1、8.2 空间几何体的表面积与体积 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 8.2 空间几何体的表面积与体积双基研习面对高考 柱、锥、台与球的侧面积和体积双基研习面对高考 基础梳理 面积体积圆柱S 侧_VSh_圆锥S 侧_V13Sh13r2h13r2 l2r2圆台S 侧_V13(S 上S 下 S上S下)h13(r21r22r1r2)h2rhr2hrl(r1r2)l面积体积直棱柱S 侧_V_正棱锥S 侧12chV_正棱台S 侧_V13(S 上S 下S上S下)h球S 球面4R2V_chSh13Sh12(cc)h43R3思考感悟 对不规则的几何体应如何求体积？提示：对于求一些不规则的几何体的体积常用割补的
2、方法，转化为已知体积公式的几何体进行解决 课前热身 1(教材习题改编)一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm，瓶里所装的水深为8 cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm，则钢球的半径为()A1 cm B1.2 cmC1.5 cm D2 cm答案：C2用与球心距离为 1 的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为()A.83B.8 23C8 2D.323答案：B3(2011年蚌埠质检)如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的表面积为()A.3 32B3 3C.16D.32答案：A4如图是一个几何体的三
3、视图若它的体积是3 3，则 a_.答案：35(2009年高考上海卷)若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是_答案：83考点探究挑战高考 考点突破 几何体的表面积求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素间的桥梁，从而架起求侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素间的联系；求球的表面积关键是求其半径；旋转体的侧面积就是它们侧面展开图的面积例1(2010 年高考课标全国卷)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
4、()Aa2 B.73a2C.113 a2D5a2【思路点拨】根据图形特征，球心为三棱柱上、下底面的中心连线的中点，构造三角形可求得球的半径，代入公式可求得表面积【解析】三棱柱如图所示，由题意可知：球心在三棱柱上、下底面的中心O1、O2 的连线的中点 O 处，连接 O1B、O1O、OB，其中 OB 即为球的半径 R，由题意知：O1B23 3a2 3a3，所以半径 R2(a2)2(3a3)27a212，所以球的表面积 S4R27a23，故选 B.【答案】B【名师点评】求几何体的表面积要抓住关键量，如多面体的高，底面边长及几何体特征，旋转体的高、底面半径及几何特征，球的半径，同时注意整体思维的运用，
5、以减少计算量 变式训练1(2009年高考海南、宁夏卷)一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位：cm2)为()A4812 2B4824 2C3612 2D3624 2解析：选A.由三视图可知原棱锥为三棱锥，记为P-ABC(如图)，且底面为直角三角形，顶点P在底面的射影为底边AC的中点，且由已知可知 ABBC6，PD4.则全面积为 S1266212651246 24812 2.故选 A.几何体的体积计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解(2010年高考陕西卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面AB
6、CD是矩形，PA平面ABCD，APAB，BPBC2，E，F分别是PB，PC的中点(1)证明：EF平面PAD；(2)求三棱锥E-ABC的体积V.例2【思路点拨】(1)由线面平行的判定定理易证EF平面 PAD.(2)由图形特征易求得三棱锥 E-ABC 的底面积及高12PA，代入体积公式可求 V.【解】(1)证明：在PBC 中，E，F 分别是 PB，PC 的中点，EFBC.四边形 ABCD 是矩形，BCAD，EFAD，又AD 平面 PAD，EF 平面 PAD，EF平面 PAD.(2)连接 AE，AC，EC，过 E 作 EGPA，交AB 于点 G，则 EG平面 ABCD，且 EG12PA.在PAB 中
7、，APAB，PAB90，BP2，APAB 2，EG 22.SABC12ABBC12 22 2，VEABC13S ABCEG13 2 22 13.【名师点评】求锥体的体积，要选择适当的底面积和高，然后应用公式 V13Sh 进行计算即可常用方法：割补法和等积变换法(1)割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱体的体积，从而得出几何体的体积(2)等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面求体积时，可选择容易计算的方式来计算；利用“等积性”可求“点到面的距离”变式训练2 有一根木料，形状为直三棱柱形，高为6 cm，横截面三角形的三边长分别为3 cm、4
