1、高考资源网（） 您身边的高考专家第十四章推理与证明高考导航考试要求重难点击命题展望1.了解合情推理的含义.2.能利用归纳与类比等进行简单的推理.3.体会并认识合情推理在数学发现中的作用.4.了解演绎推理的重要性.5.掌握演绎推理的基本模式：“三段论”.6.能运用演绎推理进行简单的推理.7.了解演绎推理、合情推理的联系与区别.8.了解直接证明的两种基本方法：分析法与综合法.9.了解分析法与综合法的思维过程、特点.10.了解反证法是间接证明的一种基本方法及反证法的思维过程、特点.11.了解数学归纳法的原理.12.能用数学归纳法证明一些简单的与自然数有关的数学命题.本章重点：1.利用归纳与类比进行推
2、理；2.利用“三段论”进行推理与证明；3.运用直接证明(分析法、综合法)与间接证明(反证法)的方法证明一些简单的命题；4.数学归纳法的基本思想与证明步骤；运用数学归纳法证明与自然数n(nN*)有关的数学命题.本章难点：1.利用归纳与类比的推理来发现结论并形成猜想命题；2.根据综合法、分析法及反证法的思维过程与特点选取适当的证明方法证明命题；3.理解数学归纳法的思维实质，特别是在第二个步骤要根据归纳假设进行推理与证明.“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.本章要求考生通过对已有知识的回顾与总结，进一步体会直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号
3、表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等数学思维过程以及合情推理、演绎推理之间的联系与差异，体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法.本章是新课程考纲中新增的内容，考查的范围宽，内容多，涉及数学知识的方方面面，与旧考纲相比，增加了合情推理等知识点，这为创新性试题的命制提供了空间.知识网络14.1合情推理与演绎推理典例精析题型一运用归纳推理发现一般性结论 【例1】 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假.sin215sin275sin2135；sin230sin290sin2150；sin245sin2105sin2165；sin260sin2120sin2180.
4、【解析】猜想：sin2(60)sin2sin2(60).左边(sin cos 60cos sin 60)2sin2(sin cos 60cos sin 60)2(sin2cos2)右边.【点拨】先猜后证是一种常见题型；归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”(周期性).【变式训练1】设直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有abch成立，某同学通过类比得到如下四个结论：a2b2c2h2；a3b3c3h3；a4b4c4h4；a5b5c5h5.其中正确结论的序号是；进一步类比得到的一般结论是 .【解析】；anbncnhn(nN*)
5、.题型二运用类比推理拓展新知识 【例2】 请用类比推理完成下表：平面空间三角形两边之和大于第三边三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的面积等于任意一边的长度与这边上的高的乘积的一半三棱锥的体积等于任意一个底面的面积与该底面上的高的乘积的三分之一三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长的乘积的一半【解析】 本题由已知的前两组类比可得到如下信息：平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；三角形各边的边长与三棱锥各面的面积是类比对象；三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；三角形的面积公式中的“二分之一”与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对
