1、第四章综合训练一、单项选择题1.设随机变量X的分布列为P(X=k)=m23k(k=1,2,3),则m的值为()A.1738B.2738C.1719D.27192.某地区气象台统计,该地区下雨的概率是415,刮风的概率为215,在下雨天里,刮风的概率为38,则既刮风又下雨的概率为()A.8225B.12C.110D.343.某校有500人参加某次模拟考试,其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,2)(0),试卷满分150分,统计结果显示数学成绩优秀(不低于120分)的人数占总人数的15,则此次数学成绩在90分到105分之间的人数约为()A.75B.100C.150D.2004.(2022湖北
2、武汉期末)甲、乙两人进行羽毛球比赛,假设每局比赛甲胜的概率是23,各局比赛是相互独立的,无平局情况,采用5局3胜制,那么乙以31战胜甲的概率为()A.827B.227C.881D.32815.(2022北京朝阳月考)某大学有A,B两家餐厅,某同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐,如果第一天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率是0.4;如果第一天去B餐厅,那么第二天去A餐厅的概率是0.8.则该同学第2天去A餐厅用餐的概率是()A.0.5B.0.6C.0.7D.0.86.已知离散型随机变量的概率分布如下,若随机变量=3+1,则的数学期望为()012P0.42kkA.3.2B.3.4C.3.6D.3
3、.87.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,用X表示所选3人中女生的人数,则E(X)为()A.0B.1C.2D.38.(2022北京十一中期末)若XN(1,2),则P(-X+)=0.683,P(-2X+2)=0.954,已知XN(1,32),则P(4X7)=()A.0.407 7B.0.271 8C.0.135 5D.0.045 3二、多项选择题9.(2021江苏南京期中)抛掷一颗骰子,将“结果向上的点数大于3”记为事件A,“结果向上的点数小于4”记为事件B,“结果向上的点数是3的倍数”记为事件C,则()A.A与B对立B.B与C互斥C.A与C相互独立D.A+C=B+C10.为研究需要,
4、统计了两个变量x,y的数据.情况如下表:xx1x2x3xnyy1y2y3yn其中数据x1,x2,x3,xn和数据y1,y2,y3,yn的平均数分别为x和y,并且计算相关系数r=-0.8,回归直线方程为y=bx+a,下列选项正确的是()A.点(x,y)必在回归直线上,即y=bx+aB.变量x,y是负相关C.当x=x1,则必有y=y1D.b011.设离散型随机变量X的分布列为X01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结果正确的是()A.q=0.1B.E(X)=2,D(X)=1.4C.E(X)=2,D(X)=1.8D.E(Y)=5,D(Y)=7.212.(20
5、21湖南雅礼中学模拟)已知随机变量X服从正态分布N(1,4),则下列说法中正确的有()A.P(0X1)=12C.X的数学期望为E(X)=1D.X的方差为D(X)=2三、填空题13.为了解家庭月收入x(单位:千元)与月储蓄y(单位:千元)的关系,从某居民区随机抽取10个家庭,根据测量数据的散点图可以看出x与y之间具有线性相关关系,其回归直线方程为y=0.3x-0.4,若该居民区某家庭月收入为7千元,据此估计该家庭的月储蓄为千元.14.同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次,设2枚硬币均正面向上的次数为X,则X的数学期望是,方差是.15.为了考察某种流感疫苗的效果,某实验室随机抽取100只健康小鼠进行试验
6、,得到如下列联表:注射情况感染情况总计感染未感染注射104050未注射203050总计3070100参照附表,在犯错误的概率最多不超过的前提下,可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系.参考公式:2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(2k)0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.82816.(2022江西高安中学高二期末)设随机变量满足P(=k)=ck(k+1),k=1,2,3,c为常数,则P(0.52.5)=.四、解答题17.近年来,共享单车在我国各城市迅猛发展,为人们的出行提供了便利,但也给
7、城市的交通管理带来了一些困难,为掌握共享单车在C省的发展情况,某调查机构从该省抽取了5个城市,并统计了共享单车的A指标x和B指标y,数据如下表所示:指标城市1城市2城市3城市4城市5A指标x24568B指标y34445(1)试求y与x间的相关系数r,并说明y与x是否具有较强的线性相关关系(若|r|0.75,则认为y与x具有较强的线性相关关系,否则认为没有较强的线性相关关系).(2)建立y关于x的回归直线方程,并预测当A指标为7时,B指标的估计值.(3)若某城市的共享单车A指标x在区间x-3s,x+3s的右侧,则认为该城市共享单车数量过多,对城市的交通管理有较大的影响,交通管理部门将进行治理,直
