1、第三章 直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率31.1倾斜角与斜率目标 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握它们之间的关系；2.掌握过两点的直线的斜率计算公式，及其简单的应用重点 倾斜角与斜率的定义；直线的斜率公式；利用斜率公式解答有关问题难点 倾斜角与斜率的定义及它们关系的理解知识点一直线的倾斜角填一填1当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定0.因此，直线的倾斜角的取值范围为0180.2倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度3确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的
2、倾斜角答一答1每一条直线都有唯一的倾斜角吗？提示：直线的倾斜角是分两种情况定义的：第一种是与x轴相交的直线；第二种是与x轴平行或重合的直线，此时构不成角，所以定义为0，作了这样的定义之后，就可以使平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角了2若0180，任给定一个角，有多少条直线与之对应？提示：有无数条，这无数条直线互相平行知识点二直线的斜率填一填1定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记为k，即ktan.2斜率与倾斜角的对应关系3.经过两点的斜率公式直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)，其斜率k.答一答3是否所有直线都有斜率，斜率的几何意义是什么
3、？提示：当直线与x轴垂直时，直线不存在斜率，斜率决定直线相对于x轴的倾斜程度4直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大，这句话对吗？提示：这句话不对，当倾斜角0时，k0，当00，并且随的增大，k也增大，当90时，k不存在；当90180时，k0，并且随的增大，k也增大5斜率公式与所选取的两点的顺序是否有关？为什么？提示：斜率公式与所选取的两点的顺序都无关，即两点的横坐标和纵坐标在公式中的次序可以同时调换，即k(x1x2)，但只颠倒其中一个的顺序是不行的6过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的所有直线都有斜率吗？提示：不是，当x1x2，y1y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90.类型一直线
4、的倾斜角 例1给出下列结论：任意一条直线有唯一的倾斜角；一条直线的倾斜角可以为30；倾斜角为0的直线只有一条，即x轴；若直线的倾斜角为，则sin(0,1)；若是直线l的倾斜角，且sin，则45.其中正确结论的个数是()A1 B2C3 D4解析任意一条直线有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此正确，错误中当0时，sin0，故错误中有可能为135，故错误答案A根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图，然后根据定义找直线向上的方向与x轴的正向的夹角即为直线的倾斜角.画图时一般要分情况讨论，讨论时要做到不重不漏，讨论的分类主要有0角、锐角、直角和钝角四
5、类.变式训练1(1)直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的范围是(C)A090 B90180C90180 D0180解析：如图所示，为钝角，即90180.(2)如图，已知直线l1的倾斜角为30，直线l2l1，则直线l2的倾斜角为120.类型二直线的斜率 命题视角1：直线斜率的定义例2已知直线l1与l2向上的方向所成的角为100，若l1的倾斜角为20，求直线l2的斜率分析结合题作图分析，求l2的倾斜角后利用ktan可求解如图，设直线l2的倾斜角为，斜率为k，则10020120，ktantan120.直线l2的斜率为.变式训练2如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，
6、k2，k3的大小关系为(D)Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1Dk1k3k2解析：直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0k3k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k10，所以k1k3k2.命题视角2：直线的斜率公式例3求经过下列两点的直线的斜率(如果存在)和倾斜角，其中a，b，c是两两不相等的实数(1)(a，c)，(b，c)；(2)(a，b)，(a，c)；(3)(a，ab)，(c，bc)分析先确定斜率，再由公式ktan确定倾斜角，当两点的横坐标相等时，斜率不存在解(1)k0，倾斜角为0.(2)直线所经过的两点的横坐标相同，此直线的斜率不存在，倾斜角为9
7、0.(3)k1，倾斜角为45.只有倾斜角不是90的直线才有斜率，因此运用斜率公式时，要注意两点的横坐标是否相等.变式训练3(1)已知M(1，)，N(，3)，若直线l的倾斜角是直线MN的倾斜角的一半，则直线l的斜率为(A)A. B. C. D1解析：设直线MN的倾斜角为，则tan，60，故直线l的倾斜角为30.由tan30，得直线l的斜率为.(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围为(，1，)解析：如图，kAP1，kBP，直线l的斜率k(，1，)命题视角3：斜率公式的应用例4已知实数x，y满足y2x8，且2x3，求的最大值和最小值
8、解如图所示，由于点(x，y)满足关系式2xy8，且2x3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2,4)，B(3,2)由于的几何意义是直线OP的斜率，且kOA2，kOB，所以可求得的最大值为2，最小值为.变式训练4点M(x，y)在函数y2x8的图象上，当x2,5时，则的取值范围是，解析：如图，设P坐标(1，1)，A，B坐标分别为(2,4)，(5，2)，kPA，kPB，所以的取值范围是，1已知直线l的倾斜角30，则其斜率k的值为(B)A0 B.C. D1解析：ktan30.2若直线l经过点M(2,3)，N(2，1)，则直线l的倾斜角为(D)A0 B30C60 D
9、90解析：M，N的横坐标相同，所以l的倾斜角为90.3已知直线l的斜率k满足1k1，则它的倾斜角的取值范围是(D)A4545B4545C045或135180D045或1351804已知点P(3,2)，点Q在x轴上，若直线PQ的倾斜角为150，则点Q的坐标为(32，0)解析：设Q(x,0)，则由tan150可求之5如下图，已知ABC三个顶点坐标A(2，1)，B(1,1)，C(2，4)，求三边所在直线的斜率，并根据斜率求这三条直线的倾斜角解：由斜率公式知直线AB的斜率kAB0.直线BC的斜率kBC1.由于点A，C的横坐标均为2，所以直线AC的倾斜角为90，其斜率不存在又0，180)时，tan00，
10、AB的倾斜角为0，tan135tan451，BC的倾斜角为135.直线AB的斜率为0，倾斜角为0；直线BC的斜率为1，倾斜角为135；直线AC的斜率不存在，倾斜角为90.本课须掌握的两大问题1倾斜角理解倾斜角的概念，需注意以下三个方面：角的顶点是直线与x轴的交点；角的一条边的方向是指向x轴正方向；角的另一边的方向是由顶点指向直线向上的方向2斜率公式(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换这就是说，如果分子是y2y1，分母必须是x2x1；反过来，如果分子是y1y2，分母必须是x1x2，即k(x1x2)(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论
