1、上一页返回首页下一页高三一轮总复习课时分层训练抓基础自主学习明考向题型突破第四节 数列求和 上一页返回首页下一页高三一轮总复习考纲传真 1.掌握等差、等比数列的前 n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法上一页返回首页下一页高三一轮总复习1公式法(1)等差数列的前 n 项和公式：Snna1an2na1nn12d；(2)等比数列的前 n 项和公式：Snna1，q1，a1anq1q a11qn1q，q1.上一页返回首页下一页高三一轮总复习2分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解3裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一
2、些项可以相互抵消，从而求得其和上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)裂项时常用的三种变形：1nn11n 1n1；12n12n11212n112n1；1n n1 n1 n.上一页返回首页下一页高三一轮总复习4错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前 n 项和可用错位相减法求解5倒序相加法如果一个数列an的前 n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法求解上一页返回首页下一页高三一轮总复习6并项求和法一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如 an(1)nf(n)类
3、型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.上一页返回首页下一页高三一轮总复习1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于 1，则其前 n 项和 Sna1an11q.()(2)当 n2 时，1n21121n1 1n1.()上一页返回首页下一页高三一轮总复习(3)求Sna2a23a3nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得()(4)如果数列an是周期为 k(k 为大于 1 的正整数)的周期数列，那么 SkmmSk.()答案(1)(2)(3)(4)
4、上一页返回首页下一页高三一轮总复习2(教材改编)数列an的前 n 项和为 Sn，若 an1nn1，则 S5 等于()A1B.56C.16D 130B an1nn11n 1n1，S5a1a2a511212131656.上一页返回首页下一页高三一轮总复习3(2016广东中山华侨中学 3 月模拟)已知等比数列an中，a2a84a5，等差数列bn中，b4b6a5，则数列bn的前 9 项和 S9 等于()A9B18C36D72B a2a84a5，即 a254a5，a54，a5b4b62b54，b52，S99b518，故选 B.上一页返回首页下一页高三一轮总复习4若数列an的通项公式为 an2n2n1，则
5、数列an的前 n 项和 Sn_.【导学号：57962259】2n12n2 Sn212n12 n12n122n12n2.上一页返回首页下一页高三一轮总复习5321422523(n2)2n_.上一页返回首页下一页高三一轮总复习4n42n 设 S31241225123(n2)12n，则12S312241235124(n2)12n1.两式相减得12S31212212312n n22n1.S312 122 12n1 n22n 312112n1112n22n 4n42n.上一页返回首页下一页高三一轮总复习分组转化求和 (2016北京高考)已知an是等差数列，bn是等比数列，且 b23，b39，a1b1，a
6、14b4.(1)求an的通项公式；(2)设 cnanbn，求数列cn的前 n 项和上一页返回首页下一页高三一轮总复习解(1)设等比数列bn的公比为 q，则 qb3b2933，所以 b1b2q 1，b4b3q27，所以 bn3n1(n1,2,3，).2 分 设等差数列an的公差为 d.因为 a1b11，a14b427，所以 113d27，即 d2.所以 an2n1(n1,2,3，).5 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)由(1)知 an2n1，bn3n1.因此 cnanbn2n13n1.7 分 从而数列cn的前 n 项和 Sn13(2n1)133n1 n12n1213n13 n23n1
7、2.12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习规律方法 分组转化法求和的常见类型(1)若 an bncn，且bn，cn为等差或等比数列，则可采用分组求和法求an的前 n 项和(2)通项公式为 anbn，n为奇数，cn，n为偶数的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和 易错警示：注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论上一页返回首页下一页高三一轮总复习变式训练 1(2016浙江高考)设数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S24，an12Sn1，nN*.(1)求通项公式 an；(2)求数列|ann2|的前 n 项和上一页返回首页下一页高三一轮总复习解(1)由题意得a1a
8、24，a22a11，则a11，a23.2 分 又当 n2 时，由 an1an(2Sn1)(2Sn11)2an，得 an13an，所以数列an的通项公式为 an3n1，nN*.5 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)设 bn|3n1n2|，nN*，则 b12，b21.当 n3 时，由于 3n1n2，故 bn3n1n2，n3.8 分 设数列bn的前 n 项和为 Tn，则 T12，T23，当 n3 时，Tn3913n213n7n223nn25n112，所以 Tn2，n1，3nn25n112，n2，nN*.12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习裂项相消法求和 (2015全国卷)Sn 为数列