8、至A指标x在区间x-3s,x+3s内,现已知C省某城市共享单车的A指标为13,则该城市的交通管理部门是否需要进行治理?试说明理由.参考数据:s=15i=15(xi-x)2=2,0.30.55,0.90.95.18.某记者随机采访了100名群众,调查群众对某事件的看法,根据统计,抽取的100名群众的年龄频率分布直方图如图所示.(1)求这100名受访群众年龄的平均数x和方差s2(同一组数据用该区间的中点值代替).(2)由频率分布直方图可以认为,受访群众的年龄X服从正态分布N(,2),其中近似为x,2近似为s2.求P(33.2X46.6);从年龄在45,55),65,75)的受访群众中,按分层抽样的
9、方法,抽出7人参加访谈节目录制,再从这7人中随机抽出3人作为代表发言,设这3位发言人的年龄落在45,55)内的人数为Y,求变量Y的分布列和数学期望.参考数据:18013.4,若XN(,2),则P(-X+)0.683,P(-2X+2)0.954.19.甲、乙两人参加某种选拔测试,在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是45,乙能答对其中的8道题,规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试,只有选中的4个题目均答对才能入选.(1)求甲恰有2个题目答对的概率;(2)求乙答对的题目数X的分布列;(3)试比较甲、乙两人平均答对的题目数的大小,并说明理由.20.第七届世界军人运动会是我国
10、第一次承办的综合性国际军事体育赛事.来自109个国家的9 300余名军体健儿在江城武汉同场竞技、增进友谊.运动会共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项、329个小项.经过激烈角逐,奖牌榜的前6名如下:国家金牌银牌铜牌奖牌总数A1336442239B515357161C21313688D13202457E11153460F10152045某同学利用分层抽样的方式从F国获奖选手中抽取了9名获奖代表.(1)请问这9名获奖代表中获金牌、银牌、铜牌的人数分别是多少人?(2)从这9人中随机抽取3人,记这3人中银牌选手的人数为X,求X的分布列和期望;(3)从这9人中随机抽取3人,求已知这3人中有获金牌运动
11、员的前提下,这3人中恰好有1人为获铜牌运动员的概率.21.如表为2019年至2022年某百货零售企业的线下销售额y(单位:万元),其中年份代码x=年份-2 018.年份代码x1234线下销售额y/万元95165230310(1)已知y与x具有线性相关关系,求y关于x的回归直线方程,并预测2023年该百货零售企业的线下销售额;(2)随着网络购物的飞速发展,有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑,某调查平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法,随机调查了55位男顾客、50位女顾客(每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种),其中对该百货零售企业的线下销售
12、额持续增长持乐观态度的男顾客有10人、女顾客有20人,能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关?22.某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕,然后以每个120元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的这种蛋糕作餐厨垃圾处理.(1)若烘焙店一天加工16个这种蛋糕,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:个,nN)的函数解析式;(2)烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量(单位:个),整理得下表:日需求量n14151617181920频数10201616151310若烘焙店一天加工16个这种蛋糕,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列
13、与数学期望及方差;若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕,仅从获得利润大的角度考虑,你认为应加工16个还是17个?请说明理由.参考答案第四章综合训练1.B由分布列的性质得P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=m23+m232+m233=38m27=1,m=2738.故选B.2.C记“该地区下雨”为事件A,“刮风”为事件B,则P(A)=415,P(B)=215,P(B|A)=38,所以P(AB)=P(A)P(B|A)=41538=110.故选C.3.C由题意,设数学成绩为X,则P(X120)=15,而P(X105)=12,P(105X120)=310,由对称性知,P(90X105)=310.
