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2020-2021学年数学人教A版必修4教学教案:1-1-1 任意角 (8) WORD版含答案.doc

上传人:高**** 文档编号:227372 上传时间:2024-05-26 格式:DOC 页数:6 大小:212.50KB
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资源描述

1、任意角的三角函数教学目标:1理解并掌握任意角的三角函数的定义2理解并掌握各三角函数在各象限的符号教学重点:任意角三角函数的定义教学难点:利用定义计算任意角的三角函数值授课类型:新授课根据新课程改革的基本理念,我准备在教学过程中从问题情境出发,让学生进行观察、操作、探究从而感受数学,然后引导学生去发现数学、建构数学,使他们在这种过程中感悟并获得数学知识与思想方法,最终能运用所学的知识去解决实际问题。一问题情境问题1求的值。师:等于多少?生:等于。我们知道,是一个锐角,在初中,我们是如何定义锐角三角函数的?复习锐角三角函数的定义:在中,。前面我们把角的概念推广到了任意角。那么如何求任意角的三角函数

2、值呢?问题2求的值。师:怎么办?在直角三角形中能表现这个角吗?还能不能在直角三角形来求这个值?生:不能在直角三角形中求出来。师:对,显然,不能再用初中的定义,因为,这里没有直角三角形,也就没有什么对边、邻边和斜边。那么,我们应该如何对初中的三角函数的定义进行推广。这就是我们本节课要研究和解决的问题。二建构数学【学生操作】课件1打开课件1,观察任意角的终边分别位于不同位置时,三个比值的变化情况。(请同学们仔细观察这个课件的演示情况,对我们以后的学习将有很大的帮助。)【教师总结】随着的终边在轴上及各象限内变化,三个比值也随着变化;且对于任何一个确定的角,每一个比值都是唯一确定的(终边在y轴上时,y

3、/x除外),根据函数的定义,它们实际上构成了以角为自变量、以比值为函数值的函数。我们把它们分别叫做任意角的正弦、余弦、正切函数。对课件1的说明:随着的终边在轴上及各象限内的变化,利用几何画板的动态演示和度量功能,展示三个比值的变化情况。学生通过对课件1的操作,将新授的抽象内容形象化,有利于学生准确理解和掌握新知识;它也能为以后学习(三角函数的定义域、值域、三角函数值的符号、单调性、奇偶性、对称性、周期性)作铺垫。(一)任意角的三角函数的定义根据在平面直角坐标系中研究角的做法,以角的顶点为坐标原点,以它的始边为轴的非负半轴,建立直角坐标系。设任意角的终边上任意一点的坐标为,它与原点的距离是()。

4、当为锐角时,过点作轴的垂线,为垂足,则,所以,在中,。,的值与点的选择无关。想一想,为什么?事实上,我们在角的终边上另取一点,过点作轴的垂线,为垂足,则,可以证明,从而,。一般地,对任意角,我们规定:(1)比值叫做的正弦,记作,即;(2)比值叫做的余弦,记作,即;(3)比值()叫做的正切,记作,即;对于确定的角,比值和都惟一确定,故正弦和余弦都是角的函数,当(),角的终边在轴上,故有,这时无意义。除此之外,对于确定的角()(),比值也是惟一确定的,故正切也是角的函数。以上三种函数,都称为三角函数。说明:这样定义以后,(1)当是锐角时,此定义与初中定义相同。(指出对边,邻边,斜边所在)(2)当(

5、)时,与的同名三角函数值应该是相等的,即凡是终边相同的角的三角函数值相等。(二)正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号规律。首先,在第一象限内讨论,由定义知,正弦函数值的符号与的符号相同,而在第一象限内,因此,在第一象限内,;同理,余弦函数值的符号与的符号相同,;对于正切函数,由于,由定义,。同理,我们可以得到,的值在各象限的符号。如下图:三数学应用师:我们已经知道了三角函数的定义,下面我们就根据定义来解决实际的问题。请看例1已知角的终边经过点,求的正弦、余弦、正切值。师:要求三个三角函数值,我们需要知道哪些量?生:。师:我们是必须知道这三个量,还是知道其中两个量就行了?生:只需知道其中的两个

6、量。师:例1中是否有咱们所需要的两个量?生:有。师:好的。下面就由大家动手计算出这三个三角函数的值。师:由三角函数的定义,我们知道,已知角终边上一点的坐标就可以求三个三角函数值,如果所给终边上一点含有参数呢?请看变式1:变式1已知角的终边经过点,求的正弦、余弦、正切值。师:这里的,分别是什么?生:。师:很好。当时,;当时,因此要分情况讨论。以下留给大家完成。师:若已知函数值,如何确定终边上一点的坐标呢?请看变式2:变式2已知角的终边经过点且,求的值。师:审题以后,大家有什么想法?生:由三角函数的定义,把的值用表示出来,然后解得。师:很好。这样就可以把解出来。大家还有什么想法?生:先由的值确定角

7、的终边所在象限,从而确定的范围。这样在解方程的时候就避免了增根或失根。师:这位同学讲得很好。在解三角函数问题时,要十分“关注”角的终边所处位置,从而确定函数值的符号。如果告诉你角的终边在某一直线上,又如何求三角函数值呢?请看变式3:变式3已知角的终边在直线上,求的正弦、余弦、正切值。生:由定义出发,在直线上任意取一点,就可以求出的正弦、余弦、正切值。师:想法不错。由于直线经过一三象限,因此需分情况讨论,在两个不同的象限的终边上各取一点,求出的正弦、余弦、正切值。例2确定下列三角函数值的符号:(1)(2)(3)(4)师:如何来确定上述三角函数值的符号?生:看角的终边在第几象限,由三角函数定义来确

8、定它的符号。师:这就需要我们正确的判断出角的终边所在位置。再用我们今天学的知识解决。可谓是温故知新,新旧结合。下面就请大家练习一下。(由学生先练习,再请学生回答,然后引入变式1。)变式1设是三角形的一个内角,在,中,哪些可能取负值?师:三角形的内角取值有什么范围?生:。师:在这个范围内,上述三角函数值,哪些可能取负值?生:,。师:此时,是什么角?的终边在第几象限?生:是钝角,的终边在第二象限。变式2若且,则为第几象限角?师:这个问题是说,如果,的值都为负值,则的终边在第几象限?生:的终边在第二象限。变式3若,则为第几象限角?师:这个问题的实质是什么?请同学们换句话,把它的意思表达出来。生:这个问题是说,如果,的值同号,则的终边在第几象限?师:非常好。此时的终边一定在第二象限吗?生:不一定。还有可能在第一象限。四回顾反思:教师引导,由学生总结1本节课我们学习了任意角的三角函数的定义,它是锐角三角函数定义的扩展,体现了由特殊到一般的思想。2分类讨论(按角的位置)是确定三角函数值正负(或0)及求值过程中使用频率非常高的一个数学思想,而分类的标准往往是四个象限及四个坐标半轴。3【探究吠卣埂吭仓?/SPAN上任一点的坐标为,你能用本节课的知识,用和来表示点的坐标吗?五练习作业。

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