1、杨浦区2012学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷(理)2013.1.考生注意： 1答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上2本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟1. 若函数的反函数为，则2若复数 (为虚数单位) ，则 .3抛物线的焦点到准线的距离为 .4. 若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是 5若直线:，则该直线的倾斜角是 .6. 若的二项展开式中，的系数为，则实数 7. 若圆椎的母线,母线与旋转轴的夹角,则该圆椎的侧面积为 .8. 设数列()是等差数列.若和是方程的两根，则数列的前 项的和_9. 下列函数： , , ， 中
2、,既是偶函数，又是在区间上单调递减函数为（写出符合要求的所有函数的序号）.10.将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次，朝上的点数依次为和，则函数图像与轴无公共点的概率是_ _ .11.若函数 ()的图像过定点,点在曲线 上运动,则线段中点轨迹方程是 12如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀， 其中米，米. 为了合理利用这块钢板,将在五边 形内截取一个矩形块，使点在边上. 则矩形面积的最大值为_ 平方米 .13 在中，若，则的面积为_14在平面直角坐标系中，直线与圆相切，其中 ，若函数的零点，, 则_二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应
3、编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15 “”是“函数在区间内单调递增”的（ ）充分非必要条件 必要非充分条件充要条件 既非充分又非必要条件16若无穷等比数列的前项和为，首项为，公比为，且， ()，则复数在复平面上对应的点位于 （ ） 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限17若、为双曲线: 的左、右焦点，点在双曲线上，=，则到轴的距离为 （ ） 18. 已知数列是各项均为正数且公比不等于的等比数列（）. 对于函数，若数列为等差数列，则称函数为“保比差数列函数”. 现有定义在上的如下函数：， ， ， ，则为“保比差数列函数”的所有序号为 （ ） 三、解答题（本大题满分74分）
4、本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 PCDE 如图，在三棱锥中，平面，,分别是的中点，（1）求三棱锥的体积；（2）若异面直线与所成角的大小为，求的值.20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 已知 ，（1）求的最小正周期和单调递减区间；（2）若，求的最大值及取得最大值时对应的的取值21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，且椭圆过点. 若的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为.
5、 （1）求椭圆的方程； （2）设的三条边所在直线的斜率分别为，且.若直线的斜率之和为0，求证：为定值.22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知函数的值域为集合，（1）若全集，求；（2）对任意，不等式恒成立，求实数的范围；（3）设是函数的图像上任意一点，过点分别向直线和轴作垂线，垂足分别为、，求的值23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于实数，将满足“且为整数”的实数称为实数的小数部分，用记号表示，对于实数，无穷数列满足如下条件： 其中.（1）若，求数列；（2）当时，对任意的，都
6、有，求符合要求的实数构成的集合（3）若是有理数，设 （ 是整数，是正整数，、互质），问对于大于的任意正整数，是否都有成立，并证明你的结论杨浦区2012学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷(理)参考答案一填空题:1. 0；2；32；4. （向量表示也可）；5；6. ；7. 8. 2013；9.；10. ；11. 12 48；13 ；14 0； 二、选择题: 15；16；17；18. 三、解答题19（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 (1)由已知得， 2分 所以 ，体积 5分(2)取中点，连接，则，所以就是异面直线与所成的角. 7分由已知， . 10分在中
7、，所以，. 12分(其他解法，可参照给分)20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 解：（1）因为 2分 4分 所以,，即函数的最小正周期为 5分， 所以的单调递减区间为 7分（2）因为，得，所以有 8分由，即 10分所以，函数的最大值为1. 12分此时，因为，所以，即. 14分21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 解：（1）设椭圆的方程为，由题意知：左焦点为所以， 4分解得， 故椭圆的方程为 6分（方法2、待定系数法）（2）设，由：， 8分两式相减，得到所以，即， 11分同理，所以，又因为直线的斜率之和为0，所以 14分
8、方法2、(可参照方法1给分)设直线：，代入椭圆，得到，化简得(以下略) 22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. (1)由已知得， ，则 1分当且仅当时，即等号成立， 3分所以， 4分(2)由题得 5分函数在的最大值为 9分 10分(3)设，则直线的方程为，即， 11分由 得 13分又， 14分 所以，故 16分23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解：（1）， 2分 ，则所以. 4分（2），所以，所以，当，即时，所以，解得（，舍去）. 6分当，即时，所以，解得（，舍去）. 7分当，即时，所以，解得（，舍去）. 9分综上，. 10分（3）成立. 11分 （证明1）由是有理数，可知对一切正整数，为0或正有理数，可设（是非负整数，是正整数，且既约）. 12分 由，可得； 13分若，设（，是非负整数）则 ，而由得，故，可得 14分若则， 15分若均不为0，则这正整数互不相同且都小于，但小于的正整数共有个，矛盾. 17分故中至少有一个为0，即存在，使得.从而数列中以及它之后的项均为0，所以对不大于的自然数，都有.（证法2，数学归纳法） 18分（其它解法可参考给分）版权所有：高考资源网()
