1、四川省新津中学2019-2020学年高一数学4月月考（入学）试题 理（含解析）第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1.设、且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用特殊值法可判断B、D选项的正误，利用不等式的基本性质可判断A选项的正误，利用作差法可判断C选项的正误，进而可得出正确选项.【详解】对于A选项，当时，A选项错误；对于B选项，取，则，B选项错误；对于C选项，则、中至少有一个不为零，所以，则，所以，即，C选项正确；对于D选项，取，则，D选项错误.故选：C.【点睛】本题考
2、查代数式的大小比较，一般利用不等式的基本性质、作差（商）法、特殊值法来比较，考查推理能力，属于基础题.2.已知，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式和倍角公式，即可求解.【详解】由，得，得答案选A【点睛】本题考查诱导公式和倍角公式，记准公式，正确计算是解 题的关键.3.在等比数列中，已知，那么的前4项和为（ ）.A. 81B. 120C. 121D. 192【答案】B【解析】【分析】根据求出公比，利用等比数列的前n项和公式即可求出.【详解】 , .故选B【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n项和，属于中档题.4.化简=（ ）A. B. C.
3、D. 【答案】B【解析】【分析】利用降次公式和诱导公式化简所求表达式，由此求得正确结论.【详解】依题意，原式，故选B.【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数诱导公式，属于基础题.5.在中，内角、所对的边分别是、，且不等式的解集为，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解不等式，可得出、，再利用余弦定理可计算出的值.【详解】解不等式，得，由余弦定理得.故选：A.【点睛】本题考查利用余弦定理求三角形的边长，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.6.已知、为锐角，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出，然后利用两
4、角和正切公式可求得的值.【详解】为锐角，则，所以，.故选：C.【点睛】本题考查利用两角和的正切公式求值，考查计算能力，属于基础题.7.在中，角的对边分别为a，b，c，若，则（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】由求出再求出，由正弦定理求出.【详解】A，C是三角形内角，.又，又，.故选A【点睛】本题考查同角间正余弦值互化、两角和正弦公式、正弦定理，属于基础题.8.函数的最大值为（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】由题意，得；故选A.9.在中，内角、所对的边分别是、，若、成等比数列，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由等比中项的性质得出，利
5、用正弦定理边角互化思想得出，再结合正弦定理边角互化思想可求得，进而得解.【详解】由于、成等比数列，则，由正弦定理得，所以，.故选：A.【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求值，同时也考查了等比中项性质的应用，考查计算能力，属于基础题.10.已知中，、分别是、的等差中项与等比中项，则的面积等于（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】计算出和，利用余弦定理求出，然后利用三角形面积公式可求得的面积.【详解】由于、分别是、的等差中项与等比中项，则，得，得.由余弦定理得，整理得，解得或.当时，的面积为；当时，的面积为.综上所述，的面积为或.故选：D.【点睛】本题考查三角形面积的计
6、算，同时也考查了利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.11.在递减等差数列 中，若，则数列的前项和的最大值为 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】设公差为 ，所以由，得 （正舍），即 ，因为 ，所以数列的前项和等于 ，选D.点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.12.设等差数列满足，公差，当且仅当时，数列的前项和取得最大值，求该数列首项的取值范围（ ）A. B
7、. C. D. 【答案】A【解析】， ， ，则，公差，则，而，当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则，把代入后解不等式，选A.【点睛】本题为三角函数式恒等变形与等差数列综合题，利用两角和差的三角函数公式简化已知条件，转化为三角方程，利用题目所提供的范围求出等差数列的公差，由于等差数列前n项和有最大值，则首项为正，公差为负，根据是关于n的二次函数，图象为开口向下的抛物线上的点，当且仅当时，数列的前项和取得最大值，说明对称轴介于（8.5，9.5），解不等式后得出答案.第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13.不等式的解集为_.（用区间表示）【答案】【解析】【分析】将不等
8、式变形为，解该不等式即可.【详解】由得，解得或，因此，不等式的解集为.故答案为：.【点睛】本题考查分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.14.若数列是正项数列，且则_【答案】【解析】试题分析：令，得，当时，与已知式相减，得，时，适合，考点：数列的求和15.船在岛A的正南方向的B处,以的速度向正北方向航行,同时乙船自岛A出发以的速度向北偏东60的方向驶去,当甲乙两船相距最近时,它们所航行的时间为_.【答案】【解析】【分析】如图,当两船航行后,甲船到D处,乙船到C处,由余弦定理得，即得解.【详解】如图,当两船航行后,甲船到D处,乙船到C处,则,所以当时,最小,即两船最近.故答案为：【点睛
