1、 专题四 导数及其应用 2013.3【真题感悟】1. （2012重庆）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（A）函数有极大值和极小值 （B）函数有极大值和极小值 （C）函数有极大值和极小值 （D）函数有极大值和极小值2. (2012辽宁)若，则下列不等式恒成立的是(A) (B) (C) (D)3. （2012上海）已知函数的图象是折线段，其中、，函数（）的图象与轴围成的图形的面积为 。【考点梳理】1.导数的概念：（1）平均变化率：一般地，已知函数yf(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记xx1x0，yy1y0f(x1)f(x0)f(x0x)f(x0
2、)，则当x0时，商_称作函数yf(x)在区间x0，x0x(或x0x，x0)的平均变化率（2）函数yf(x)在xx0处的导数：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率_ 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)，即f(x0) _.(3)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点_处的_相应地，切线方程为_（4）函数f(x)的导函数：函数f(x)_为f(x)的导函数，导函数有时也记作y.2基本初等函数的导数公式和求导法则：（1）基本初等函数的导数公式：原函数导函数f(x)c (c为常数)f(x)_f(x)xn (nN)f(x)_f(x)sin xf(x)_
3、f(x)cos xf(x)_f(x)ax (a0，a1)f(x)_f(x)exf(x)_f(x)logax (a0，a1，x0)f(x)_f(x)ln xf(x)_（2）导数运算法则：(1)f(x)g(x)_ _；(2)f(x)g(x)_；(3)_ (g(x)0)（3）复合函数的导数：复合函数的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yx_，即y对x的导数等于_的导数与_的导数的乘积（4）曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为kf(x0)的切线，是唯一的一条切线曲线yf
4、(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条3.导数的应用：（1）利用导数研究函数单调性的步骤求导数f(x)；在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0或f(x)0；根据的结果确定函数f(x)的单调区间（2）函数的极值：判断f(x0)是极值的方法：一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，如果在x0附近的左侧_，右侧_，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧_，右侧_，那么f(x0)是极小值特别是给出函数极大(小)值的条件，一定既要考虑，又要考虑验证“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记。求可导函
5、数极值的步骤：确定函数的定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值（3）求函数f(x)在闭区间a，b内的最大值与最小值的步骤：确定函数f(x)在闭区间a，b内连续、可导；求函数f(x)在开区间(a，b)内的极值；求函数f(x)在a，b端点处的函数值f(a)，f(b)；比较函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)的大小，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值（4）利用导数解决实际问题中的最值问题时应注意的问题：实际问题常要求解出
6、最大值或最小值，即探求问题的最优解(最优化方法)，一元函数问题的最值可用求导数的方法解决，而且在求导后，导数为零处常常只有一个(即方程f(x)0在定义域内只有唯一解)，这个解通常就是最值点但在解答过程中，还需对这一点的左、右函数的单调性加以验证实际问题中，建模时使用的自变量不一定是求导的最“优”变量，灵活地运用换元的方法是优化解答过程的有效手段（5）求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围转化为研究新函数的值域问题4. 定积分的求法及几何性质：（1）定积分的求法：定义法：分割近似代替作和取极限；尤其注意在无法求原函数的情况下，利用几何意义或函数的性质（如奇偶性）求积分；利用微
7、积分基本定理：利用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F(x)f(x)的函数F(x)，即找被积函数f(x)的原函数F(x)，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数四则运算法则从反方向上求出F(x)，即f(x)dxF(x)|F(b)F(a)。（2）定积分的几何意义：定积分与曲边梯形的面积之间的联系与区别：定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积这要结合具体图形来定：设阴影部分面积为S，则(1)Sf(x)dx； (2)Sf(x)dx； (3)Sf(x)dxf(x)dx；(4)Sf(x)dxg(x)dxf(x)g(x)dx.【要点
8、突破】题型一、导数的概念及运算问题例1. （1）（2010山东文）观察，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=（A） (B) (C) (D)（2）已知定义在正实数集上的函数，其中设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同（I）用表示，并求的最大值；（II）求证：（）题型二、导数的应用问题例2. （1）（ 2012全国）已知函数的图像与x恰有两个公共点，则c（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1（2）已知函数。()证明：曲线（）若,求的取值范围。【巩固提高】1. （2011山东）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，
9、左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为（）千元设该容器的建造费用为千元（）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（）求该容器的建造费用最小时的2. 已知二次函数为常数）；.若直线1、2与函数f（x）的图象以及1，y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示.（）求、b、c的值； （）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式； （）若问是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.3. （20
10、12全国20）设函数f（x）=ax+cosx，x0，.（）讨论f（x）的单调性；（）设f（x）1+sinx，求a的取值范围.4. （2012湖南）已知函数=，其中a0.来若对一切xR，1恒成立，求a的取值集合.（2）在函数的图像上取定两点，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0（x1，x2），使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.5. （2012陕西）设函数.（）设，证明：在区间内存在唯一的零点；（）设，若对任意，有，求的取值范围；（）在（）的条件下，设是在内的零点，判断数列的增减性。专题四 导数及其应用参考答案【真题感悟】1.D解：由图象可知当时，所以此时，函数递增.当时，所以
11、此时，函数递减.当时，所以此时，函数递减.当时，所以此时，函数递增.所以函数有极大值，极小值,选D.2.C解：设，则所以所以当时，同理即，故选C3. 。解：当，线段的方程为，当时。线段方程为，整理得，即函数，所以，函数与轴围成的图形面积为。【要点突破】例1.（1）D解：由给出的例子可以归纳推理得出：若函数是偶函数，则它的导函数是奇函数，因为定义在上的函数满足，即函数是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有=，故选D。（2）解：（）设与在公共点处的切线相同，由题意，即由得：，或（舍去）即有令，则于是当，即时，；当，即时，故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为（）设，则故在为减函数，在为增函数，
12、于是函数在上的最小值是故当时，有，即当时，例2.（1）A。解：若函数的图象与轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有一个为0，函数的导数为，令，解得，可知当极大值为，极小值为.由，解得，由，解得，所以或，选A.（2）解： () ，又曲线的切线方程是：，在上式中令，得所以曲线（）由得，（i）当时，没有极小值；(ii)当或时，由得故。由题设知，当时，不等式无解；当时，解不等式得综合(i)(ii)得的取值范围是。【巩固提高】1. 解：（）由题意可知，即，则.容器的建造费用为，即，定义域为.令，得.令即，（1）当时，当，函数为减函数，当时有最小值；（2）当时，当，；当时，此时当时有最小值。2. 解：
13、（I）由图形可知二次函数的图象过点（0，0），（8，0），并且f(x)的最大值为16则，函数f（x）的解析式为4分（）由得0t2，直线l1与f（x）的图象的交点坐标为（6分由定积分的几何意义知：9分（）令因为x0，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则函数的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点，x=1或x=3时，当x（0，1）时，是增函数；当x（1，3）时，是减函数当x（3，+）时，是增函数12分又因为当x0时，；当所以要使有且仅有两个不同的正根，必须且只须即， m=7或当m=7或时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有两个不同交点。14分3. 4. 解：（）若，则对一切，这与题设矛盾，又，故.而令当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，取最小值于是对一切恒成立，当且仅当.令则当时，单调递增；当时，单调递减.故当时，取最大值.因此，当且仅当即时，式成立.综上所述，的取值集合为.（）由题意知，令则令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即从而，又所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使单调递增，故这样的是唯一的，且.故当且仅当时， .综上所述，存在使成立.且的取值范围为.5. 高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )
