多少吨？例题 2 一个瓶子深 60cm，底面内直径
3、为 20cm，瓶内有 30cm 深的液体。现将瓶盖盖紧，倒立放置，测得瓶内液体深 50cm，那么该瓶子的容积是多少毫升？（取 3.14）30 60 50 练习 2 一个瓶子深 30cm，底面内直径为 10cm，瓶内有 15cm 深的液体。现将瓶盖盖紧，倒立放置，测得瓶内液体深 25cm，那么该瓶子的容积是多少毫升？（取 3.14）例题 3 如下图所示，一个底面内直径为 20 厘米的玻璃杯，里面装有水，水面高度是 15厘米，如果将一个圆锥形铅锤完全浸入水中，则水面高度升高到 18 厘米，求这个铅锤的体积。（取 3.14）15 30 25 练习 3 如下图所示，一个底面积为 100 平方厘米的玻璃
4、杯，里面装有水，水面高度是 20厘米，如果将一个圆柱形铁块完全浸入水中，则水面高度升高到 24 厘米，求这个铁块的体积。例题 4 如图，用下面的长方形硬纸卷成圆柱形小笔筒，再给这个笔筒配一个底，想一想，至少还需要多少平方厘米的硬纸片？（取 3.14）练习 4 把长 25.12 厘米，宽 12.56 厘米的长方形铁皮卷成圆柱形垃圾桶，再给它配一个大小合适的底，想一想，至少还需要多少平方厘米的铁皮？（取 3.14）12.56 cm18.84 cm 思考题 如图，阴影部分的两个圆和一个长方形铁皮，正好可以做成一个油桶，求油桶的容积。（取 3.14）24.84 dm 第 2 讲 圆柱、圆锥 进阶（二）
5、前铺内容：圆柱、圆锥基础知识 本讲内容：立体图形 后续内容：立体图形 知识导航 【模块一】知识要点一、圆柱圆柱由 3 个面围成。圆柱的上、下两个面分别叫做上底面和下底面。圆柱周围的面（上、下底面除外）叫做侧面。圆柱的两个底面之间的距离叫做高，用 h表示。圆柱有无数条高。圆柱的侧面是一个曲面，把侧面展开得到一个长方形，这个长方形的长是底面圆的周长，宽是圆柱的高。圆柱的侧面积 S 侧底面周长高dh2rh 圆柱的表面积 S 表S 侧2S 底2rh2r2 圆柱的体积 VShr2h 二、圆锥圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。底面是一个圆，侧面是一个曲面。圆锥顶点和底面圆心之间的距离是圆锥的高，圆锥只有一
6、条高。圆锥的体积 V13r2h 等底等高时，圆柱体积是圆锥体积的 3 倍。例题 1 如图，一根圆柱形木桩，其高为 3 米，底面半径为 1 米。（取 3.14）（1）这根木桩的体积是多少立方米？（2）现将木桩削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方米？圆柱、圆锥基础知识 练习 1 张师傅要把一个底面直径为 4 分米，高为 9 分米的圆柱体削成最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方分米？（取 3.14）例题 2（1）一个圆柱体的体积是 60 立方分米，底面积是 30 平方分米，这个圆柱体的高是多少分米？（2）一个圆锥的体积是 50 立方厘米，底面积是 15 平方厘米，这个圆锥的高是多少厘米？例题
7、 3 （1）一个圆柱体的体积是 31.4 立方米，底面半径是 1 米，这个圆柱体的高是多少米？（取 3.14）（2）一个圆锥的体积是 9.42 立方厘米，底面半径是 3 厘米，这个圆锥的高是多少厘米？（取 3.14）练习 2 填表。（取 3.14）形状底面半径（cm）高（cm）体积（cm3）圆柱212.56圆柱5314圆锥212.56圆锥5314 【模块二】知识要点 1圆柱和圆锥的关系（h高；V体积；S底面积）等底等体积等底等高等高等体积h 圆锥3 h 圆柱V 圆柱3 V 圆锥S 圆锥3 S 圆柱2液体浸物问题完全浸没，变化的体积等于物体的体积。圆柱、圆锥强化训练 例题 4 下图是长为 4、宽
8、为 2 的长方形。（单位：cm，取 3.14）（1）以长方形的长为轴旋转一周，求所形成的立体图形的体积。（2）以长方形的宽为轴旋转一周，求所形成的立体图形的体积。练习 3 下图是直角边分别为 2 和 3 的直角三角形。（单位：cm，取 3.14）（1）以边长为 3 的直角边为轴旋转一周，求所形成的立体图形的体积。（2）以边长为 2 的直角边为轴旋转一周，求所形成的立体图形的体积。例题 5 观察下图，如果以 CD 边所在的直线为轴将下面的平面图形旋转一周，得到一个立体图形，那么这个立体图形的体积是多少立方厘米？思考题 下图是边长为 3、4、5 的直角三角形，以边长为 5 的斜边为轴旋转一周，求所
