1、四川省新津中学2019-2020学年高一数学4月月考(入学)试题 理(含解析)第卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共有12小题,每小题5分,共60分;在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的1.设、且,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用特殊值法可判断B、D选项的正误,利用不等式的基本性质可判断A选项的正误,利用作差法可判断C选项的正误,进而可得出正确选项.【详解】对于A选项,当时,A选项错误;对于B选项,取,则,B选项错误;对于C选项,则、中至少有一个不为零,所以,则,所以,即,C选项正确;对于D选项,取,则,D选项错误.故选:C.【点睛】本题考
2、查代数式的大小比较,一般利用不等式的基本性质、作差(商)法、特殊值法来比较,考查推理能力,属于基础题.2.已知,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式和倍角公式,即可求解.【详解】由,得,得答案选A【点睛】本题考查诱导公式和倍角公式,记准公式,正确计算是解 题的关键.3.在等比数列中,已知,那么的前4项和为( ).A. 81B. 120C. 121D. 192【答案】B【解析】【分析】根据求出公比,利用等比数列的前n项和公式即可求出.【详解】 , .故选B【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式,等比数列的前n项和,属于中档题.4.化简=( )A. B. C.
3、D. 【答案】B【解析】【分析】利用降次公式和诱导公式化简所求表达式,由此求得正确结论.【详解】依题意,原式,故选B.【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式,考查三角函数诱导公式,属于基础题.5.在中,内角、所对的边分别是、,且不等式的解集为,则等于( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解不等式,可得出、,再利用余弦定理可计算出的值.【详解】解不等式,得,由余弦定理得.故选:A.【点睛】本题考查利用余弦定理求三角形的边长,同时也考查了一元二次不等式的求解,考查运算求解能力,属于基础题.6.已知、为锐角,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出,然后利用两
4、角和正切公式可求得的值.【详解】为锐角,则,所以,.故选:C.【点睛】本题考查利用两角和的正切公式求值,考查计算能力,属于基础题.7.在中,角的对边分别为a,b,c,若,则( )A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】由求出再求出,由正弦定理求出.【详解】A,C是三角形内角,.又,又,.故选A【点睛】本题考查同角间正余弦值互化、两角和正弦公式、正弦定理,属于基础题.8.函数的最大值为( )A. B. C. D. 2【答案】A【解析】由题意,得;故选A.9.在中,内角、所对的边分别是、,若、成等比数列,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由等比中项的性质得出,利
5、用正弦定理边角互化思想得出,再结合正弦定理边角互化思想可求得,进而得解.【详解】由于、成等比数列,则,由正弦定理得,所以,.故选:A.【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求值,同时也考查了等比中项性质的应用,考查计算能力,属于基础题.10.已知中,、分别是、的等差中项与等比中项,则的面积等于( )A. B. C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】计算出和,利用余弦定理求出,然后利用三角形面积公式可求得的面积.【详解】由于、分别是、的等差中项与等比中项,则,得,得.由余弦定理得,整理得,解得或.当时,的面积为;当时,的面积为.综上所述,的面积为或.故选:D.【点睛】本题考查三角形面积的计
6、算,同时也考查了利用余弦定理解三角形,考查计算能力,属于中等题.11.在递减等差数列 中,若,则数列的前项和的最大值为 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】设公差为 ,所以由,得 (正舍),即 ,因为 ,所以数列的前项和等于 ,选D.点睛:裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式,然后通过累加抵消中间若干项的方法,裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列,c为常数)的数列. 裂项相消法求和,常见的有相邻两项的裂项求和(如本例),还有一类隔一项的裂项求和,如或.12.设等差数列满足,公差,当且仅当时,数列的前项和取得最大值,求该数列首项的取值范围( )A. B
7、. C. D. 【答案】A【解析】, , ,则,公差,则,而,当且仅当时,数列的前项和取得最大值,则,把代入后解不等式,选A.【点睛】本题为三角函数式恒等变形与等差数列综合题,利用两角和差的三角函数公式简化已知条件,转化为三角方程,利用题目所提供的范围求出等差数列的公差,由于等差数列前n项和有最大值,则首项为正,公差为负,根据是关于n的二次函数,图象为开口向下的抛物线上的点,当且仅当时,数列的前项和取得最大值,说明对称轴介于(8.5,9.5),解不等式后得出答案.第卷(非选择题,共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分13.不等式的解集为_.(用区间表示)【答案】【解析】【分析】将不等
8、式变形为,解该不等式即可.【详解】由得,解得或,因此,不等式的解集为.故答案为:.【点睛】本题考查分式不等式的求解,考查运算求解能力,属于基础题.14.若数列是正项数列,且则_【答案】【解析】试题分析:令,得,当时,与已知式相减,得,时,适合,考点:数列的求和15.船在岛A的正南方向的B处,以的速度向正北方向航行,同时乙船自岛A出发以的速度向北偏东60的方向驶去,当甲乙两船相距最近时,它们所航行的时间为_.【答案】【解析】【分析】如图,当两船航行后,甲船到D处,乙船到C处,由余弦定理得,即得解.【详解】如图,当两船航行后,甲船到D处,乙船到C处,则,所以当时,最小,即两船最近.故答案为:【点睛