6、象.由以上分析可知：故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一.本题结论可以用等体积法，将三棱锥分割成四个小的三棱锥去证明，此处从略.【点拨】类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论.一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比列表如下：平面空间点线线面圆球三角形三棱锥角二面角面积体积周长表面积【变式训练2】面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离为hi(i1,2,3,4)，(1)若k，则；(2)类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i
7、个面的面积记为Si(i1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i1,2,3,4)，若K，则.【解析】；.题型三运用“三段论”进行演绎推理【例3】已知函数f(x)ln ax(a0).(1)求此函数的单调区间及最值；(2)求证：对于任意正整数n，均有1ln .【解析】(1)由题意f(x).当a0时，函数f(x)的定义域为(0，)，此时函数在(0，a)上是减函数，在(a，)上是增函数，fmin(x)f(a)ln a2，无最大值.当a0时，函数f(x)的定义域为(，0)，此时函数在(，a)上是减函数，在(a,0)上是增函数，fmin(x)f(a)ln a2，无最大值.(2)取a1
8、，由(1)知，f(x)ln xf(1)0，故1ln xln ，取x1,2,3，n，则1ln eln ln ln .【点拨】演绎推理是推理证明的主要途径，而“三段论”是演绎推理的一种重要的推理形式，在高考中以证明题出现的频率较大.【变式训练3】已知函数f(x)eg(x)，g(x)(e是自然对数的底数)，(1)若对任意的x0，都有f(x)x1，求满足条件的最大整数k的值；(2)求证：ln(112)ln(123)ln1n(n1)2n3(nN*).【解析】(1)由条件得到f(1)22k2ln 213，猜测最大整数k2，现在证明x1对任意x0恒成立：x1等价于2ln(x1)ln(x1)2，设h(x)ln
9、(x1)，则h(x).故x(0,2)时，h(x)0，当x(2，)时，h(x)0.所以对任意的x0都有h(x)h(2)ln 312，即x1对任意x0恒成立，所以整数k的最大值为2.(2)由(1)得到不等式2ln(x1)，所以ln1k(k1)22，ln(112)ln(123)ln1n(n1)(2)(2)22n32n32n3，所以原不等式成立.总结提高合情推理与演绎推理是两种基本的思维推理方式.尽管合情推理(归纳、类比)得到的结论未必正确，但归纳推理与类比推理具有猜想和发现新结论、探索和提供证明的新思路的重要作用，特别在数学学习中，我们可以由熟悉的、已知的知识领域运用归纳、类比思维获取发现和创造的灵
10、感去探索陌生的、未知的知识领域.演绎推理是数学逻辑思维的主要形式，担负着判断命题真假的重要使命.如果说合情推理是以感性思维为主，只需有感而发；那么演绎推理则是以理性思维为主，要求言必有据.在近几年高考中一道合情推理的试题往往会成为一套高考试题的特色与亮点，以彰显数学思维的魅力.其中数列的通项公式、求和公式的归纳、等差数列与等比数列、平面与空间、圆锥曲线与圆、杨辉三角等的类比的考查频率较大.而演绎推理的考查则可以渗透到每一道试题中.14.2直接证明与间接证明典例精析题型一运用综合法证明 【例1】设a0，b0，ab1，求证：8.【证明】因为ab1，所以1122248，当且仅当ab时等号成立.【点拨
11、】在用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从已知逐渐引出结论.【变式训练1】设a，b，c0，求证：abc.【证明】因为a，b，c0，根据基本不等式，有b2a，c2b，a2c.三式相加：abc2(abc).即abc.题型二运用分析法证明【例2】设a、b、c为任意三角形三边长，Iabc，Sabbcca.求证：I24S.【证明】由I2(abc)2a2b2c22(abbcac)a2b2c22S，故要证I24S，只需证a2b2c22S4S，即a2b2c22S.欲证上式，只需证a2b2c22ab2bc2ca0
12、，即证(a2abac)(b2bcba)(c2cacb)0，只需证三括号中的式子均为负值即可，即证a2abac，b2bcba，c2cacb，即abc，bac，cab，显然成立，因为三角形任意一边小于其他两边之和.故I24S.【点拨】(1)应用分析法易于找到思路的起始点，可探求解题途径.(2)应用分析法证明问题时要注意：严格按分析法的语言表达；下一步是上一步的充分条件.【变式训练2】已知a0，求证：a2.【证明】要证a2，只要证2a.因为a0，故只要证(2)2(a)2，即a244a222(a)2，从而只要证2(a)，只要证4(a2)2(a22)，即a22，而该不等式显然成立，故原不等式成立.题型三
