1、第三章导数及其应用第一节变化率与导数、导数的计算A级基础过关|固根基|1.已知函数f(x)(x22)(ax2b),且f(1)2,则f(1)()A1 B2C2 D0解析:选Bf(x)(x22)(ax2b)ax4(2ab)x22b,f(x)4ax32(2ab)x.又f(x)4ax32(2ab)xf(x),f(x)为奇函数,所以f(1)f(1)2.2(2019届成都模拟)已知函数f(x)的导函数为f(x),且满足f(x)2xf(e)ln x(其中e为自然对数的底数),则f(e)()A1 B1Ce De1解析:选D由已知得,f(x)2f(e),令xe,可得f(e)2f(e),则f(e).故选D.3(2
2、019届武汉模拟)设函数f(x)x(xk)(x2k)(x3k),且f(0)6,则k()A0 B1C3 D6解析:选B因为f(0)6,所以原函数中x的一次项的系数为6,即k2k(3k)6k36,解得k1.故选B.4曲线yexln x在点(1,e)处的切线方程为()A(1e)xy10 B(1e)xy10C(e1)xy10 D(e1)xy10解析:选C由于ye,所以y|x1e1,故曲线yexln x在点(1,e)处的切线方程为ye(e1)(x1),即(e1)xy10.5(2019届贵阳模拟)已知直线yax是曲线yln x的切线,则实数a()A. B.C. D.解析:选C设切点坐标为(x0,ln x0
3、),由yln x的导函数为y知,切线方程为yln x0(xx0),即yln x01.由题意可知解得a.故选C.6.已知函数yf(x)及其导函数yf(x)的图象如图所示,则曲线yf(x)在点P处的切线方程是_解析:根据导数的几何意义及图象可知,曲线yf(x)在点P处的切线的斜率kf(2)1,又过点P(2,0),所以切线方程为xy20.答案:xy207直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1,3),则2ab_解析:由题意知,yx3axb的导数y3x2a,则解得k2,a1,b3,2ab1.答案:18若曲线f(x)ax3ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是_解析:由题意,可知f(x)
4、3ax2,又曲线存在垂直于y轴的切线,所以3ax20在(0,)有解,即a(x0),所以a(,0)答案:(,0)9(2019届甘肃会宁一中模拟)已知曲线yx3x2在点P0处的切线l1平行于直线4xy10,且点P0在第三象限(1)求P0的坐标;(2)若直线ll1,且l也过切点P0,求直线l的方程解:(1)由yx3x2,得y3x21.由题意得,切线l1的斜率为4,令3x214,解得x1.当x1时,y0;当x1时,y4.又点P0在第三象限,所以切点P0的坐标为(1,4)(2)因为直线ll1,l1的斜率为4,所以直线l的斜率为.因为l过切点P0,由(1)得,点P0的坐标为(1,4),所以直线l的方程为y
5、4(x1),即x4y170.10已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a,bR)(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为3,求a,b的值;(2)若曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围解:f(x)3x22(1a)xa(a2)(1)由题意得解得b0,a3或a1.(2)因为曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线,所以关于x的方程f(x)3x22(1a)xa(a2)0有两个不相等的实数根,所以4(1a)212a(a2)0,即4a24a1(2a1)20,所以a,所以a的取值范围为.B级素养提升|练能力|11.(2020届“四省八校联盟”高三联考)直线xa(a0
6、)分别与直线y2x1,曲线yxln x相交于A,B两点,则|AB|的最小值为()A1 B2C. D.解析:选B根据题意,设f(x)2x1xln xx1ln x,则f(x)1(x0),所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增,所以f(x)minf(1)2ln 12,所以|AB|min2.12(2019届扬州模拟)已知点A(1,2)在函数f(x)ax3的图象上,则过点A的曲线C:yf(x)的切线方程是()A6xy40Bx4y70C6xy40或x4y70D6xy40或3x2y10解析:选D由点A(1,2)在函数f(x)ax3的图象上,得a2,则f(x)2x3,其导数为f(x)6x
7、2.设切点为(m,2m3),则切线的斜率k6m2,由点斜式得切线方程为y2m36m2(xm),代入点A(1,2)的坐标得22m36m2(1m),即有2m33m210,即(m1)2(2m1)0,解得m1或m,即斜率为6或,则过点A的曲线C:yf(x)的切线方程是y26(x1)或y2(x1),即6xy40或3x2y10.故选D.13(2019届成都模拟)若直线ykxb是曲线yln x2的切线,也是曲线yex的切线,则b_解析:设直线ykxb与曲线yln x2的切点为(x1,y1),与曲线yex的切点为(x2,y2)由yln x2的导数为y,yex的导数为yex,可得kex2.又由k,消去x2,可得
8、(1ln x1)(x11)0,则x1或x11,则直线ykxb与曲线yln x2的切点为或(1,2),与曲线yex的切点为(1,e)或(0,1),所以ke或k1,则切线方程为yex或yx1,可得b0或1.答案:0或114已知函数f(x)ax3bx2cx在x1处取得极值,且在x0处的切线的斜率为3.(1)求f(x)的解析式;(2)若过点A(2,m)可作曲线yf(x)的三条切线,求实数m的取值范围解:(1)f(x)3ax22bxc,依题意所以f(x)x33x.(2)设切点为(x0,x3x0),因为f(x)3x23,所以f(x0)3x3,所以切线方程为y(x3x0)(3x3)(xx0)又切线过点A(2,m),所以m(x3x0)(3x3)(2x0),所以m2x6x6.令g(x)2x36x26,则g(x)6x212x6x(x2)当0x2时,g(x)0,g(x)单调递增;当x0或x2时,g(x)0,g(x)单调递减,故g(x)极小值g(0)6,g(x)极大值g(2)2,画出函数g(x)的大致图象知,当6m2时,m2x36x26有三个解,所以m的取值范围是(6,2)