1、考点一正弦、余弦定理的应用1(2022辽宁，6)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos Ccsin Bcos Ab，且ab，则B()A. B. C.D.解析根据正弦定理得，sin Asin Bcos Csin Csin Bcos Asin B，即sin Acos Csin Ccos A，所以sin(AC)，即sin B，因为ab，B.选A.答案A2(2022湖南，3)在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin Bb，则角A等于()A. B. C. D.解析由，得sin A，又因为ABC为锐角三角形，所以A.答案D3(2022天津，6)在ABC中
2、，ABC，AB，BC3，则sinBAC()A. B. C. D.解析由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos29235，AC，由正弦定理，得sin A.答案C4(2022上海，16)在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不能确定解析sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2.则cos C0，C为钝角答案C5(2022重庆，6)若ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(ab)2c24，且C60，则ab的值为()A.B84 C1 D.解析(ab)2c24，a2b2c242ab.又C60，由余弦定理有：cos 60，
3、即a2b2c2ab.42abab，则ab.答案A6(2022福建，12)若锐角ABC的面积为10，且AB5，AC8，则BC等于_解析SABACsin A，sin A，在锐角三角形中A，由余弦定理得BC7.答案77(2022广东，11)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，sin B，C，则b_解析因为sin B且B(0，)，所以B或B.又C，所以B，ABC.又a，由正弦定理得，即，解得b1.答案18(2022北京，12)在ABC中，a4，b5，c6，则_解析由余弦定理：cos A，sin A，cos C，sin C，1.答案19(2022重庆，13)在ABC中，B120，AB，
4、A的角平分线AD，则AC_解析由正弦定理得，即，解得sinADB，ADB45，从而BAD15DAC，所以C1801203030，AC2ABcos 30.答案10(2022天津，12)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bca，2sin B3sin C，则cos A的值为_解析由已知及正弦定理，得2b3c，因为bca，不妨设b3，c2，所以a4，所以cos A.答案11(2022江苏，14)若ABC的内角满足sin Asin B2sin C，则cos C的最小值是_解析由正弦定理可得ab2c，又cos C，当且仅当ab时取等号，所以cos C的最小值是.答案12(2022新课
5、标全国，16)已知a，b，c，分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为_解析因为a2，所以(2b)(sin Asin B)(cb)sin C可化为(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，由正弦定理可得(ab)(ab)(cb)c，即b2c2a2bc，由余弦定理可得cos A，又0A，故A，又cos A，所以bc4，当且仅当bc时取等号，由三角形面积公式知SABCbcsin Abcbc，故ABC面积的最大值为.答案13(2022安徽，16)在ABC中，A，AB6，AC3，点D在BC边上，ADBD，求AD的长
6、解设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理，得a2b2c22bccosBAC(3)262236cos1836(36)90，所以a3.又由正弦定理，得sin B，由题设知0Bc.已知2，cos B，b3.求：(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值解(1)由2得cacos B2，又cos B，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accos B.又b3，所以a2c292213.解得a2，c3或a3，c2.因ac，所以a3，c2.(2)在ABC中，sin B，由正弦定理，得sin Csin B.因abc，所以C为锐角，因此cos C.于是cos(BC)cos Bcos C
7、sin Bsin C.考点二解三角形及其应用1(2022新课标全国，4)钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC()A5 B. C2 D1解析SABCABBCsin B1sin B，sin B，若B45，则由余弦定理得AC1，ABC为直角三角形，不符合题意，因此B135，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos B12215，AC.故选B.答案B2(2022天津，6)如图，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD，2ABBD，BC2BD，则sin C的值为()A. B. C. D.解析设BDa，则BC2a，ABADa.在ABD中，由余弦定理，得cos A.又A为ABC的内角，sin
8、 A.在ABC中，由正弦定理，得，sin Csin A.答案D3(2022天津，13)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3，bc2，cos A，则a的值为_解析cos A，0A，sin A，SABCbcsin Abc3，bc24，又bc2，b22bcc24，b2c252，由余弦定理得，a2b2c22bccos A5222464，a8.答案84(2022山东，12)在ABC中，已知tan A，当A时，ABC的面积为_解析根据平面向量数量积的概念得|cos A，当A时，根据已知可得|，故ABC的面积为|sin.答案5(2022福建，13)如图，在ABC中，已知点
9、D在BC边上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，则BD的长为_解析cosBADcossinBAC.故在ABD中，由余弦定理知：BD2BA2DA22BAADcosBAD3，故BD.答案6(2022上海，6)在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA60，则A、C两点之间的距离为_千米解析ACB180756045，由正弦定理得，AC千米答案7(2022新课标全国，17)ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的长解(1)SABDABADsinBAD，SADCACADsinCAD.因为SABD2SADC
10、，BADCAD，所以AB2AC.由正弦定理可得.(2)因为SABDSADCBDDC，所以BD.在ABD和ADC中，由余弦定理知AB2AD2BD22ADBDcosADB，AC2AD2DC22ADDCcosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26，由(1)知AB2AC，所以AC1.8(2022浙江，16)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A，b2a2c2.(1)求tan C的值；(2)若ABC的面积为3，求b的值解(1)由b2a2c2及正弦定理得sin2Bsin2C.所以cos 2Bsin2C.又由A，即BC，得cos 2Bsin 2C2sin Ccos C，解得ta
11、n C2.(2)由tan C2，C(0，)得sin C，cos C，又因为sin Bsin(AC)sin，所以sin B，由正弦定理得cb，又因为A，bcsin A3，所以bc6，故b3.9(2022陕西，17)ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a ，b，c.向量m(a，b)与n(cos A，sin B)平行 (1)求A； (2)若a，b2，求ABC的面积解(1)因为mn，所以asin Bbcos A0，由正弦定理，得sin Asin Bsin Bcos A0，又sin B0，从而tan A，由于0A，所以A.(2)法一由余弦定理，得a2b2c22bccos A，而a，b2，A，得74c2
12、2c，即c22c30，因为c0，所以c3，故ABC的面积为Sbcsin A.法二由正弦定理，得，从而sin B，又由ab，知AB，所以cos B，故sin Csin(AB)sinsin Bcos cos Bsin .所以ABC的面积为Sabsin C.10(2022北京，15)如图，在ABC中，B，AB8，点 D在BC边上，且CD2，cosADC.(1)求sinBAD；(2)求BD，AC的长解(1)在ADC中，因为cosADC，所以sinADC.所以sinBADsin(ADCB)sinADCcosBcosADCsinB.(2)在ABD中，由正弦定理得BD3.在ABC中，由余弦定理得AC2AB2
13、BC22ABBCcosB825228549.所以AC7.11(2022陕西，16)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin Asin C2sin(AC)；(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值(1)证明a，b，c成等差数列，ac2b.由正弦定理得sin Asin C2sin B.sin Bsin(AC)sin(AC)，sin Asin C2sin(AC)(2)解a，b，c成等比数列，b2ac.由余弦定理得cos B，当且仅当ac时等号成立cos B的最小值为.12(2022安徽，16)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，
14、c，且b3，c1，A2B.(1)求a的值；(2)求sin的值解(1)因为A2B，所以sin Asin 2B2sin Bcos B.由正、余弦定理得a2b.因为b3，c1，所以a212，a2.(2)由余弦定理得cos A.由于0A，所以sin A.故sinsin Acoscos Asin.13(2022北京，15)在ABC中，a3，b2，B2A.(1)求cos A的值；(2)求c的值解(1)因为a3，b2，B2A，所以在ABC中，由正弦定理得.所以.故cos A.(2)由(1)知，cos A，所以sin A.又因为B2A，所以cos B2cos2A1.所以sin B.在ABC中，sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B.所以c5.11
