1、章末小结与素养评价第六章 圆周运动主干知识成体系 圆 周 运 动 迁移交汇破疑难 一、水平面上的圆周运动 典例1(多选)如图6-1所示，水平转台上放着A、B、C三个物体，质量分别为2m、m、m，离转轴的距离分别为r、r、2r，与转台间的动摩擦因数相同(假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，转台旋转时，下列说法中正确的是()图6-1 A若三个物体均未滑动，则C物体的向心加速度最大 B若三个物体均未滑动，则B物体受到的摩擦力最大 C转速增加，A物体比B物体先滑动 D转速增加，C物体先滑动 解析 三个物体均未滑动时，做圆周运动的角速度相同，均为，根据a2r知，半径最大的向心加速度最大，故A正确。三个物体
2、均未滑动时，静摩擦力提供向心力fA2m2r，fBm2r，fC2m2r，B物体受到的摩擦力最小，故B错误。转速增加时，角速度增加，当三个物体分别刚要滑动时，对A有2mg2mA2r，对B有mgmB2r，对C有mg2mC2r，ABC，即C物体的静摩擦力提供向心力首先达到不足，C物体先滑动，A与B一起滑动，故C错误，D正确。答案 AD 二、斜面上的圆周运动典例 2 如图 6-2 所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度 转动，盘面上离转轴距离 2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为 32(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水图 6-2平面的夹角
3、为 30，g 取 10 m/s2。则 的最大值是()A 5 rad/s B 3 rad/sC1.0 rad/s D0.5 rad/s解析 物体随圆盘做圆周运动，运动到最低点时最容易滑动，因此物体在最低点且刚好要滑动时的转动角速度为最大值，这时，根据牛顿第二定律有，mgcos 30mgsin 30mr2，求得1.0 rad/s，故C正确，A、B、D错误。答案 C 三、竖直面内的圆周运动典例 3 如图 6-3 所示，轻杆长 3L，在杆两端分别固定质量均为 m 的球 A 和 B，光滑水平转轴穿过杆上距球 A 为 L 处的 O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球 B 运动到最高点时，杆
4、对球 B 恰好无作用力。忽略空气阻力，则球 B在最高点时()图 6-3A球 B 的速度为 0B球 A 的速度大小为 2gLC水平转轴对杆的作用力为 1.5mgD水平转轴对杆的作用力为 2.5mg解析 球 B 运动到最高点时，杆对球 B 恰好无作用力，即球 B 的重力恰好提供向心力，有 mgmv22L，解得 v 2gL，故 A 错误；由于 A、B 两球的角速度相等，则球 A 的速度 v 2gL2，故 B 错误；球 B 到最高点时，对杆无弹力，此时球 A 所受重力和拉力的合力提供向心力，有 Fmgmv2L，解得 F1.5mg，故 C 正确，D 错误。答案 C 模型构建探本质 一、圆锥摆模型 1物理
5、模型 细线下面悬挂一个小球，设法使小球在某个水平面内做匀速圆周运动，形成一个圆锥摆，如图6-4所示。图6-4 2向心力的来源细线拉力 FT 与小球所受重力 mg 的合力提供向心力，或者说是细线拉力在水平面内指向圆心的分力提供向心力。3动力学分析设角速度为，有 mgtan m2lsin 解得 cos g2l。4结论(1)圆锥摆细线与中心轴线的夹角与角速度和细线的长度有关，与小球的质量无关。(2)细线长度一定时，角速度越大，夹角也越大。(3)根据 T2 可求得圆锥摆的周期 T2 lcos g2hg，其中 h 为圆锥摆平面与悬点之间的高度差。【针对训练】1(多选)如图6-5所示，长为L的细绳一端固定
6、，另一端系一质量为m的小球。给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为。下列说法中正确的是()图6-5A小球受重力、绳的拉力和向心力作用 B小球只受重力和绳的拉力作用 C越大，小球运动的速率越大 D越大，小球运动的周期越大 解析：小球受重力、绳的拉力作用，二者合力提供向心力，由牛顿第二定律可得 Fcos mg，Fsin mv2Lsin，T2Lsin v，可求得 v gLsin tan，T2 Lcos g，可见 越大，v 越大，T 越小。综上所述，可知 B、C 正确，A、D 错误。答案：BC 2如图 6-6 所示，两个质量不同的小球
7、用长度不等的细线连接，并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的()A运动周期相同图 6-6B运动的线速度大小相同C运动的角速度不同D向心加速度大小相同解析：对其中一个小球(A 球)进行受力分析，如图所示，小球受重力，绳子的拉力，设绳与竖直方向的夹角为，由于小球做匀速圆周运动，故合力提供向心力。将重力与拉力合成，合力指向圆心，由几何关系得 Fmgtan，由向心力公式得 Fm2r，设小球与悬挂点间的高度差为 h，由几何关系得 rhtan，三式联立解得gh，与绳子的长度和运动的角速度无关，故 C 错误。由 T2 知周期相等，故 A 正确。两球转动半径不等，根据 vr 知两球线速度大小不等，由 a2r