13、运用反证法证明【例3】 若x，y都是正实数，且xy2.求证：2或2中至少有一个成立.【证明】假设2和2都不成立.则2，2同时成立.因为x0且y0，所以1x2y且1y2x，两式相加得2xy2x2y，所以xy2，这与已知条件xy2相矛盾.因此2与2中至少有一个成立.【点拨】一般以下题型用反证法：当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确；否定命题，唯一性命题，存在性命题，“至多”“至少”型命题；有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及到无限个元素，用直接证明形式比较困难因而往往采用反证法.【变式训练3】已知下列三个方程：x24ax4a30；x2(a1)xa20；x22ax2a0，若至少有一个
14、方程有实根，求实数a的取值范围.【解析】假设三个方程均无实根，则有由(4a)24(4a3)0，得4a24a30，即a；由(a1)24a20，得(a1)(3a1)0，即a1或a；由(2a)24(2a)0，得a(a2)0，即2a0.以上三部分取交集得Ma|a1，则三个方程至少有一个方程有实根的实数a的取值范围为RM，即a|a或a1.总结提高分析法与综合法各有其优缺点：分析法是执果索因，比较容易寻求解题思路，但叙述繁琐；综合法叙述简洁，但常常思路阻塞.因此在实际解题时，需将两者结合起来运用，先用分析法寻求解题思路，再用综合法简洁地叙述解题过程.从逻辑思维的角度看，原命题“pq”与逆否命题“qp”是等
15、价的，而反证法是相当于由“q”推出“p”成立，从而证明了原命题正确.因此在运用反证法的证明过程中要特别注意条件“q”的推理作用.综合法与分析法在新课标中第一次成为独立的显性的课题，预测可能有显性的相关考试命题.反证法证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，或与假设矛盾或与定义、公理、公式事实矛盾等.14.3数学归纳法典例精析题型一用数学归纳法证明恒等式 【例1】是否存在常数a、b、c，使等式122232n2(n1)22212an(bn2c)对于一切nN*都成立？若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，试说明理由.【解析】 假设存在a、b、c使122232n2(n1)222
16、12an(bn2c)对于一切nN*都成立.当n1时，a(bc)1；当n2时，2a(4bc)6；当n3时，3a(9bc)19.解方程组解得证明如下：当n1时，显然成立；假设nk(kN*，k1)时等式成立，即122232k2(k1)22212k(2k21)；则当nk1时，122232k2(k1)2k2(k1)22212k(2k21)(k1)2k2k(2k23k1)(k1)2k(2k1)(k1)(k1)2(k1)(2k24k3)(k1)2(k1)21.因此存在a，b2，c1，使等式对一切nN*都成立.【点拨】 用数学归纳法证明与正整数n有关的恒等式时要弄清等式两边的项的构成规律：由nk到nk1时等式
17、左右各如何增减，发生了怎样的变化.【变式训练1】用数学归纳法证明：当nN*时，.【证明】(1)当n1时，左边，右边，左边右边，所以等式成立.(2)假设当nk(kN*)时等式成立，即有，则当nk1时，所以当nk1时，等式也成立.由(1)(2)可知，对一切nN*等式都成立.题型二用数学归纳法证明整除性问题【例2】 已知f(n)(2n7)3n9，是否存在自然数m使得任意的nN*，都有m整除f(n)？若存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.【解析】 由f(1)36，f(2)108，f(3)360，猜想：f(n)能被36整除，下面用数学归纳法证明.(1)当n1时，结论显然成立；(2
18、)假设当nk(k1，kN*)时结论成立，即f(k)(2k7)3k9能被36整除.则当nk1时，f(k1)(2k9)3k193(2k7)3k918(3k11)，由假设知3(2k7)3k9能被36 整除，又3k11是偶数，故18(3k11)也能被36 整除.即nk1时结论也成立.故由(1)(2)可知，对任意正整数n都有f(n)能被36整除.由f(1)36知36是整除f(n)的最大值.【点拨】 与正整数n有关的整除性问题也可考虑用数学归纳法证明. 在证明nk1结论也成立时，要注意“凑形”，即凑出归纳假设的形式，以便于充分利用归纳假设的条件.【变式训练2】求证：当n为正整数时，f(n)32n28n9能