9、】本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16.在中，内角、的对边分别为、，若的面积为，且，则等于_.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理和三角形的面积公式得出关于和的等式，结合建立方程组解出和的值，由此可计算出的值.【详解】，由三角形的面积公式和余弦定理得，得，由题意可得，解得，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用三角形面积公式和余弦定理求角，解答的关键就是建立有关和的方程组，利用方程思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知公差不为零的等差数列中，且成等比数列.（1）
10、求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：设等差数列的公差，利用首项和公差表示数列的项，利已知三项成等比列方程求出公差，写出等差数列的通项公式，根据，求出数列的通项公式，由于适合使用分组求和，所以利用分组求和法求出数列的前n项的和，注意利用等差数列和等比数列 的前n项和公式的使用.试题解析：（1）设数列公差为 成等比数列（舍）或.（2）令.【点睛】本题是等差数列与等比数列及数列求和综合题，设等差数列的公差，利用首项和公差表示数列的项，利已知三项成等比列方程求出公差，写出等差数列的通项公式，根据，求出数列的通项公式，由于适合使用分组求和，所以利用分
11、组求和法求出数列的前n项的和，注意利用等差数列和等比数列 的前n项和公式的使用.18.在中，内角所对的边分别为，已知面积为，.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1);(2).【解析】试题分析：(1) 通过三角形的面积以及已知条件求出b，c，利用余弦定理求a的值;(2) 利用两角和的余弦函数化简，然后直接求解即可.试题解析：(1)在中，由，可得，又因为，所以，即.又，解得，.由，得.(2)因为，所以.19.已知在中，角的对边分别为,且. （1）求的值；（2）若,求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求的值，所以可以考虑到根据余弦定理
12、将分别用边表示，再根据正弦定理可以将转化为，于是可以求出的值；（2）首先根据求出角的值，根据第（1）问得到的值，可以运用正弦定理求出外接圆半径，于是可以将转化为，又因为角的值已经得到，所以将转化为关于的正弦型函数表达式，这样就可求出取值范围；另外本问也可以在求出角的值后，应用余弦定理及重要不等式，求出的最大值，当然，此时还要注意到三角形两边之和大于第三边这一条件. 试题解析：（1）由，应用余弦定理，可得 化简得则 （2） 即 所以 法一. ,则 = = = 又 法二因为 由余弦定理得，又因为，当且仅当时“”成立.所以 又由三边关系定理可知综上20.已知数列是一个以为首项，为公比等比数列，且（1
13、）求数列的通项公式；（2）设，求；（3）若对任意，有恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）求出数列的通项公式，然后利用累加法可求得数列的通项公式；（2）求得，然后利用裂项相消法可求得；（3）求出数列的最小值，可得出关于实数的不等式，解出该不等式即可得出实数的取值范围.【详解】（1）数列是首项、公比均为的等比数列，故.所以，数列的通项公式为；（2），因此，；（3）因，所以数列单调递增，即的最小值为，由于对任意，有恒成立，则，整理得，解得.因此，实数的取值范围是【点睛】本题考查利用累加法求数列通项，同时也考查了裂项求和法以及数列不等式恒成立问题的求解，考查计
14、算能力，属于中等题.21.在中，内角、所对的边分别是、，不等式对一切实数恒成立.（1）求的取值范围； （2）当取最大值，且的周长为时，求面积的最大值，并指出面积取最大值时的形状（参考知识：已知、，；、，）【答案】（1）；（2）面积的最大值为，此时为等边三角形.【解析】【分析】（1）分和两种情况讨论，在时检验即可，在时，可得出，由此可求得的取值范围；（2）由（1）知，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，利用等号成立的条件判断的形状，利用三角形的面积公式可求得面积的最大值.【详解】（1），则.当时，原不等式即为对一切实数不恒成立；当时，应有，解得或（舍去）.，则，所以，因此，的取值范围是；（
15、2），的最大值为.由余弦定理得，由基本不等式可得，（当且仅当时，等号成立）. 的面积为（当且仅当时，等号成立）. 此时，面积的最大值为，为等边三角形.【点睛】本题考查利用变系数的二次不等式恒成立求参数的取值范围，同时也考查了三角形面积最值的计算，涉及余弦定理和基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.22.已知数列的前项和为，且，数列满足，对任意,都有.（1）求数列、的通项公式；（2）令.若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用，结合累乘法，求得数列的通项公式.根据已知条件判断出数列是等比数列，由此求得数列的通项公式.（2）利用错位相
16、减求和法求得，利用差比较法证得是递增数列，由此求得的取值范围.化简不等式，得恒成立.构造函数，对进行分类讨论，结合二次函数的性质，求得的取值范围.【详解】（1），当时，即又,也满足上式，故数列的通项公式由，知数列是等比数列，其首项为、公比为，数列的通项公式（2）由，得，又恒正.故是递增数列，又.不等式，即，即恒成立.设，当时，恒成立，则满足条件； 当时，由二次函数性质知不恒成立；当时，由于对称轴则在上单调递减，恒成立，则满足条件，综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本小题主要考查根据递推关系求数列的通项公式，考查累乘法求数列通项公式，考查等比数列的识别，考查等比数列通项公式，考查错位相减求和法，考查数列不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.
