1、第九章（B） 第七讲时间：60分钟满分：100分一、选择题(8540分)1、是两个平行平面，直线a，直线b，a与b之间的距离为d1，与之间的距离为d2，则 ()Ad1d2 Bd1d2 Cd2d2答案：B解析：由条件知，a与b的位置关系是平行或异面若ab，则d1d2；若a、b异面，则d1d2.2在ABC中，ABAC5，BC6，PA平面ABC，PA8，则P到BC的距离为()A. B2C3 D4答案：D解析：取BC中点E，连结AE、PE，由AEBC知PEBC，即PE为点P到BC的距离则PA8，AE4，PE4.3(2009成都市高中毕业班第一次诊断性检测题)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中
2、，若AA1ABAD1，A1ADA1AB60，BAD90，则直线A1D1到平面ABCD的距离为()A1 B.C. D.答案：B解析：作A1O平面ABCD于点O，连结AO.由A1ADA1AB得点O位于BAD的平分线上，且cosA1ADcosA1AOcosDAO，因此cosA1AO，sinA1AO，由题意知直线A1D1到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的距离，即1，选B.4(2009黄冈市高三年级月考试题)如图，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点，则EF的长是 ()A2 B.C. D.答案：C解析：过F作FMAC于M，连接ME，则EFM为直角三角形|
3、EF|.5如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1棱长为1，E是A1B1上的点，则点E到平面ABC1D1的距离是()A. B. C. D.答案：B解析：如示意图取AD1、BC1的中点分别为M、N，连结A1M、B1N、MN.则A1M綊B1NAD1.A1B1MN，A1B1平面ABC1D1.A1B1平面B1BCC1，A1B1B1N.MNB1N.又B1NBC1，B1N平面ABC1D1.点E到平面ABC1D1的距离为A1M.6A是正方形BCDE所在平面外一点，AE平面BCDE，且AECDa，G、H分别是BE、ED的中点，则GH到平面ABD的距离是()A.a B.a C.a D.a答案：D解析：如图G到平
4、面ABD的距离是E到平面ABD距离的一半，可先求后者易知ABADBDBEa，SABDAB2(a)2a2，SBEDa2，设E到平面ABD的距离为h.由VEABDVABED得：SABDhSBEDAE，a2ha2a，ha.GH到平面ABD的距离hha.7空间四边形ABCD的各边与两条对角线的长都是1，点P在边AB上移动，点Q在CD上移动，则点P和Q的最短距离为()A. B. C. D.答案：B解析：易证，当P、Q分别为AB、CD的中点时，PQ间距离最短，解RtADQ及RtAPQ，得PQ.8已知三棱锥SABC中，SA，SB，SC两两互相垂直，底面ABC上一点P到三个面SAB，SAC，SBC的距离分别为
5、，1，则PS的长度为()A9 B. C. D3答案：D解析：P到三个面的距离可以构成一个长方体的三边，则PS是对角线，PS3.二、填空题(4520分)9在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB2，ADA1A1，则直线B1C与A1D的距离为_；直线AC与B1D1的距离为_；点A到直线B1C的距离为_；点B到平面AB1C的距离为_；直线B1C1到CD1的距离为_答案：21解析：如图：易知B1CA1D而CDA1D，CDB1C，CD的长为直线B1C与A1D的距离等于2；易知AC与B1D1距离为BB11；连AC、AB1、B1C作AEB1C于E由题意易知ACAB1，B1CAE；连结AB1，B1C，AC
6、1由所给题条件易得：VBAB1C，由得：SAB1C，由等体积法得所求距离为；作C1FCD1，四边形ABCD为长方形，B1C1面C1D，B1C1C1F，C1F即为所求C1F.10(2009昆明质检)三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，ABACAP2，D为AB中点，E为BC 中点，则点D到直线PE的距离等于_答案：解析：如图，由题意知EDAB，由三垂线定理知，EDPD，又ED1，PD，PE，则点D到直线PE的距离等于，故填.11如右图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使平面ACD平面ABC，则折起后B、D两点的距离为_；直线BD和平面ABC所成角的大小是_.答案：145解析：
7、在RtBOD中，OBOD，则BD1.DBO即为直线BD和平面ABC所成角的大小，DBO45.12多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的如下图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1,2和4.P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：3；4；5；6；7；以上结论正确的为_(写出所有正确结论的编号)答案：解析：如图若P位于C，平面ABCD为正方形，BD与AC的中点为同一点O.B、D到平面的距离分别为2、1，O到平面的距离为.C到平面的距离为3.若P位于B1，B1B綊A1A，B1到平面的距离等于A1到平面的距离加B到平面的距离为