19、被64整除.【证明】方法一：当n1时，f(1)348964，命题显然成立.假设当nk(k1，kN*)时结论成立，即f(k)32k28k9能被64整除.由于32(k1)28(k1)99(32k28k9)98k998(k1)99(32k28k9)64(k1)，即f(k1)9f(k)64(k1)，所以nk1时命题也成立.根据可知，对任意的nN*，命题都成立.方法二：当n1时，f(1)348964，命题显然成立.假设当nk(k1，kN*)时，f(k)32k28k9能被64整除.由归纳假设，设32k28k964m(m为大于1的自然数)，将32k264m8k9代入到f(k1)中得f(k1)9(64m8k9
20、)8(k1)964(9mk1)，所以nk1时命题也成立.根据可知，对任意的nN*，命题都成立.题型三数学归纳法在函数、数列、不等式证明中的运用【例3】(2009山东)等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上.(1)求r的值；(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nN*)，求证：对任意的nN*，不等式成立.【解析】(1)因为点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上，所以Snbnr(b0且b1，b，r均为常数).当n1时，a1S1br；当n2时，anSnSn1bnrbn1r(b1)bn1
21、.又数列an为等比数列，故r1且公比为b.(2)当b2时，an2n1，所以bn2(log2an1)2(log22n11)2n(nN*)，所以，于是要证明的不等式为对任意的nN*成立.下面用数学归纳法证明.当n1时，显然成立.假设当nk时不等式成立，即.则当nk1时，即当nk1时不等式成立，所以原不等式对任意nN*成立.【点拨】 运用归纳推理得到的结论不一定正确，需进行证明.用数学归纳法证明不等式时必须要利用归纳假设的条件，并且灵活运用放缩法、基本不等式等数学方法. 【变式训练3】设函数f(x)ex1(aR).(1)若函数f(x)在x1处有极值，且函数g(x)f(x)b在(0，)上有零点，求b的
22、最大值；(2)若f(x)在(1,2)上为单调函数，求实数a的取值范围；(3)在(1)的条件下，数列an中a11，an1f(an)f(an)，求|an1an|的最小值.【解析】(1)f(x)ex1，又函数f(x)在x1处有极值，所以f(1)0，即a1，经检验符合题意.g(x)ex1，当x(0,1)时，g(x)0，g(x)为减函数，当x1时，g(x)0，当x(1，)时g(x)0，g(x)为增函数.所以g(x)在x1时取得极小值g(1)2b，依题意g(1)0，所以b2，所以b的最大值为2.(2)f(x)ex1，当f(x)在(1,2)上单调递增时，ex10在1,2上恒成立，所以ax2ex1，令h(x)
23、x2，则h(x)ex1(x22x)0在1,2上恒成立，即h(x)在1,2上单调递增，所以h(x)在1,2上的最小值为h(1)1，所以a1；当f(x)在1,2上单调递减时，同理ax2ex1，h(x)x2ex1在1,2上的最大值为h(2)4e，所以a4e.综上实数a的取值范围为a1或a4e.(3)由(1)得a1，所以f(x)f(x)，因此an1，a11，所以a22，可得0a2n11，a2n22.用数学归纳法证明如下：当n1时，a3，a4，结论成立；设nk，kN*时结论成立，即0a2k11，a2k22，则nk1时，a2k31，所以0a2k31，a2k4112.所以nk1时结论也成立，根据可得0a2n
24、11，a2n22恒成立，所以|an1an|a2a1211，即|an1an|的最小值为1.总结提高数学归纳法是证明与自然数有关的命题的常用方法，它是在归纳的基础上进行的演绎推理，其大前提是皮亚诺公理(即归纳公理)：设M是正整数集合的子集，且具有如下性质：1M；若kM，则k1M，那么必有MN*成立.数学归纳法证明的两个步骤体现了递推的数学思想，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，通过对两个命题的证明替代了无限多次的验证，实现了有限与无限的辩证统一.从近几年的高考试题来看，比较注重于对数学归纳法的思想本质的考查，如“归纳、猜想、证明”是一种常见的命题形式.而涉及的知识内容也是很广泛的，可覆盖代数命题、三角恒等式、不等式、数列、几何命题、整除性命题等.其难点往往在第二步，关键是“凑形”以便运用归纳假设的条件.- 10 - 版权所有高考资源网