9、形成的立体图形的体积。（单位：cm,取 3.14）3 cm8 cm12 cmBACD543 第 3 讲 比例进阶 前铺内容：比例初步 本讲内容：解比例；比例尺；用比例解决问题 知识导航 【模块一】知识要点根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。例题 1（1）4314x6（2）89843x（3）12x 0.40.5练习 1（1）694x（2）986（3）0.6106x 例题 2 解比例。（1）95（x3）15（2）122x529 解比例 练习 2 解比例。（1）（x4）1457（2）76（x10）18 【模块二】知识要点一
10、幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。图上距离:实际距离比例尺或图上距离实际距离比例尺为了计算方便，一般把比例尺写成前项或后项是 1 的形式。例题 3 在一幅地图上，2cm 相当于实际距离 12km。则这幅地图的比例尺是多少?练习 3 一个圆柱形零件的高是 8mm，在图纸上的高是 4cm。这幅图纸的比例尺是多少？比例尺 例题 4 在比例尺是 13000000 的地图上，量得 A、B 两港之间的距离为 12cm，那么两港的实际距离是多少千米？练习 4 制造一种零件，设计图的比例尺是 81，零件的实际长度是 2 厘米，则零件在图上的长度是多少厘米？【模块三】知识要点利用解比例来解决实际
11、问题，在解决实际问题之前，首先需要根据量与量之间的关系正确列出比例式。再根据比例的基本性质，解方程，求出未知项。例题 5 北京到武汉的铁路距离大约是 1225km，一列高铁从北京出发开往武汉，当行驶到郑州时用了 2.8 小时。北京到郑州的铁路距离大约是 686km，按照这个速度，到达武汉还需要多少小时？（用比例解）练习 5 甲、乙两地间的距离是 490km，一辆汽车从甲地出发去乙地，5 小时行驶了 350km。按照这样的速度，行驶完全程还需要几小时？（用比例解）用比例解决问题 例题 6 狸米和静静分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，两人的速度比是 54。两人相遇时，距离甲、乙两地中点 100
12、米。问甲、乙两地相距多少米？（用比例解）练习 6 货车和客车同时从 A、B 两城相向开出，货车和客车的速度比是 5:8，相遇时，客车比货车多行驶 60 千米。A、B 两城相距多少千米？（用比例解）思考题 狸米和静静在环形跑道上跑步，狸米比静静跑得快。两人从同一点出发，如果同向跑，3 分钟相遇一次；如果背向跑，1 分钟相遇一次。狸米跑一圈要 1.5 分钟，求静静跑一圈需要几分钟？第 4 讲 正反比例进阶 前铺内容：正反比例初步 本讲内容：正反比例复习；自行车里的数学 知识导航 【模块一】知识要点 1.两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量
13、就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。2.两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。例题 1 将正确答案的序号填在括号里。成正比例关系 成反比例关系 不成比例（1）如果每袋大米的质量一定，大米的总质量与袋数（）；（2）通过一座大桥，车轮的周长与转数（）；（3）圆的周长与它的直径（）；（4）平行四边形的面积一定，它的底与高（）；（5）男生人数一定，女生人数与全班人数（）。例题 2 填写最简整数比。（1）4x7y（x、y0），那么 xy_，y 与 x 成_比例。（2）已知13x34y，则 x
14、y_。（3）已知 a45b，则 ab_。正反比例复习 练习 1 填写最简整数比。（1）已知 4a5b，则 ab_。（2）已知 6a9b，则 ab_。（3）已知 24a36b，则 ab_。例题 3 京沪高铁的火车平均行驶速度与行驶完全程所需时间如下表。速度/(千米/时)280260250200180时间/时651452656.5659（1）火车的平均速度和驶完全程所需时间成_比例。（2）如果火车的平均速度为 325 千米/时，驶完全程需要几小时？练习 2 一种彩带每米的售价是 2.5 元，购买的长度与总价如下表：长度/米1231020总价/元2.557.52550（1）购买的长度和总价成_比例。
15、（2）静静想买 18 米彩带，需要花多少钱？例题 4 一间房子要用方砖铺地，若用边长为 3 分米的方砖，需要 96 块，如果改用边长为 2 分米的方砖，需要多少块？（用方程解）练习 3 一间房子要用方砖铺地，若用边长为 4 分米的方砖，需要 100 块，如果改用边长为 2 分米的方砖，需要多少块？（用方程解）【模块二】知识要点 1.前齿轮转动一圈的长度就是链条走过的长度，后齿轮也要转动同样的长度。即：前齿轮齿数前齿轮转数后齿轮齿数后齿轮转数 2.当前齿轮的转 1 圈时，后齿轮转数前齿轮齿数后齿轮齿数自行车蹬一圈走的距离前齿轮齿数后齿轮齿数车轮周长 例题 5（1）一种普通自行车的前齿轮有 48
16、个齿，后齿轮有 16 个齿。当前齿轮转 1 圈时，后轮转了（）圈。当前齿轮转 3 圈时，后轮转了（）圈。（2）一种儿童自行车，前齿轮与后齿轮的齿数比是 12:7。如果后齿轮转动 24 圈，前齿轮转（）圈。如果后齿轮转动 36 圈，前齿轮转（）圈。练习 4 一种普通自行车的前齿轮有 36 个齿，后齿轮有 12 个齿。（1）当前齿轮转 5 圈时，后轮转了（）圈。（2）当后齿轮转 9 圈时，前轮转了（）圈。自行车里的数学 例题 6 狸米有一辆普通自行车，前齿轮有 30 个齿，后齿轮有 12 个齿，后轮直径为 90厘米，如果每秒蹬 2 圈（即前轮齿转 2 圈），则这辆自行车 1 分钟能走多远？（取 3
17、.14）练习 5 一辆自行车，前齿轮有 54 个齿，后齿轮有 27 个齿，后轮直径为 1 米，如果每秒蹬 1 圈（即前齿轮转 1 圈），则这辆自行车 1 分钟能走多远？（取 3.14）思考题 狸米买了一辆变速自行车，这种自行车有 2 个前齿轮，齿数分别是 40 和 36，有 4 个后齿轮，齿数分别是 32，30，28，26。这种自行车能变化出多少种不同的速度？蹬同样的圈数，哪种组合使自行车走得最远？第 5 讲 计算综合（一）本讲内容：凑整；分配律；提公因数 知识导航 【模块一】知识要点凑整的两种基本方法：（1）加减混合运算中，通过运算律或添、去括号凑整；（2）通过拆数或补数凑整。例题 1 计算
18、：88884999999999999999 练习 1 计算：44444999999999955555凑整 【模块二】知识要点乘法分配律的运用技巧：（1）直接用，直接分配出结果；（2）间接用，分配之后再组合或变形之后再分配。例题 2 计算：（1）569933 （2）1153315 16 （3）202020192018 练习 2 计算：（1）211193 （2）98 10099 分配律 例题 3 计算：112006 2008()2006 20072007 2008 例题 4 计算：11111199()34()65()346565993499 【模块三】知识要点提公因数的运用技巧：（1）有公因数，直
19、接提取；（2）先变形，再提取。例题 5 计算：（1）9491316 1555 （2）4112651114 （3）13547 0.25 18 25%4 （4）148862439148148149149149 例题 6 计算：124267678962413131313提公因数 例题 7 计算：（1）51131125%19419419 （2）425.5 66.86.857 练习 3 计算：（1）14117.63626.4 1.2545 （2）43625%0.625 66817171711331713 思考题 计算：77771111()()891011891011 第 6 讲计算综合（二）前铺内容：计
20、算综合（一）本讲内容：分数数列；分数裂项；定义新运算 知识导航 【模块一】知识要点等差数列求和公式：（首项末项）项数2。例题 1 计算：12320182019201920192019 练习 1 计算：12399100100100100分数数列 【模块二】知识要点分数裂项之“裂差”型运算：（1）基本型：（2）一般型：=11()mnnmmnaa（nm）（3）分母两乘数首尾接龙，裂项后可两两相消。例题 2 计算：66661 44 77 1197 100 练习 2 计算：99992 55 88 1195 98分数裂项 111=(1)1nnnn 例题 3 计算：11111 33 55 797 99 练习
21、 3 计算：11111 44 77 1197 100 【模块二】知识要点 1.定义新运算：用特殊的符号表示运算关系。2.新运算的运算规则通常是从左往右算，有括号的先算括号里的。注意：新运算不一定符合交换律、结合律等运算律。3.题目类型与解题方法：正向求解：按照新运算的规定，直接代入运算；反向求解：利用方程法反求新运算中的未知量。例题 4 设 a、b 都表示数，ab=3ab，ab=a2b。（1）计算 23 12 和 23 12；（2）计算 23 13 12 和 23(13 12)。练习 4 定义 abab，a ba b。求1 12 13 和1(12 13)。定义新运算 例题 5 对于任意数a、b
22、，满足1aabbb（0）。（1）已知384x，那么 x 的值是多少？（2）已知(74)2y，那么 y 的值是多少？练习 5 定义一种新运算 MN 26MN。已知 13x3，那么 x 的值是多少？思考题 已知 a、b 是任意自然数，规定：ab baab。计算：1223344599100 第 7 讲 分数应用题综合 本讲内容：基本分数应用题；变化型问题；知识导航 【模块一】知识要点列方程解分数应用题的步骤：（0）先写“解：设”；（1）设：设单位“1”为“x”；（2）列：根据等量关系列方程；（3）解：解方程；（4）答：检验并写答。例题 1 一班有 30 人参加演出，比二班参加演出的 23 多 6 人
23、，这两个班共有多少人参加了节目演出？练习 1 果园里有荔枝树 270 棵，比龙眼树棵数的 34 多 60 棵，龙眼树有多少棵？基本分数应用题 例题 2 学校图书室买来故事书和科技书共 270 本，科技书的本数是故事书的 45，学校图书室买来故事书和科技书各多少本？练习 2 果园里的桃树比杏树多 40 棵，杏树的棵数是桃树的 45，桃树和杏树各有多少棵？练习 3 狸米 7 岁时，他的爸爸 37 岁，当狸米的年龄是爸爸年龄的 23 时，爸爸多少岁？例题 3 狸米买了一个大馒头，早上吃了整个馒头的 14，中午吃了 140 克，还剩整个馒头的 25，这个馒头重多少克？练习 4 小志借来一本书，第一天看
24、了全书的 310，第二天看的比全书的 25 少 14 页，还剩104 页，这本书一共有多少页？例题 4 工厂要生产一批限量版的狸米玩偶，现在已完成原计划的 58，如果再生产 1000个，总产量就超过原计划的 14。请问：原计划生产多少个狸米玩偶？练习 5 狸米计划今天吃若干个包子，现在已经吃了原计划的 13，如果再吃 10 个，实际吃的就超过原计划的 16。请问：狸米原计划吃几个包子？【模块二】知识要点对于变化问题，注意不要搞混到底是原来的量还是现在的量。通常我们会设原来的几个量中，表示单位“1”的那个量为 x。例题 5 一批稻谷存放在甲、乙两个仓库中，甲库所存的稻谷重量是乙库的 58，后来从
25、甲库取出 42 吨，从乙库取出 920，这时两库所存的稻谷重量相等，乙库原来存稻谷多少吨？练习 6 狸米和大毛要一起减肥。狸米的体重是大毛的 56，两个月后，狸米减了 10 斤，大毛减了 14，两人就变得一样重了。请问：原来大毛的体重是多少斤？变化型问题 练习 7 狸米和静静在玩扑克牌，狸米手里的牌数是静静的 35，玩了一会后，狸米从静静手里赢了 28 张，此时狸米手里的牌数是静静的 2 倍。请问：原来静静手里有多少张牌？思考题 仓库里有一些水果，其中橘子占 310，如果下午又运来 90 千克橘子，这时橘子重量占总重量的 37，仓库里原来有多少千克水果？第 8 讲 比例应用题综合 本讲内容：比
26、例的基本应用；变化型问题；知识导航 【模块一】知识要点方程法解决简单比例问题的步骤：1.找出未知量，设为 x；2.根据比例列方程；3.解比例；4.检验并写答。例题 1 某天下午 5 时，同时测得一棵树和一个人影子的长度分别是 3 米和 1.2 米，还知道这个人的身高是 1.7 米，你能计算出这棵树有多高吗？练习 1 学校操场上有一根高耸的旗杆，旁边有一根 2.5 米高的竹竿。上午 9 时，狸米测得竹竿的影子长 2 米，旗杆的影子长 6.4 米。那么旗杆长多少米？比例的基本应用 例题 2 圆珠笔和铅笔的价格比是 43，狸米买了 20 支圆珠笔和 21 支铅笔一共用了 71.5元。请问：圆珠笔的单
27、价是每支多少元？练习 2 学校组织体检，收费标准如下：老师每人 30 元，女生每人 20 元，男生每人 10元。已知老师、女生和男生的人数比是 298，共收得体检费 3200 元。请问：女生有多少人？【模块二】知识要点方程法解决比例应用题中的变化问题的步骤：1.设原来比中的“1 份”为 x；2.根据题意列方程；3.解方程；4.检验并写答。例题 3 某公司用甲、乙两个仓库储存彩电，甲、乙两仓库储存彩电数量之比为 7:3，如果从甲仓库调出 30 台到乙仓库，两仓库储存的彩电就相等了，甲、乙两个仓库原来储存彩电各多少台？练习 3 小明和小强存了一些零用钱，他们所存钱数的比是 5:4，在支援灾区活动中
28、，小明向北川中学捐了 50 元，小强捐了 30 元，这时他们剩下的钱数相等，小强原来有多少钱？变化问题 例题 4 狸米和大毛的糖数之比是 78，两人都吃了 30 块糖之后，两人的糖数之比变成了 23。请问：狸米原来有多少块糖？练习 4 图书室原有科技书和故事书的本数比是 27。两种书都借走 20 本后，科技书和故事书的本数比变成了 14。图书室原有科技书和故事书各多少本？例题 5 小华的书架有上下两层，原来上层书的数量是下层的 78。现在小华又买来 18 本书放在上层，这时上层与下层书的数量比为 54。小华的书架上层和下层原来各放书多少本？练习 5 某校体育队的女生人数是男生人数的 45，后来
29、又有 2 名女生参加，这时女生人数与男生人数的比为 56，求现在校体育队共有多少人。思考题 班级春游，男同学戴黄帽子，女同学戴红帽子。男班长说：“我看到的黄帽子与红帽子之比是 12。”女班长说：“我看到的黄帽子与红帽子之比是 45。”如果两人都忘记看自己的帽子才说出上述的话，请问：这个班一共有多少名同学？第 9 讲平面几何综合 本讲内容：直线形；曲线形 知识导航 【模块一】知识要点整体减空白：阴影部分的面积整体面积空白部分面积。割补法：在求某些不规则的图形面积时，我们可以把原图形分割成几个规则图形或把原图形补成一个规则图形。例题 1 如图所示，在正方形 ABCD 内部有BEF。已知正方形的边长
30、是 8 厘米，DE 和DF 的长都是 2 厘米，求阴影部分的面积。练习 1 如下图所示，在正方形 ABCD 内部有梯形 EHGF。已知正方形 ABCD 的边长是6 厘米，图中线段 AE、AH、BF、DG 都等于 2 厘米。则梯形 EHGF 的面积是多少平方厘米？FEDCBAHGABCDEF直线形 练习 2 如图，是由三个长方形拼成，求阴影部分的面积。（单位：cm）例题 2 如图，大、小正方形的边长分别是 10 厘米和 6 厘米，则阴影部分面积是多少？练习 3 求下面图形中阴影部分的面积。163104520EFGCDAB80dm 60dm 20dm 30dm 例题 3 求阴影部分的面积。（单位：
31、cm）练习 4 如图，大正方形和小正方形的边长分别为 6 厘米和 2 厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？148710FEABCD 【模块二】知识要点 1.平行线间的距离处处相等；2.同底等高的两个三角形面积相等。例题 4 图中 4 个扇形的圆心恰好是正方形的 4 个顶点，如果每个扇形的半径都是 1m，那么阴影部分的面积是多少？（取 3.14）练习 5 下列图形中，每个圆的半径都是 4 厘米。涂色部分的面积各是多少平方厘米？（取 3.14）8cm曲线形 例题 5 求图中阴影部分的面积。（单位：cm）练习 6 如图，正方形 ABCD 的边长为 10 厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？例题 6
32、求图中阴影部分的面积。（单位：cm）3 6 ABCD222 例题 7 求图中阴影部分的面积。（单位：cm，取 3.14）练习 7 求图中阴影部分的面积。（单位：cm）思考题 如图，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，求这个四边形的面积。（单位：cm）444445104 第 10 讲 工程问题综合 本讲内容：工程问题；水管问题 知识导航 【模块一】知识要点 1.工程问题的一个基本公式：工作总量工作效率工作时间 2.设时间（或效率）为 x 的工程问题：（1）选定合适的时间（或效率）变量，设为 x；（2）根据部分量之和等于“1”，列方程；（3）求解、检验和答题。例题 1 一件工程，师徒二人合
33、干 4 小时完成，若徒弟单独干需要 6 小时完成，那么，师傅单独干需要几小时完成？练习 1 一项工程，甲、乙合干需要 12 天完成，甲单独干需要 20 天完成，乙单独干需要多少天完成？工程问题 例题 2 一项工程，甲独做需用 20 天完成，乙独做要用 12 天完成，这项工程先由甲做若干天，然后由乙继续做完，从开始到完工一共用了 14 天。请问：乙做了多少天？练习 2 制作一批零件，甲单独做 20 天可以完成，乙单独做 30 天可以完成，这件工作先由甲单独做若干天，然后由乙继续做完，前后共用了 25 天。甲做了多少天？例题 3 大毛和小毛在家里打扫卫生，大毛单独打扫需要 30 分钟，小毛单独打扫
34、需要 48分钟，开始两人一起干，中途大毛偷偷溜去玩游戏，结果两人一共用了 24 分钟才打扫完。请问：大毛一共干了几分钟?练习 3 一项工程，甲独做 40 天完成，乙独做 60 天完成。现在两人合作，但中途甲因病休息了几天，所以一共用了 30 天才完成。请问：甲休息了几天？例题 4 修一栋别墅，甲、乙两队合修 10 天可以完成。甲队先单独修 5 天后退出，余下的由乙队接着修还需 20 天。那么乙队单独修这座桥需要多少天？练习 4 修一条天然气管道，甲、乙两队合修 20 天可以完成。甲队先单独修 8 天后退出，余下的由乙队接着修还需 32 天。那么乙队单独修这条管道需要多少天？【模块二】知识要点水
35、管问题是一类特殊的工程问题，一般的工程问题是“合作型”问题，而水管问题中既有进水管，又有出水管，属于“对抗型”问题。例题 5 有一个水池，用甲、乙两个水管注水，如果单开甲管，20 分钟注满水池，如果单开乙管，15 分钟注满水池。在水池下面安装了排水管丙管，单开丙管 12 分钟可将满池水放完。若三管同时开放，多少分钟可将空池注满水？练习 5 一个蓄水池安装了一个进水管和一个出水管。单开出水管，8 小时可将满池水放完；单开进水管 6 小时可将空池注满。现两管齐开，多少小时可将空池注满？练习 6 一个水池装有进水管和出水管，单开进水管，6 分钟可将空池注满。单开出水管，8 分钟可以将池水放光，现同时