9、】本题主要考查余弦定理的实际应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16.在中,内角、的对边分别为、,若的面积为,且,则等于_.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理和三角形的面积公式得出关于和的等式,结合建立方程组解出和的值,由此可计算出的值.【详解】,由三角形的面积公式和余弦定理得,得,由题意可得,解得,因此,.故答案为:.【点睛】本题考查利用三角形面积公式和余弦定理求角,解答的关键就是建立有关和的方程组,利用方程思想求解,考查运算求解能力,属于中等题.三、解答题:(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知公差不为零的等差数列中,且成等比数列.(1)
10、求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析:设等差数列的公差,利用首项和公差表示数列的项,利已知三项成等比列方程求出公差,写出等差数列的通项公式,根据,求出数列的通项公式,由于适合使用分组求和,所以利用分组求和法求出数列的前n项的和,注意利用等差数列和等比数列 的前n项和公式的使用.试题解析:(1)设数列公差为 成等比数列(舍)或.(2)令.【点睛】本题是等差数列与等比数列及数列求和综合题,设等差数列的公差,利用首项和公差表示数列的项,利已知三项成等比列方程求出公差,写出等差数列的通项公式,根据,求出数列的通项公式,由于适合使用分组求和,所以利用分
11、组求和法求出数列的前n项的和,注意利用等差数列和等比数列 的前n项和公式的使用.18.在中,内角所对的边分别为,已知面积为,.(1)求的值;(2)求的值.【答案】(1);(2).【解析】试题分析:(1) 通过三角形的面积以及已知条件求出b,c,利用余弦定理求a的值;(2) 利用两角和的余弦函数化简,然后直接求解即可.试题解析:(1)在中,由,可得,又因为,所以,即.又,解得,.由,得.(2)因为,所以.19.已知在中,角的对边分别为,且. (1)求的值;(2)若,求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】试题分析:(1)本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求的值,所以可以考虑到根据余弦定理
12、将分别用边表示,再根据正弦定理可以将转化为,于是可以求出的值;(2)首先根据求出角的值,根据第(1)问得到的值,可以运用正弦定理求出外接圆半径,于是可以将转化为,又因为角的值已经得到,所以将转化为关于的正弦型函数表达式,这样就可求出取值范围;另外本问也可以在求出角的值后,应用余弦定理及重要不等式,求出的最大值,当然,此时还要注意到三角形两边之和大于第三边这一条件. 试题解析:(1)由,应用余弦定理,可得 化简得则 (2) 即 所以 法一. ,则 = = = 又 法二因为 由余弦定理得,又因为,当且仅当时“”成立.所以 又由三边关系定理可知综上20.已知数列是一个以为首项,为公比等比数列,且(1
13、)求数列的通项公式;(2)设,求;(3)若对任意,有恒成立,求实数的取值范围【答案】(1);(2);(3).【解析】【分析】(1)求出数列的通项公式,然后利用累加法可求得数列的通项公式;(2)求得,然后利用裂项相消法可求得;(3)求出数列的最小值,可得出关于实数的不等式,解出该不等式即可得出实数的取值范围.【详解】(1)数列是首项、公比均为的等比数列,故.所以,数列的通项公式为;(2),因此,;(3)因,所以数列单调递增,即的最小值为,由于对任意,有恒成立,则,整理得,解得.因此,实数的取值范围是【点睛】本题考查利用累加法求数列通项,同时也考查了裂项求和法以及数列不等式恒成立问题的求解,考查计
14、算能力,属于中等题.21.在中,内角、所对的边分别是、,不等式对一切实数恒成立.(1)求的取值范围; (2)当取最大值,且的周长为时,求面积的最大值,并指出面积取最大值时的形状(参考知识:已知、,;、,)【答案】(1);(2)面积的最大值为,此时为等边三角形.【解析】【分析】(1)分和两种情况讨论,在时检验即可,在时,可得出,由此可求得的取值范围;(2)由(1)知,利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值,利用等号成立的条件判断的形状,利用三角形的面积公式可求得面积的最大值.【详解】(1),则.当时,原不等式即为对一切实数不恒成立;当时,应有,解得或(舍去).,则,所以,因此,的取值范围是;(
15、2),的最大值为.由余弦定理得,由基本不等式可得,(当且仅当时,等号成立). 的面积为(当且仅当时,等号成立). 此时,面积的最大值为,为等边三角形.【点睛】本题考查利用变系数的二次不等式恒成立求参数的取值范围,同时也考查了三角形面积最值的计算,涉及余弦定理和基本不等式的应用,考查计算能力,属于中等题.22.已知数列的前项和为,且,数列满足,对任意,都有.(1)求数列、的通项公式;(2)令.若对任意的,不等式恒成立,试求实数的取值范围.【答案】(1),;(2).【解析】【分析】(1)利用,结合累乘法,求得数列的通项公式.根据已知条件判断出数列是等比数列,由此求得数列的通项公式.(2)利用错位相
16、减求和法求得,利用差比较法证得是递增数列,由此求得的取值范围.化简不等式,得恒成立.构造函数,对进行分类讨论,结合二次函数的性质,求得的取值范围.【详解】(1),当时,即又,也满足上式,故数列的通项公式由,知数列是等比数列,其首项为、公比为,数列的通项公式(2)由,得,又恒正.故是递增数列,又.不等式,即,即恒成立.设,当时,恒成立,则满足条件; 当时,由二次函数性质知不恒成立;当时,由于对称轴则在上单调递减,恒成立,则满足条件,综上所述,实数的取值范围是.【点睛】本小题主要考查根据递推关系求数列的通项公式,考查累乘法求数列通项公式,考查等比数列的识别,考查等比数列通项公式,考查错位相减求和法,考查数列不等式恒成立问题的求解,考查分类讨论的数学思想方法,属于难题.