8、6.同理，若P位于C1，则C1到平面的距离为7.若P位于D1，则D1到平面的距离为5.三、解答题(41040分)13在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点(1)求证：平面B1EF平面BDD1B1；(2)求点D1到平面B1EF的距离d.分析：(1)可先证EF平面BDD1B1.(2)用几何法或等积法求距离时，可由B1D1BD，将点进行转移：D1点到平面B1EF的距离是B点到它的距离的4倍，先求B点到平面B1EF的距离即可解答：(1)证明：EF平面BDD1B1平面B1EF平面BDD1B1.(2)解：解法一：连结EF交BD于G点B1D14BG，且
9、B1D1BG，D1点到平面B1EF的距离是B点到它的距离的4倍利用等积法可求由题意可知，EFAC2，B1G.SB1EFEFB1G2，SBEFBEBF1.VBB1EFVB1BEF，设B到面B1EF的距离为h1，则h114，h1.点D1到平面B1EF的距离为h4h1.解法二：如图，在正方形BDD1B1的边BD上取一点G，使BGBD，连结B1G，过点D1作D1HB1G于H，则D1H即为所求距离可求得D1H(直接法)14如图直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱CC12，BAC90，ABAC，M是棱BC的中点，N是CC1中点求：(1)二面角B1ANM的大小；(2)C1到平面AMN的距离解析：(1)BAC9
10、0，ABAC，M是棱BC的中点，AMBC，BC2，AM1.AM平面BCC1B1.平面AMN平面BCC1B1.作B1HMN于H，HRAN于R，连结B1R，B1H平面AMN.又由三垂线定理知，B1RAN.B1RH是二面角B1ANM的平面角由已知得AN，MN，B1MB1N，则B1H，又RtAMNRtHRN，RH.B1R，cosB1RH.二面角B1ANM的大小为arccos.(2)N是CC1中点，C1到平面AMN的距离等于C到平面AMN的距离设C到平面AMN的距离为h，由VCAMNVNAMC得MNhAMMC.h.15(2009北京海淀一模)如图所示，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为
11、直角梯形，且ABCD，BAD90，PAADDC2，AB4.(1)求证：BCPC；(2)求PB与平面PAC所成的角的正弦值；(3)求点A到平面PBC的距离解析：(1)证明：如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，BAD90，ADDC2，ADC90，且AC2.取AB的中点E，连结CE，由题意可知，四边形ABCD为正方形，AECE2.又BEAB2.CEAB，ABC为等腰直角三角形，ACBC.又PA平面ABCD，且AC为PC在平面ABCD内的射影，BC平面ABCD，由三垂线定理得，BCPC.(2)由(1)可知，BCPC，BCAC，PCACC，BC平面PAC.PC是PB在平面PAC内的射影，CPB是PB与
12、平面PAC所成的角又CB2，PB2PA2AB220，PB2，sinCPB，即PB与平面PAC所成角的正弦值为.(3)由(2)可知，BC平面PAC，BC平面PBC，平面PBC平面PAC.过A点在平面PAC内作AFPC于F，AF平面PBC，AF的长即为点A到平面PBC的距离在直角三角形PAC中， PA2，AC2，PC2，AF.即点A到平面PBC的距离为.16(2009吉林长春一模)如图所示，四棱锥PABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，PA2，PDA45，点E、F分别为棱AB、PD的中点(1)求证：AF平面PCE；(2)求二面角EPDC的大小；(3)求点A到平面PCE的距离解析：(1)证明：如
13、图取PC的中点G，连结FG、EG，FG为PCD的中位线，FGCD且FGCD.又底面四边形ABCD是正方形，E为棱AB的中点，AECD且AECD，AEFG且AEFG.四边形AEGF是平行四边形，AFEG.又EG平面PCE，AF平面PCE，AF平面PCE.(2)解：PA底面ABCD，PAAD，PACD.又ADCD，PAADA，CD平面PAD.又AF平面PAD，CDAF.又PA2，PDA45，PAAD2.F是PD的中点，AFPD.又CDPDD，AF平面PCD.AFEG，EG平面PCD.又GFPD，连结EF，则GFE是二面角EPDC的平面角在RtEGF中，EGAF，GF1，tanGFE.二面角EPDC的大小为arctan.(3)设A到平面PCE的距离为h，由VAPCEVPACE，即PCEGhPAAECB，得h，点A到平面PCE的距离为.