36、打开两管，多少分钟可以注进水池的一半？水管问题 第 11 讲 行程问题综合 本讲内容：变速运动；流水行船；复杂相遇追及 后续内容：应用题总复习 知识导航 【模块三】知识要点 1.相遇问题：（1）路程和速度和相遇时间（2）速度和路程和相遇时间（2）相遇时间路程和速度和 2.追及问题：（1）路程差速度差追及时间（2）速度差路程差追及时间（2）追及时间路程差速度差 例题 1 狸米每小时跑 13 千米，静静每小时跑 11 千米，现在两人分别从相距 29 千米的A、B 两地同时出发、相向而行，多久之后两人之间的距离第一次为 13 千米？练习 1 大毛和二毛各有一个对讲机，现在大毛从相距 12km 的地方
37、出发前往二毛处，同时二毛也朝相同方向出发，已知大毛每小时可以前进 5km，二毛每小时可以前进 3km，而对讲机在 5km 以内便可收到信号。多长时间后大毛可以联系上二毛？相遇追及 例题 2 两辆汽车分别从 A、B 两地同时出发、相对开出，甲车每小时行 80 千米，乙车每小时行 90 千米，两车在离中点 20 千米处相遇。A、B 两地的距离是多少千米？练习 2 阿大和阿二分别从甲、乙两地同时出发、相向而行，阿大骑自行车每小时行 15千米，阿二步行每小时行 5 千米，两人恰好在地铁站相遇。现已知甲、乙两地和地铁站在一条直线上，且地铁站到甲、乙两地中点的距离为 2 千米，甲、乙两地的距离是多少千米？
38、思考题 东、西两地相距 5.4km，甲、乙二人从东地，丙从西地同时出发，相向而行。甲每分钟行 55 米，乙每分钟行 60 米，丙每分钟行 70 米，多少分钟后乙恰好走到甲和丙两人之间的中点处？【模块二】知识要点：1.行程问题基本公式：（1）路程速度时间（2）速度路程时间（3）时间路程速度 2.方程法解行程一般步骤：（1）根据题目信息，寻找等量关系（通常为路程）（2）根据等量关系，确定应设的未知数（通常设速度）（3）列出方程，解方程（4）检验，写答语 例题 3 一辆小汽车从甲地到乙地，前一半路程每小时行 50 千米，后一半路程提速 20%，共用 11 小时，甲乙两地相距多少千米？练习 3 小明原
39、计划以每分钟 60 米的速度从家去学校。实际他的速度提高了 25%，结果提前 4 分 30 秒到达学校，他家距离学校多少米？变速运动 例题 4 一只救生船从港口开到出事地点要行 800 千米，船速每小时 20 千米，船上一架直升飞机，每小时可飞行 220 千米，中途飞机起飞，提前到达出事地点，这样从船离开港口到飞机到达出事地点一共用了 10 小时，飞机在船离开港口后多长时间起飞？练习 4 A、B 两村相距 4750 米，小兵从 A 村骑自行车以每分钟 400 米的速度前往 B村，出发几分钟后，自行车链条断了，小兵只能推着自行车以每分钟 50 米的速度继续前往 B 村，到达时刚好共用了 25 分
40、钟，小兵骑车走了多少分钟？【模块二】知识要点流水行船中的速度：（1）顺水速度船速+水速（2）逆水速度船速-水速例题 5 一条船从码头顺流而下，再逆流而上，打算在 8 小时内回到原出发的码头，已知船的静水速度是每小时 10 千米，水流速度是每小时 2 千米，此船最多驶出多少千米就必须返回？练习 5 一架货机所携燃料最多可以用 6 小时，起飞时顺风飞行，每小时行 750 千米；返航时逆风，每小时行 500 千米，这架飞机最多驶出多少千米就应返航？流水行船 例题 6 一架飞机飞行于两城之间，顺风需要 6 小时 30 分，逆风需要 7 小时，已知风速是每小时 10 千米，两城之间的距离是多少千米？练习
41、 6 一艘观光艇在 A、B 两座小岛之间来回接送游客。现已知水流方向为由 A 到B，且水流速度为 4km/h，该观光艇由 A 到 B 需要 30min，由 B 到 A 则多用7.5min，A、B 两岛间的距离是多少千米？第 12 讲 立体几何综合 本讲内容：正方体的展开图；三视图；组合体的表面积和体积 知识导航 【模块一】知识要点正方体的展开图有 11 种，分为 4 类：“1-4-1”型、“2-3-1”型、“2-2-2”型、“3-3”型。“1-4-1”型（6 种）“2-3-1”型（3 种）“2-2-2”型（1 种）“3-3”型（1 种）正方体的展开图 例题 1 下面（）图形不是正方体的展开图。