8、 知两球向心加速度大小不等，故 B、D 错误。答案：A 3如图6-7所示，已知绳长L20 cm，水平杆长L0.1 m，小球质量m0.3 kg，整个装置可绕竖直轴转动(g取10 m/s2)，问：图6-7(1)要使绳子与竖直方向成45角，该装置必须以多大的角速度转动才行？(2)在(1)中，绳子对小球的拉力为多大？解析：(1)小球绕竖直轴做圆周运动，其轨道平面在水平面内，轨道半径 rLLsin 45设绳对小球的拉力为 F，小球重力为 mg，对小球受力分析如图所示：绳的拉力与重力的合力 F 合mgtan 45，提供小球做圆周运动的向心力，可得 mgtan 45m2r联立两式，将数值代入可得6.44 r
9、ad/s。(2)Fmgcos 454.24 N。答案：(1)6.44 rad/s(2)4.24 N 二、圆周运动中的连接体问题 圆周运动中的连接体问题，是指两个或两个以上的物体通过一定的约束绕同一转轴做圆周运动的问题。这类问题的一般解题思路是，分别隔离物体，准确地进行受力分析，正确画出受力示意图，确定轨道平面和半径，注意约束关系。在连接体的圆周运动问题中，角速度相同是一种常见的约束关系。常见实例如下：情景示例情景图示情景说明情景 1两小球固定在轻杆 A、B 两点上，随杆一起绕杆的端点 O 做圆周运动。注意：计算杆OA 段的拉力时，应以 A 点的小球为研究对象，而不能以 A、B 两点的小球整体为
10、研究对象情景示例情景图示情景说明情景 2A、B 两物块用细绳相连沿半径方向放在转盘上，随转盘一起转动，当转盘转速逐渐增大时，物块A 先达到其最大静摩擦力，转速再增加，则 A、B 间绳子开始有拉力，当 B 受到的静摩擦力达到其最大值后两物块开始滑动(设 A、B 两物块与转盘间的动摩擦因数相等)情景 3A、B 两物块叠放在一起随转盘一起转动，当求转盘对物块 B 的摩擦力时，取 A、B 整体为研究对象比较简单；当研究 A、B 谁先发生离心运动时，注意比较两接触面间的动摩擦因数大小情景示例情景图示情景说明情景 4A、B 两小球用轻线相连穿在光滑轻杆上随杆绕转轴 O 在水平面内做圆周运动时，两球所受向心
11、力大小相等，角速度相同，圆周运动的轨道半径与小球质量成反比【针对训练】4(多选)如图6-8所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量均为m的两个物体A和B(A、B可以看作质点)，它们与盘面间的动摩擦因数均为，A、B之间细线的长度为L，图6-8细线长度等于B到圆盘圆心的距离，下列说法正确的是()A当圆盘角速度 g2L，细线拉力为 0B当圆盘角速度 gL，两物体能随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动C当圆盘角速度 3g5L，B 受到的摩擦力为45mgD当圆盘转速加快到两物体刚要发生滑动时，烧断细线，则物体 B 仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体 A 发生滑动，离圆盘圆心越来越远解
12、析：当细线的拉力恰好为 0 时，对物体 A 有 mgm22L，解得 g2L，当圆盘角速度 g2L，细线拉力为 0，故 A 正确。当两物体恰不发生相对滑动时，对物体 A 有 mgFTm22L，对物体 B 有 mgFTm2L，解得 2g3L，FT13mg；因此当圆盘角速度 2g3L，两物体能随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动，故 B 错误。当圆盘转速加快到两物体刚要发生滑动时，烧断细线，则 FT 变为 0，则物体 A 发生滑动，离圆盘圆心越来越远；B 仍随圆盘一起做匀速圆周运动，故 D 正确。当圆盘角速度 3g5L 2g3L 时，两物体相对圆盘均保持静止，对物体 A 有 mgFTm22L，对物
13、体 B 有 FfBFTm2L，解得 B 受到的摩擦力为 FfB45mg，故 C 正确。答案：ACD 5(多选)如图6-9所示，叠放在水平转台上的小物体A、B、C能随转台一起以角速度匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B与转台、C与转台间的动摩擦因数都为，B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。以下说法中不正确的是()图6-9 AB 对 A 的摩擦力一定为 3mgBC 与转台间的摩擦力大于 A 与 B 间的摩擦力C转台的角速度一定满足 2g3rD转台的角速度一定满足 g3r解析：对 A 进行受力分析，其受重力、支持力以及 B 对 A 的静摩擦力，静摩擦力提供向心力，有 FBA3m2r3mg，故 A 错误；由于 A 与 C 转动的角速度相同，由摩擦力提供向心力，有 FCm1.5r2FBA3mr2，即 C 与转台间的摩擦力小于 A 与 B 间的摩擦力，故 B 错误；对 A、B 整体有(3m2m)2r(3m2m)g，对物体 C 有 m21.5rmg，联立解得 2g3r，故 C 正确，D 错误。答案：ABD
