1、4.2.5 正态分布第四章内容索引0102基础落实必备知识全过关重难探究能力素养全提升03学以致用随堂检测全达标课标要求1.通过实例,认识正态曲线的特点及曲线所表示的意义.理解3原则,会求随机变量在特殊区间内的概率.2.通过本节的学习,体会函数思想、数形结合思想在实际中的运用.基础落实必备知识全过关知识点一 正态曲线2.正态曲线的性质(1)正态曲线关于x=对称(即决定正态曲线对称轴的位置),具有中间高、两边低的特点;(2)正态曲线与x轴所围成的图形面积为1;(3)决定正态曲线的“胖瘦”:越大,说明标准差越大,数据的集中程度越弱,所以曲线越“胖”;越小,说明标准差越小,数据的集中程度越强,所以曲
2、线越“瘦”.名师点睛(1)正态曲线位于x轴上方,与x轴不相交;(2)曲线在x=时处于最高点,并由此处向左右两边延伸时,曲线逐渐降低,其图象“中间高,两边低”;(3)当一定时,曲线随着的变化而沿x轴平移;(4)正态曲线完全由变量和确定,参数是反映随机变量的平均水平的特征数,所以用样本的均值去估计;是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本的标准差去估计.过关自诊关于正态曲线特点的描述:曲线关于直线x=对称,这条曲线在x轴上方;曲线关于直线x=对称,这条曲线只有当x(-3,3)时才在x轴上方;曲线关于y轴对称,曲线对应的函数是一个偶函数;曲线在x=时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐
3、渐降低;曲线的对称轴由确定,曲线的形状由确定;越大,曲线越“胖”,越小,曲线越“瘦”.说法正确的是()A.B.C.D.答案 A解析 参照正态曲线的性质,正态曲线位于x轴上方,只有当=0时,正态曲线才关于y轴对称,因此A选项正确.知识点二 正态分布1.正态分布一般地,如果随机变量X落在区间a,b内的概率,总是等于,(x)对应的正态曲线与x轴在区间a,b内围成的面积,则称X服从参数为与的正态分布,记作XN(,2).此时,(x)称为X的概率密度函数,此时是X的均值,是X的标准差,2是X的方差.2.随机变量X在三个特殊区间内取值的概率及3原则(1)在三个特殊区间内取值的概率若XN(,2),则P(|x-
4、|)=P(-X+)68.3%,P(|x-|2)=P(-2X+2)95.4%,P(|x-|3)=P(-3X+3)99.7%.(2)3原则由于随机变量X在(-,+)内取值的概率为1,又由P(-3X+3)99.7%知,X约有99.7%的可能会落在距均值3个标准差的范围之内,也就是说只有约0.3%的可能会落入这一范围之外(这样的事件可看成小概率事件),这一结论通常称为正态分布的“3原则”.名师点睛X几乎都取值于区间-3,+3之内,而在此区间以外取值的概率是极小的,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.这是统计中常用的检验的基本思想.3.标准正态分布=0且=1的正态分布称为标准正态分布,记作XN(
5、0,1).过关自诊1.如果随机变量XN(4,1),则P(X7)=0.16,则P(-17)=.答案0.68解析由正态分布的性质可知P(-1)=P(7)=0.16,所以P(-17)=1-P(-1)-P(7)=0.68.重难探究能力素养全提升探究点一正态曲线及其性质【例1】某次我市高三教学质量检测中,甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多,成绩分布的直方图可视为正态分布),则由如图所示曲线可得下列说法中正确的一项是()A.甲科总体的标准差最小B.丙科总体的平均数最小C.乙科总体的标准差及平均数都居中D.甲、乙、丙的总体的平均数不相同答案 A解析 由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相
6、等,由正态曲线的性质,可知越大,正态曲线越扁平;越小,正态曲线越尖陡.故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.故选A.规律方法 利用正态曲线的性质求参数,(1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=对称,由此性质结合图象求.(2)正态曲线在x=处达到峰值,由此性质结合图象可求.(3)由曲线的“胖瘦”区分的大小.变式训练1(多选题)已知三个正态分布密度函数(xR,i=1,2,3)的图象如图所示,则下列结论正确的是()A.1=2B.13C.1=2D.23答案 AD解析 根据正态曲线关于x=对称,且越大图象越靠近右边,所以12=3,BC错误;又越小数据越集中,图象越“瘦”,所以1=23,AD正确.故选
7、AD.探究点二正态分布下的概率计算【例2】(1)已知随机变量服从正态分布N(2,2),且P(4)=0.8,则P(02)=()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2(2)在某项测量中,测量结果服从正态分布N(1,4),求随机变量X在-1,1内取值的概率.(1)答案 C解析 随机变量服从正态分布N(2,2),=2,对称轴是x=2.P(4)=0.8,P(4)=P(0)=0.2,P(04)=0.6,P(02)=0.3.故选C.(2)解 由题意得=1,=2,所以P(-1X3)=P(1-2X1+2)0.683.因为正态曲线关于x=1对称,所以P(-1X1)=P(1X3)=P(-1X3)0.341 5.规
8、律方法 服从正态分布的随机变量在某个区间内取值概率的求解策略(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.(2)注意概率值的求解转化:P(X0,下列等式成立的有()A.(-x)=1-(x)B.(2x)=2(x)C.P(|x)=2-(x)答案(1)B(2)AC解析(1)由题意,随机变量N(0,1),P(1)=0.3,则P(-1)=0.3,故选B.(2)如图,因为随机变量服从标准正态分布N(0,1),所以正态曲线关于=0对称,因为(x)=P(x,x0),根据曲线的对称性可得:A.(-x)=P(x)=1-(x),所以该等式正确;B.(2x)=P(2x),2(x)=2P(x),所以(2x)2
9、(x),所以该等式错误;C.P(|x)=P(x或-x)=1-(x)+(-x)=1-(x)+1-(x)=2-2(x),所以该等式错误.故选AC.探究点三正态分布的实际应用【例3】设在一次数学考试中,某班学生的分数XN(110,202),且知试卷满分150分,这个班共54名学生,求这个班在这次数学考试中及格(即90分及90分以上)的人数和130分以上的人数.解=110,=20,P(X90)=P(X-110-20)=P(X-),P(X-)2P(X-)+0.683=1,P(X-)=0.158 5.P(X90)=1-P(X-130)=P(X-11020)=P(X-),P(X-)0.683+2P(X-)=
10、1,P(X-)=0.158 5,即P(X130)=0.158 5.540.158 59(人),即130分以上的人数约为9人.规律方法 1.本题利用转化的思想方法,把普通的区间转化为3区间,由特殊区间的概率值求出.2.解答正态分布的实际应用题,其关键是如何转化,同时应熟练掌握正态分布在-,+,-2,+2,-3,+3三个区间内的概率.在此过程中用到归纳思想和数形结合思想.变式探究 如果把题设条件“这个班的学生共54人”换成“现已知该班同学中不及格的人数有9人”,求相应结论.解 XN(110,202),=110,=20,P(110-20X110+20)0.683,X90的概率为(1-0.683)=0
11、.158 5.设该班学生共有x人,则0.158 5x=9,解得x57(人).P(X90)=1-0.158 5=0.841 5,这个班这次数学考试中及格的人数为0.841 55748(人),又P(X130),130分以上的人数有9人.素养培优数形结合思想与转化思想在正态分布中的应用【典例】设XN(5,1),求P(6X7).解=5,=1.P(4X6)=P(5-1X5+1)0.683,P(3X7)=P(5-2X5+2)0.954,P(3X4)+P(6X7)=P(3X7)-P(4X6)0.954-0.683=0.271.由正态曲线的对称性,可得P(3X4)=P(6X7),P(6X90)=1-P(80X
12、90)=(1-0.3)=0.35,所以P(X80)=P(80X90)+P(X90)=0.3+0.35=0.65.故选B.3.某县农民的月均收入服从正态分布,即N(1 000,402),则此县农民月均收入在1 000元到1 080元间人数的百分比为.(附:若XN(,2),则P(-X+)0.683,P(-2X+2)0.954)答案 47.7%4.某种零件的尺寸(单位:cm)服从正态分布N(3,12),则不属于区间1,5这个尺寸范围的零件数约占总数的.答案 4.6%解析 零件尺寸属于区间-2,+2,即零件尺寸在1,5内取值的概率约为95.4%,故零件尺寸不属于区间1,5内的概率为1-95.4%=4.6%.5.在某项测量中,测量结果服从正态分布N(1,2)(0).若在(0,1)内取值的概率为0.4,求在(0,2)内取值的概率.解 如图,易得P(01)=P(12),故P(02)=2P(01)=20.4=0.8.