42、练习 1 下面（）图形不是正方体的展开图。A.B.C.D.A.B.C.D.例题 2 一个正方体的展开图如图所示，则正方体中“”的对面是哪个字？练习 2 一个正方体的展开图如图所示，请判断相对面上的字各是什么？练习 3 如图是正方体纸盒展开后的平面图，在正方体纸盒上与 1 号面相对的面是（）号面。狸 米 欢 迎 你 朋 我 们 是 好 友 654321【模块二】知识要点三视图的画法：先找列，再数有几格，注意对齐方式。三视图法求表面积：S 表（S 主视图S 俯视图S 左视图）2例题 3 如图是一个由相同小正方体搭成的立体图形。请在方格纸中画出从正面、从上面和从左面看到的图形。从正面看 从上面看 从
43、左面看 三视图 练习 4 狸米用若干个相同的小正方体搭成了一个立体图形，请在方格纸中画出从正面、从上面和从左面看到的图形。从正面看 从上面看 从左面看 例题 4 如图，每个小正方体的棱长都是 2 厘米，求这个几何体的表面积。练习 5 如图，每个小正方体的棱长都是 1 分米，求这个几何体的表面积。【模块三】知识要点组合体的表面积：各部分表面积相加，注意减掉被遮挡的面。组合体的体积：各部分体积相加。例题 5 有一个形状如图的零件，求它的体积和表面积。（单位：厘米）2 4 6 2 2 2 组合体的表面积和体积 例题 6 一个棱长是 5cm 的正方体机器零件，现在从上到下挖去一个底面直径为 2cm 的
44、圆柱，求剩下机器零件的表面积和体积。（取 3.14）练习 6 求下面立体图形的体积和表面积。（单位：厘米，取 3.14）思考题 一支没有用过的圆柱形铅笔，长 18 厘米，体积是 9 立方厘米，使用一段时间后变成了如图的样子，这时铅笔的体积是多少立方厘米？6 5 3 5 4 8cm 3cm 第 13 讲 百分数应用题综合 本讲内容：经济问题；浓度问题 知识导航 【模块一】知识要点我们通常设成本为 x，然后列方程解决问题。例题 1 一条裤子，按成本价提高 60%后标价，每件以 128 元卖出，这条裤子的成本价是多少元？例题 2 一件风衣，按成本价提高 50%后标价，后因季节关系按标价的八折出售，每
45、件卖 180 元，这件风衣的成本价是多少元？练习 1 一家商店将一件西装按成本价提高 50%后标价，后因节日促销按标价的八折优惠出售，每件以 960 元卖出，则这件西装的成本价是多少元？经济问题 例题 3 某服装店出售一套西装，先以 60%的利润率定价，再打八折销售，最后获利 140元。求这套西装的进价。练习 2 某店出售一套学习桌，先以 40%的利润率定价，再打九折销售，最后获利 520元。求这套学习桌的进价。【模块二】知识要点糖浓度糖水100%糖糖水100%通常，题目让我们求什么，我们就设什么为“x”，然后根据“混合前糖的总重量=混合后糖的总重量”列方程解决问题。例题 4 有浓度为 20%
46、的盐水 700 克，现往盐水里面加入盐，使得盐水的浓度变为 30%，需要加入盐多少克？练习 3 实验室里有浓度为 15%的盐水 500 克，要想变为浓度是 10%的盐水，需要加多少克水？例题 5 现有浓度为 10%的盐水 20 千克，再加入多少千克浓度为 30%的盐水，可以得到浓度为 22%的盐水？浓度问题 思考题 瓶中装有 1000 克浓度为 15%的酒精溶液，现在又分别倒入 100 克和 400 克的两种酒精溶液 A 和 B，浓度变成了 14%。已知 A 种酒精溶液浓度是 B 种酒精溶液浓度的 2 倍，求 A 种酒精溶液的浓度。第 14 讲 分类讨论型问题综合 本讲内容：分段计价；方案选择
47、 知识导航 【模块一】知识要点分段计价是一类特殊的经济问题。这类问题最大的特点：计费是有“梯度”的，即计费的标准是分层的。做这类题目，一定要把梯度分清楚。例题 1 出租车收费标准表：里程收费3 千米及 3 千米以下8 元3 千米以上，每增加 1 千米（不足 1 千米按 1 千米计算）2 元（1）大毛家到学校有 15 千米，他每天早上打车去学校要花多少钱？（2）静静乘出租车从家去外婆家，共付费 30 元，静静家和外婆家最远相距多少千米？分段计价 练习 1 贾老师和奇革老师坐飞机去迪拜卖烤地瓜，关于托运的行李有如下规定：重量收费20 千克以下（含 20 千克）0 元20 千克以上，每增加 1 千克
48、（不足 1 千克按 1 千克计算）35 元（1）贾老师带了 50 千克地瓜，他托运行李需要多少钱？（2）奇革老师托运地瓜花了 2100 元，他最多带了多少千克地瓜？例题 2 北京居民生活用水的水价方案为：用户用水量（吨）水价（元/吨）0180（含 180）2180260（含 260）4260 以上6（1）狸米家去年用了 300 吨水，需要交多少水费？（2）狸米家今年水费交了 400 元，请问：狸米家今年用了多少吨水？练习 2 北京居民生活用电的收费方案为：用户用电量（度）电价（元/度）0240（含 240）0.4240400（含 400）0.6400 以上0.8（1）大头家 3 月用了 300
