1、考点一双曲线的定义及标准方程1(2022福建，3)若双曲线E：1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于()A11 B9 C5 D3解析由双曲线定义|PF2|PF1|2a，|PF1|3，P在左支上，a3，|PF2|PF1|6，|PF2|9，故选B.答案B2(2022安徽，4)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y2x的是()Ax21 B.y21C.x21 Dy21解析由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上，不合题意；C、D项双曲线焦点均在y轴上，但D项渐近线为yx，只有C符合，故选C.答案C3(2022广东，7)已知双曲线C：1的离心率e，且其右焦
2、点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析因为所求双曲线的右焦点为F2(5，0)且离心率为e，所以c5，a4，b2c2a29，所以所求双曲线方程为1，故选B.答案B4(2022天津，5)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析由题意可知，双曲线的其中一条渐近线yx与直线y2x10平行，所以2且左焦点为(5，0)，所以a2b2c225，解得a25，b220，故双曲线方程为1.选A.答案A5(2022广东，7)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3，0)，离心率
3、等于，则C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析由曲线C的右焦点为F(3，0)，知c3.由离心率e，知，则a2，故b2c2a2945，所以双曲线C的方程为1.答案B考点二双曲线的几何性质1(2022四川，5)过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|()A. B2 C6 D4解析焦点F(2，0)，过F与x轴垂直的直线为x2，渐近线方程为x20，将x2代入渐近线方程得y212，y2，|AB|2(2)4.选D.答案D2(2022新课标全国，11)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为()A
4、. B2 C. D.解析如图，设双曲线E的方程为1(a0，b0)，则|AB|2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MNx轴于点N(x1，0)，ABM为等腰三角形，且ABM120，|BM|AB|2a，MBN60，y1|MN|BM|sinMBN2asin 60a，x1|OB|BN|a2acos 602a.将点M(x1，y1)的坐标代入1，可得a2b2，e，选D.答案D3(2022新课标全国，5)已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则y0的取值范围是()A. B.C. D.解析由题意知M在双曲线C：y21上，又在x2y23内部，
5、由得y，所以y0.答案A4(2022广东，4)若实数k满足0k9，则曲线1与曲线1的()A离心率相等 B实半轴长相等C虚半轴长相等 D焦距相等解析由0k0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A. B3 C.m D3m解析双曲线的方程为1，焦点F到一条渐近线的距离为.答案A6(2022重庆，8)设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，则该双曲线的离心率为()A. B. C. D3解析由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|3b，所以(|PF1|PF2|)2(|PF1|PF2|)29
6、b24a2，即4|PF1|PF2|9b24a2，又4|PF1|PF2|9ab，因此9b24a29ab，即940，则0，解得，则双曲线的离心率e.答案B7(2022山东，10)已知ab0，椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为()Axy0 B.xy0Cx2y0 D2xy0解析椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以，所以a4b4a4，即a44b4，所以ab，所以双曲线C2的渐近线方程是yx，即xy0.答案A8(2022大纲全国，9)已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上若|F1A|2|F2A|，则cosAF2F1()A. B
7、. C. D.解析由双曲线的定义知|AF1|AF2|2a，又|AF1|2|AF2|，|AF1|4a，|AF2|2a.e2，c2a，|F1F2|4a.cosAF2F1，故选A.答案A9(2022四川，6)抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()A. B. C1 D.解析由题意可得，抛物线的焦点为(1，0)，双曲线的渐近线方程为yx，即xy0，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d.答案B10(2022湖北，5)已知0，则双曲线C1：1与C2：1的()A实轴长相等 B虚轴长相等C焦距相等 D离心率相等解析对于双曲线C1：1，acos2，bsin2，c1；对于双曲
8、线C2：1，asin2，bsin2tan2，csin2sin2tan2sin2(1tan2)sin2(1)tan2.只有当k(kZ)时，aa或bb或cc，而00，b0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|PB|，则该双曲线的离心率是_解析联立直线方程与双曲线渐近线方程yx可解得交点为，而kAB，由|PA|PB|，可得AB的中点与点P连线的斜率为3，即3，化简得4b2a2，所以e.答案16(2022江苏，8)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1的离心率为，则m的值为_解析由双曲线标准方程1知a2m0，b2m24，c2a2b2mm24，由e，得5，m0且5，m2.答案217(
9、2022江西，20)如图，已知双曲线C：y21(a0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AFx轴，ABOB，BFOA(O为坐标原点)(1)求双曲线C的方程；(2)过C上一点P(x0，y0)(y00)的直线l：y0y1与直线AF相交于点M，与直线x相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值(1)解设F(c，0)，因为b1，所以c，直线OB的方程为yx，直线BF的方程为y(xc)，解得B.又直线OA的方程为yx，则A，kAB.又因为ABOB，所以1，解得a23，故双曲线C的方程为y21.(2)证明由(1)知a，则直线l的方程为y0y1(y00)，即y.因为直线AF的方程
10、为x2，所以直线l与AF的交点为M；直线l与直线x的交点为N.则，因为P(x0，y0)是C上一点，则y1，代入上式得，所求定值为.18(2022大纲全国，21)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y2与C的两个交点间的距离为.(1)求a，b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列(1)解由题设知3，即9，故b28a2.所以C的方程为8x2y28a2.将y2代入上式，求得x.由题设知，2，解得a21.所以a1，b2.(2)证明由(1)知，F1(3，0)，F2(3，0)，C的方程为8x2y28.由题意可设l的方程为yk(x3)，|k|2，代入并化简得(k28)x26k2x9k280.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x11，x21，x1x2，x1x2.于是|AF1|(3x11)，|BF1|3x21.由|AF1|BF1|得(3x11)3x21，即x1x2.故，解得k2，从而x1x2.由于|AF2|13x1，|BF2|3x21，故|AB|AF2|BF2|23(x1x2)4，|AF2|BF2|3(x1x2)9x1x2116.因而|AF2|BF2|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列10