8、cm、5 cm，将其削成一个圆柱形积木，求该木料被削去部分体积的最小值 解：如图所示，只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时，圆柱的体积最大，削去部分体积才能最小，设此时圆柱的底面半径为R，圆柱的高即为直三棱柱的高在ABC 中，令 AB3，BC4，AC5，ABC 为直角三角形根据直角三角形内切圆的性质可得 72R5，R1.V 圆柱R2h6(cm3)而 三 棱 柱 的 体 积 为 V三 棱 柱 12 346 36(cm3)削去部分的体积为 3666(6)(cm3)即削去部分体积的最小值为 6(6)cm3.几何体的折叠与展开几何体的表面积，除球以外，都是利用展开图求得的，利用了空间问题
9、平面化的思想把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法，所以几何体的展开与折叠是高考的一个热点例3(1)有一根长为3 cm、底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？(2)把长、宽分别为4 cm和3 cm的矩形卷成圆柱，如何卷能使体积最大？【思路点拨】把圆柱沿着铁丝的两个端点落在的那条母线展开，将问题转化为平面上两点间的最短距离【解】(1)把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图)，由题意知BC3 cm，AB4 cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线
10、段AC的长度即为铁丝的最短长度AC AB2BC25 cm，故铁丝的最短长度为 5 cm.(2)以 3 cm 为高时，圆柱的体积为(42)23122(cm3)，所以，以 4 cm 为高时，圆柱的体积为(32)2492(cm3)，所以，以 4 cm 为底面周长，以 3 cm 为高时卷成的圆柱体积最大【规律小结】几何体的展开图 方法感悟 方法技巧1对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决(如例1)2当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复
11、杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利(如例2)3有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素失误防范1面积、体积的计算中应注意的问题(1)柱、锥、台体的侧面积分别是某侧面展开图的面积，因此，弄清侧面展开图的形状及各线段的位置关系，是求侧面积及解决有关问题的关键(2)计算柱、锥、台体的体积关键是找到相应的底面积和高充分运用多面体的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化成平面问题(3)球的有关问题，注意球半径与截面圆半径，球心到截面距离构成直角三角形(4)有关几何体展开图与平面图形折成几何体问题，在解决的过
12、程中注意按什么线作轴来展或折，还要坚持被展或被折的平面，变换前、后在该面内的大小关系与位置关系不变在完成展或折后，要注意条件的转化对解题也很重要2与球有关的组合体问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图考情分析 考向瞭望把脉高考 空间几何体
13、的表面积、体积是高考的必考知识点之一题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中、低档客观题主要考查由三视图得出几何体的直观图，求其表面积、体积或由几何体的表面积、体积得出某些量；主观题考查比较全面，其中一步往往设置为表面积、体积问题，无论是何种题型都考查学生的空间想象能力预测2012年高考仍将以空间几何体的表面积、体积为主要考查点，重点考查学生的空间想象能力、运算能力及逻辑推理能力规范解答 例(本题满分12分)(2010年高考课标全国卷)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高(1)证明：平面 PAC平面 PBD；(2)若 AB 6，APB
14、ADB60，求四棱锥P-ABCD 的体积【解】(1)证明：因为PH是四棱锥P-ABCD的高，所以ACPH.又ACBD，PH、BD都在平面PBD内，且PHBDH，所以AC平面PBD，又AC平面PAC，故平面PAC平面PBD.6分(2)因为四边形 ABCD 为等腰梯形，ABCD，ACBD，AB 6，所以 HAHB 3.8 分因为APBADB60，所以 PAPB 6，HDHC1.可得 PH 3，ACBD 31，10 分等腰梯形 ABCD 的面积为 S12ACBD2 3.所以四棱锥的体积 V13(2 3)332 33.12 分【名师点评】(1)本题易失误的是：不会转化思想的应用，一看到梯形就定向思维以
15、致求不出底面积；用错锥体体积的计算公式(2)计算空间几何体的体积时要注意：分析清楚空间几何体的结构，搞清楚该几何体的各个部分的构成特点；进行合理的转化和一些必要的等积变换，如三棱锥的体积计算就可以通过“换顶点”的方法进行等积变换；正确选用体积计算公式在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量(球除外)，因此体积计算中的关键一步就是求出这个量在计算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转体中的轴截面如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体积名师预测 解：由图中数据，根据圆台和球的体积公式，得V 圆台13(222552)452(cm3)，V 半球432312163(cm3)所以，旋转体的体积为V 圆台-V 半球52163 1403(cm3)本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
