1、第九章 平面解析几何第六讲圆锥曲线的综合问题拓展变式1.2017浙江,15分如图9-6-2,已知抛物线x2=y,点A(-,),B(,),抛物线上的点P(x,y)(-x1)的左、右顶点,G为E的上顶点,=8.P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程;(2)证明:直线CD过定点.3.2021武汉四地六校高三联考已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+12=0相切.(1)求椭圆C的方程.(2)已知A(-4,0),过点R(3,0)作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P,Q两点,连接AP,AQ,分别交直线x=于
2、M,N两点,若直线MR,NR的斜率分别为k1,k2,问:k1k2是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.4.2021湖北省部分重点中学摸底联考已知点A(1,-)在椭圆C:+=1(ab0)上,O为坐标原点,直线l:-=1的斜率与直线OA的斜率之积为-.(1)求椭圆C的方程.(2)不经过点A的直线m:y=x+t(t0)与椭圆C交于P,Q两点,P关于原点的对称点为R(与点A不重合),直线AQ,AR与y轴分别交于点M,N,求证:|AM|=|AN|.5.2020山西大同一联已知椭圆C的中心在原点,焦点在坐标轴上,直线y=x与椭圆C在第一象限内的交点是M,点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F
3、2,椭圆C的另一个焦点是F1,且=.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l过点(-1,0),且与椭圆C交于P,Q两点,求F2PQ的内切圆的面积的最大值.6.2020湖北省宜昌市三校联考已知F为椭圆C:+=1(ab0)的右焦点,点P(2,)在椭圆C上,且PFx轴.(1)求椭圆C的方程;(2)如图9-6-4,过点F的直线l分别交椭圆C于A,B两点,交直线x=4于点M.判断PA,PM,PB的斜率是否构成等差数列,并说明理由.图9-6-4答 案第六讲圆锥曲线的综合问题1.(1)设直线AP的斜率为k,则k=x-.因为-x,所以直线AP斜率的取值范围是(-1,1).(2)解法一设直线AP的方程为y-=k(x
4、+),即kx-y+k+=0,因为BQAP且B点坐标为(,),所以直线BQ的方程为x+ky-k-=0.联立直线AP与BQ的方程,得解得xQ=.因为|PA|=(x+)=(k+1),|PQ|=(xQ-x)=-,所以|PA|PQ|=-(k-1)(k+1)3.令f(k)=-(k-1)(k+1)3,k(-1,1),因为f(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以f(k)在区间(-1,)上单调递增,(,1)上单调递减,因此当k=时,|PA|PQ|取得最大值.解法二连接BP,则|AP|PQ|=|AP|PB|cosBPQ=(-)=-.易知P(x,x2)(-x),=(x+,x2-),=(2,2),则=2x+1+2x
5、2-=2x2+2x+,=(x+)2+(x2-)2=x2+x+x4-x2+=x4+x2+x+.所以|AP|PQ|=-x4+x2+x+(-x).设f(x)=-x4+x2+x+(-x1,所以a=3.所以E的方程为+y2=1.(2)设C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t).若t0,设直线CD的方程为x=my+n,由题意可知-3n0,则y1+y2=,y1y2=.设M(,yM),N(,yN).由A,P,M三点共线可知=,所以yM=.同理可得yN=.所以k1k2=.因为(x1+4)(x2+4)=(my1+7)(my2+7)=m2y1y2+7m(y1+y2)+49,所以k1k2=-,即k1k2为定值
6、,且定值为-.由题意知,kOAkl=-=-=-,即a2=4b2.又点A(1,-)在椭圆上,则+=1,可得a=2,b=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则R(-x1,-y1),由消去y并整理,得x2+tx+t2-1=0,=3t2-4(t2-1)=-t2+40,即-2tb0),F2(c,0),所以M(c,c).易知F1(-c,0),所以=(-2c,-c)(0,-c)=c2=,所以c=1.由解得所以椭圆C的方程为+=1.(2)由(1)知,F1(-1,0),由过点F1的直线l与椭圆C交于P,Q两点,得F2PQ的周长为4a=8.又=4ar=4r(r为F2PQ的
7、内切圆半径),所以当F2PQ的面积最大时,F2PQ的内切圆面积也最大.设直线l的方程为x=ky-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立直线l与椭圆C的方程得消去x并整理,得(4+3k2)y2-6ky-9=0,易知0,则=|F1F2|y1-y2|=.令=t,则t1,所以=.记f(t)=3t+(t1),则f (t)=3-,当t1,+)时,f (t)0,则f(t)=3t+在1,+)上单调递增,所以f(t)min=f(1)=4,所以=3,即当k=0时,F2PQ的面积取得最大值3.结合=4r,得r的最大值为.所以F2PQ的内切圆的面积的最大值为.6.(1)因为点P(2,)在椭圆C上,且PFx轴,所
8、以c=2.设椭圆C的左焦点为E,则|EF|=2c=4,|PF|=,连接PE,则在RtEFP中,|PE|2=|PF|2+|EF|2=18,所以|PE|=3.所以2a=|PE|+|PF|=4,则a=2,b2=a2-c2=4,所以椭圆C的方程为+=1.(2)由题意可设直线AB的方程为y=k(x-2),令x=4,得y=2k,则点M的坐标为(4,2k).由消去y并整理,得(2k2+1)x2-8k2x+8(k2-1)=0,0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.设直线PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3,从而k1=,k2=,k3=k-.因为直线AB的方程为y=k(x-2),则y1=k(x1-2),y2=k(x2-2),所以k1+k2=+=+-(+)=2k-.将代入,得k1+k2=2k-=2k-.又k3=k-,所以k1+k2=2k3,于是直线PA,PM,PB的斜率成等差数列.