49、 度电，需要交多少电费？（2）大头家 4 月交了 120 元电费，那么 4 月用了多少度电？【模块二】知识要点方案选择解题思路：（1）梳理信息，找关键词，确定方案类型或者分段标准，确定目标量；（2）计算目标量，比较、选择适合方案。例题 3 学校要召开一次辩论会，共有 60 人参加，要给每个人准备一瓶矿泉水，三家商场里每瓶矿泉水的标价都是 2 元，去哪家商场买合算？甲商场：每买 5 瓶送 1 瓶；乙商场：一律九折优惠；丙商场：满 50 元减 5 元。练习 3 海狸小学要购买 60 个足球，现在有甲、乙、丙三个商店可以选择，三个商店里每个足球的标价都是 25 元，但各商店的优惠办法不同。甲店：每满
50、 10 个足球，就免费赠送 2 个；乙店：满 10 个足球就打八折；丙店：购物满 200 元，返现金 30 元。为了节省开支，应到哪个商店购买，为什么？方案选择型 例题 4 某单位计划 10 月份组织员工到外地旅游，估计人数在 615 人之间。甲、乙两旅行社的服务质量相同，且对外报价都是 200 元，该单位联系时，甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠；乙旅行社表示，可先免去一位游客的旅游费用，其余游客九折优惠。（1）当人数是多少时，两个旅行社旅游费用一样多？（2）若有 11 人参加旅游，应选择那个旅行社？练习 4 小明去商场购物，有两种方案：A 方案，超过 50 元的部分打 9 折；B 方案，超
51、过 100 元的部分打 8 折。（1）小明买一盒积木 36 元，每袋 12 元的饼干买 5 袋，买一本书 21 元，用哪种方案合算？（2）小明买多少元商品，两种方案的价格相等？思考题 小区门口新开了一家烧烤店，正在进行开业大酬宾活动：消费金额不足 100 元，没有优惠；消费金额在 100 元到 300 元之间（含 100 元和 300 元），总价优惠 5%；消费金额超过 300 元，总价优惠 10%。大胖、二胖和小胖都去吃烧烤，大胖自己算，可以优惠 5 元；如果大胖和二胖一起算，可以优惠 15 元；如果三人合在一起算，比分开算节约 30 元。请问：三人各吃了多少钱的烧烤？第 15 讲 数论综合
52、 本讲内容：质数与合数；分解质因数；因数与倍数 知识导航 【模块一】知识要点质数：只能被 1 和自身两个数整除。例如 2、3、5、7、合数：除了能被 1 和自身整除外，还能被其它数整除。例如 4、6、8、9、特别地，1 既不是质数，也不是合数。2 是唯一的偶质数，与之相关的常见解题方法是奇偶分析法。奇数与偶数的运算规律：偶数偶数偶数奇数奇数偶数偶数奇数奇数分解质因数：将一个合数拆成质因数连乘的形式，就叫做分解质因数。例如：6022352235 例题 1 甲、乙两人年龄之和是一个两位质数，这个质数的数字和是 13，甲比乙刚好也大13 岁，那么甲的年龄是多少岁？练习 1 用 1，2，3，4，5，6
53、，7，9 这 8 个数字组成 4 个两位质数，这四个两位质数的和是多少？例题 2 已知“狸”、“米”分别代表不同的质数，并且“狸”“米”。如果满足关系式：3狸5米31，求“狸米”。质数与合数 【模块二】知识要点分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为它可以帮助我们分析数的特征。在数论题目中，只要出现“乘积”，往往先考虑分解质因数。我们通过分解质因数，把一个大数拆解成若干个零部件，再把这些零部件按题目要求重新组装，得到符合题目要求的新数。例题 3 毛家四兄弟，他们的年龄从大到小依次相差 1 岁。将他们的年龄相乘，积是 5040，求四兄弟的年龄。练习 2 李秋是一个数学学霸，他去参加数学比赛，所得
54、的成绩、名次和他的年龄三者的乘积是 2910。请问：李秋的成绩是多少分？练习 3 大牛、二牛、三牛和小牛都属牛，四人年龄的乘积是 12025，求四个人的年龄和。分解质因数 【模块三】知识要点在一些题目中，我们可以分析题目中的等量关系，得到因数与倍数之间的关系，确定某个量是几个数的公因数（或公倍数），然后通过求公因数（或公倍数）解决问题。例题 4 把 225 个苹果、350 个梨和 150 个橙子平均分给小朋友们，最后剩下 9 个苹果、26 个梨和 6 个橙子没分出去。请问：最多分给多少个小朋友？练习 4 大头把 66 本漫画书和 80 本故事书平均分给他的朋友们，最后剩下 6 本漫画书，8 本故事书。大头最多把书分给了多少个小朋友？因数与倍数 例题 5 狸米换一个地方继续卖臭豆腐，炸好的臭豆腐 3 块装 1 袋，还剩 1 块；5 块装一袋，也剩 1 块；6 块装一袋，还是剩 1 块。那么，狸米至少炸好了多少块臭豆腐？思考题 一个老人临终前留下遗嘱，要把 19 头牛分给 3 个儿子：老大分得 12，老二分得14，老三分得 15。牛不能被宰杀，只能整头分，三兄弟一筹莫展。你能帮助他们吗？
