1、题目 (选修)第三章导数单调性及其应用高考要求 理解可导函数的单调性与其导数的关系；知识点归纳 1利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤（1）求（x）（2）确定（x）在（a，b）内符号（3）若（x）0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数；若（x）0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（x）0时，x1或x，当（x）0时，x1函数f（x）的单调增区间为（，）和（1，+），减区间为（，1）点评：极值点、最值点这些是原函数图象上常用的点例3 已知函数f（x）=ax3+3x2x+1在R上是减函数，求实数a的取值范围分析：在R上为减函数，则导函数在R上恒负解：（x）=3ax2+6x1
2、（1）当（x）0时，f（x）为减函数3ax2+6x10（xR），a0时，=36+12a0，a3a3时，（x）1，即a2时，函数f（x）在（，1）上为增函数，在（1，a1）上为减函数，在（a1，+）上为增函数依题意，当x（1，4）时，（x）0，4a165a7a的取值范围为5，7点评：若本题是“函数f（x）在（1，4）上为减函数，在（4，+）上为增函数”我们便知x=4两侧使函数（x）变号，因而需要讨论、探索，属于探索性问题例5 设恰有三个单调区间，试确定的取值范围，并求出这三个单调区间解：由f(x)的解析式得， 若a0, 则 , f(x) 单调,矛盾；若a=o，则 ,f(x)单调；若a0, 则由此
3、可知，当a1，证明不等式xln(1+x)分析：构造辅助函数f(x)=x-ln(1+x)，只需证明f(x)在(1,)上递增即可证明：设 f(x)=x-ln(1+x),x1，则 在上是增函数 又f(1)=1-ln21-lne=0 即小结:1函数的单调性用列表的方法处理，结果明显清晰，不易出错2用函数的单调性证明不等式要注意两点：一是构造函数，二是单调区间起点的函数值学生练习 1函数y=x2（x3）的减区间是A（，0）B（2，+） C（0，2） D（2，2）解析：y=3x26x，由y0，得0x2答案：C2函数f（x）=ax2b在（，0）内是减函数，则a、b应满足Aa0且bR Ca0且b0 Da0且b
4、R解析： （x）=2ax，x0且（x）0且bR答案：B3已知f（x）=（x1）2+2，g（x）=x21，则fg（x）A在（2，0）上递增 B在（0，2）上递增C在（，0）上递增 D在（0，）上递增解析：F（x）=fg（x）=x44x2+6，（x）=4x38x，令（x）0，得x，F（x）在（，0）上递增答案：C4已知a0，函数f（x）=x3ax在1，+）上是单调增函数，则a的最大值是A0 B1 C2 D3解析：（x）=3x2a在1，+)上，（x）0恒成立，即a3x2在1，+）上恒成立，a3答案：D5已知函数f（x）=x44x3+10x2，则方程f（x）=0在区间1，2上的根有A3个 B2个C1个
5、 D0个解析：（x）=4x（x23x+5）在1，2上，（x）0，f（x）在1，2上单调递增f（x）f（1）=7 f（x）=0在1，2上无根答案：D6在（a，b）内（x）0是f（x）在（a，b）内单调递增的_条件解析：在（a，b）内，f（x）0，f（x）在（a，b）内单调递增答案：充分7若函数y=x3+bx有三个单调区间，则b的取值范围是_解析：y=4x2+b，若y值有正、有负，则b0答案：b08设函数f（x）=x3ax2+3x+5（a0），求f（x）的单调区间解：（1）（x）=3x2ax+3，判别式=a236=（a6）（a+6）10a6时，0对xR恒成立当0a6时，0，由（x）0x或x（x）0
6、x在（，+）和（，）内单调递增，在（，）内单调递减9设f（x）=x32x+5（1）求f（x）的单调区间；（2）当x1，2时，f（x）0，f（x）为增函数；在，1上（x）0，f（x）为增函数，f（x）f（2）=7m710已知函数f（x）=x3ax1（1）若f（x）在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使f（x）在（1，1）上单调递减?若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）证明f（x）=x3ax1的图象不可能总在直线y=a的上方解：（x）=3x2a，（1）3x2a0在R上恒成立，a0又a=0时，f（x）=x31在R上单调递增，a0（2）3x2a3x2在（1
7、，1）上恒成立，即a3又a=3，f（x）=x33x1，（x）=3（x21）在（1，1）上，（x）0恒成立，即f（x）在（1，1）上单调递减，a3（3）当x=1时，f（1）=a20，得x（，0）（，+），则f（x）的单调递增区间为（，0）和（，+）12已知函数f（x）=2axx3，a0，若f（x）在x（0，1上是增函数，求a的取值范围解：（x）=2a3x2在（0，1上恒为正，2a3x2，即ax2x（0，1，x2（0，a当a=时也成立a13证明方程x33x+c=0在0，1上至多有一实根证明：设f（x）=x33x+c，则（x）=3x23=3（x21）当x（0，1）时，（x）0恒成立即a当a=时，f（
8、x）在（，+）上单调递增a15求证：x1时，2x3x2+1证明：令f（x）=2x3x21，则（x）=6x22x=2x（3x1）当x1时，（x）0恒成立f（x）在（1，+）上单调递增又f（1）=0，f（x）在（1，+）上恒大于零，即当x1时，2x3x2+116求满足条件的（1）使为上增函数（2）使为上增函数（3）使为上增函数解：（1） 时 也成立 （2） 时 也成立 （3） 17求证下列不等式（1） （2） （3） 证：（1） 为上 恒成立 在上 恒成立（2）原式 令 （3）令 18设，求函数的单调区间分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力 解： 当时
9、（i）当时，对所有，有即，此时在内单调递增（ii）当时，对，有，即，此时在（0，1）内单调递增，又知函数在x=1处连续，因此，函数在（0，+）内单调递增（iii）当时，令，即解得因此，函数在区间内单调递增，在区间内也单调递增令，解得因此，函数在区间内单调递减点评：本题用传统作差比较法无法划分函数的单调区间，只有用导数才行，这是教材新增的内容其理论依据如下（人教版试验本第三册P148）：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数如果，则为常数19（1）在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程； （2）一质点做直线运动，它所经过的路程和时间的关系是s=3t2
10、+t，求t=2时的瞬时速度解析：（1）当x0=-1时，k有最小值3，此时P的坐标为（-1，-14）故所求切线的方程为3x-y-11=0 （2）=6t+1，当t=2时，=13， 当t=2时，质点的瞬时速度为13点拨：1、导数的几何意义：就是曲线y=f(x)在点M(x0,y0)处的切线斜率，即=k切线20是否存在这样的k值，使函数在（1，2）上递减，在（2，-）上递增解析：f(x)=4k2x3-2x2-2kx+2，由题意，当x（1，2）时，0当x(2，+)时，0由函数的连续性可知=0即32k2-8-3=0得或验证：当时，若1x2，若x2，符合题意当时，显然不合题意综上所述，存在，满足题意点评：利用导数处理单调性问题，讨论的区间是开区间，注意递增与递减区间的交界处的导数为0，本题求出k值后还需讨论验证课前后备注