9、an的前 n 项和已知 an0，a2n2an4Sn3.(1)求an的通项公式；(2)设 bn1anan1，求数列bn的前 n 项和上一页返回首页下一页高三一轮总复习解(1)由 a2n2an4Sn3，可知 a2n12an14Sn13.，得 a2n1a2n2(an1an)4an1，即 2(an1an)a2n1a2n(an1an)(an1an).3 分 由 an0，得 an1an2.又 a212a14a13，解得 a11(舍去)或 a13.所以an是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为 an2n1.5 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)由 an2n1 可知 bn1anan112n
10、12n31212n112n3.8 分 设数列bn的前 n 项和为 Tn，则 Tnb1b2bn 121315 1517 12n112n3 n32n3.12 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习规律方法 1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵捎，要注意消去了哪些项，保留了哪些项，从而达到求和的目的 2消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项 上一页返回首页下一页高三一轮总复习变式训练 2(2017石家庄一模)已知等差数列an中，2a2a3a520，且前 10 项和 S10100.(1)求数列an的通项公式；(2)若
11、 bn1anan1，求数列bn的前 n 项和【导学号：57962260】上一页返回首页下一页高三一轮总复习解(1)由已知得2a2a3a54a18d20，10a11092d10a145d100，解得a11，d2，3 分 所以数列an的通项公式为 an12(n1)2n1.5 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)bn12n12n11212n112n1，8 分 所以 Tn12113131512n112n1 12112n1 n2n1.12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习错位相减法求和 (2016山东高考)已知数列an的前 n 项和 Sn3n28n，bn是等差数列，且 anbnbn1.(1)
12、求数列bn的通项公式；(2)令 cnan1n1bn2n，求数列cn的前 n 项和 Tn.上一页返回首页下一页高三一轮总复习解(1)由题意知当 n2 时，anSnSn16n5.当 n1 时，a1S111，符合上式 所以 an6n5.2 分 设数列bn的公差为 d.由a1b1b2，a2b2b3，即112b1d，172b13d，解得b14，d3.所以 bn3n1.5 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)由(1)知 cn6n6n13n3n 3(n1)2n1.7 分 又 Tnc1c2cn，得 Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2，9 分 上一页返回首页下一页高三一
13、轮总复习两式作差，得Tn322223242n1(n1)2n2 34412n12 n12n2 3n2n2，所以 Tn3n2n2.12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习规律方法 1.如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前 n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，若bn的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况讨论 2在书写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，即公比 q 的同次幂项相减，转化为等比数列求和 上一页返回首页下一页高三一轮总复习变式训练 3(2016广东肇庆第三次模拟)已知等差数列an的前 n
14、项和 Sn满足 S36，S515.(1)求an的通项公式；(2)设 bn an2an，求数列bn的前 n 项和 Tn.上一页返回首页下一页高三一轮总复习解(1)设等差数列an的公差为 d，首项为 a1.S36，S515，3a112331d6，5a112551d15，即a1d2，a12d3，解得a11，d1.3 分 an的通项公式为 an a1(n1)d1(n1)1n.5 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)由(1)得 bn an2ann2n，6 分 Tn12222323n12n1 n2n，式两边同乘12，得12Tn 122223 324n12n n2n1，上一页返回首页下一页高三一轮总
15、复习得12Tn1212212312n n2n112112n112 n2n1112n n2n1，10 分Tn2 12n1 n2n.12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习思想与方法解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和 上一页返回首页下一页高三一轮总复习易错与防范1直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为 1 进行讨论 2利用裂项相消法求和的注意事项：(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项 上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差与系数之积与原通项相等如：若an是等差数列，则1anan11d1an 1an1，1anan2 12d1an 1an2.上一页返回首页下一页高三一轮总复习课时分层训练（三十一）点击图标进入