14、此次数学成绩在90分到105分之间的人数约为310500=150.故选C.4.B由乙以31战胜甲,知第四局乙获胜,则乙以31战胜甲的概率P=C31231-233=227.故选B.5.B设A1=“第1天去A餐厅用餐”,B1=“第1天去B餐厅用餐”,A2=“第2天去A餐厅用餐”,由题意得P(A1)=P(B1)=0.5,P(A2|A1)=0.4,P(A2|B1)=0.8,由全概率公式,得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.50.4+0.50.8=0.6,因此,该同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.6.故选B.6.B由题意,根据离散型随机变量的分布列的性质,可得0.4
15、+2k+k=1,解得k=0.2,所以数学期望为E()=00.4+10.4+20.2=0.8,又由随机变量=3+1,所以E()=3E()+1=30.8+1=3.4,故选B.7.B由题意,X的可能取值为0,1,2,由题中数据可得P(X=0)=C43C63=15,P(X=1)=C42C21C63=35,P(X=2)=C41C22C63=15,所以E(X)=150+135+215=1.故选B.8.CXN(1,32),由P(-X+)=0.683,P(-2X+2)=0.954,P(4X7)=P(+X+2)=12(0.954-0.683)=0.1355.故选C.9.AC由题意可知,事件A表示结果向上的点数为
16、4,5,6;事件B表示结果向上的点数为1,2,3;事件C表示结果向上的点数为3,6;对于选项A,事件A与事件B对立,故选项A正确;对于选项B,事件B与事件C有相同的点数可能,不互斥,故选项B错误;对于选项C,P(A)=12,P(C)=13,P(AC)=16,可得P(A)P(C)=P(AC)=16,则事件A与事件C相互独立,故选项C正确;对于选项D,A+CB+C,故选项D错误.故选AC.10.ABD回归直线经过点(x,y),故A正确;根据回归方程的性质,当x=x1时,不一定有y=y1,故C错误;由相关系数r=-0.80知x,y负相关,所以b0,故BD正确.故选ABD.11.ACD因为q+0.4+
17、0.1+0.2+0.2=1,所以q=0.1,故A正确;又E(X)=00.1+10.4+20.1+30.2+40.2=2,D(X)=(0-2)20.1+(1-2)20.4+(2-2)20.1+(3-2)20.2+(4-2)20.2=1.8,故C正确;因为Y=2X+1,所以E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2,故D正确.故选ACD.12.BC随机变量X服从正态分布N(1,4),P(0X1)=12,E(X)=1,D(X)=4,故选BC.13.1.7由于y=0.3x-0.4,代入x=7,于是得到y=1.7.14.134一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币,恰好出现2枚正面向上的概率为1
18、212=14,XB4,14,E(X)=414=1,D(X)=41434=34.15.0.05由题得2=100(1030-2040)230705050=100213.841,所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下,可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系.16.89随机变量满足P(=k)=ck(k+1),k=1,2,3,c2+c6+c12=1,即6c+2c+c12=1,解得c=43,P(0.50.75,所以y与x具有较强的线性相关关系.(2)由(1)得b=620=0.3,a=4-0.35=2.5,所以线性回归方程为y=0.3x+2.5.当x=7时,y=0.37+2.5=4.6,即当A指标为7时,
19、B指标的估计值为4.6.(3)由题得x-3s,x+3s=(-1,11),因为1311,所以该城市的交通管理部门需要进行治理.18.解(1)x=300.05+400.1+500.15+600.35+700.2+800.15=60,s2=(-30)20.05+(-20)20.1+(-10)20.15+1020.2+2020.15=180.(2)由(1)知XN(60,180),所以P(33.2X46.6)=P(-2X3.841,所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关.22.解(1)由题意,当n0,16)时,利润y=120n-960,当
20、n16,+)时,利润y=(120-60)16=960.综上,当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式为y=120n-960,n0,16),nN,960,n16,+),nN.(2)由(1)可得,当n=14时,利润X=12014-960=720;当n=15时,利润X=12015-960=840;当n16时,利润X=960.所以X的分布列为X720840960P0.10.20.7所以E(X)=7200.1+8400.2+9600.7=912.D(X)=(720-912)20.1+(840-912)20.2+(960-912)20.7=6336.由题意,加工17个蛋糕时,设Y表示当天利润,当n=14时,利润Y=12014-6017=660;当n=15时,利润Y=12015-6017=780;当n=16时,利润Y=12016-6017=900;当n17时,利润Y=6017=1020.Y的分布列如下Y6607809001020P0.10.20.160.54则E(Y)=6600.1+7800.2+9000.16+10200.54=916.8912.从数学期望来看,每天加工17个蛋糕的利润高于每天加工16个蛋糕的利润,应加工17个.
