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广东省中山一中2017届高三上学期第二次统测数学试卷(理科) WORD版含解析.doc

上传人:高**** 文档编号:225793 上传时间:2024-05-26 格式:DOC 页数:21 大小:699.50KB
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资源描述

1、2016-2017学年广东省中山一中高三(上)第二次统测数学试卷(理科)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1设集合A、B是非空集合,定义AB=x|xAB且xAB,已知A=,B=y|y=2x2,则AB等于()A(2,+)B0,12,+)C0,1)(2,+)D0,1(2,+)2在ABC中,“sin(AB)cosB+cos(AB)sinB1”是“ABC是直角三角形”的()A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件3已知命题p:对任意xR,总有2x0;q:“x1”是“x2”的充分不必要条件,则下列命题为真

2、命题的是()ApqBpqCpqDpq4已知正方形ABCD的边长为4,动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动设点P运动的路程为x,ABP的面积为S,则函数S=f(x)的图象是()ABCD5已知复数是纯虚数,则实数a=()A2B4C6D66已知a=,b=,c=,则()AabcBbacCacbDcab7在函数y=cos丨2x丨,y=丨cosx丨,y=cos(2x+)y=tan(2x)中,最小正周期为的所有函数为()ABCD8函数f(x)=2sin(x+)(0,)的部分图象如图所示,则,的值分别是()ABCD9已知函数y=(x1)f(x)的图象如图所示,其中f(x)为函数f(x)的导函数,则y=f(

3、x)的大致图象是()ABCD10已知函数f(x)=,若x1,x2R,且x1x2,使得f(x1)=f(x2),则实数a的取值范围是()A2,3(,5B(,2)(3,5)C2,3D5,+)11已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若g(x)=f(x+1)+5,g(x)=f(x+1)+5,g(x)为g(x)的导函数,对xR,总有g(x)2x,则g(x)x2+4的解集为()A(,1)B(,1)CRD(1,+)12如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75,30,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC等于()A mB mC mD m二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答

4、案填在答题卷的横线上.13由抛物线y=x21,直线x=0,x=2及x轴围成的图形面积为14 =15在ABC中,若D为BC 的中点,则有,将此结论类比到四面体中,在四面体 ABCD中,若G为BCD的重心,则可得一个类比结论:16已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)=f(x),且在区间0,2上是增函数若方程f(x)=m(m0)在区间8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=三、解答题:本大题共5小题,满分60分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在平面直角坐标系xOy中设锐角的始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点P(x1,y1),将射线OP绕坐

5、标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q(x2,y2)记f()=y1+y2(1)求函数f()的值域;(2)设ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(C)=,且a=,c=1,求b18已知函数f(x)=sin(2wx)4sin2wx+2(w0),其图象与x轴相邻两个交点的距离为(1)求函数f(x)的解析式;(2)若将f(x)的图象向左平移m(m0)个长度单位得到函数g(x)的图象恰好经过点(,0),求当m取得最小值时,g(x)在,上的单调增区间19在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且满足 2acosC=2bc(1)求sinA的值; (2)若a=1,求ABC的周长l的取

6、值范围20已知函数f(x)=lnx(a0)(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a=l时,求f(x)在区间,2上的最大值和最小值(0.69ln 20.70);(3)求证ln21已知函数f(x)=exax1,(其中aR,e为自然对数的底数)(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在(0,f(0)处的切线方程;(2)当x1时,若关于x的不等式f(x)0恒成立,求实数a的取值范围请考生在22题,23题,24题三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑选修4-1几何证明选讲22如图,OAB是等腰三角形,AOB=120以O为圆心, OA为半径作圆()

7、证明:直线AB与O相切;()点C,D在O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:ABCD选修4-4坐标系与参数方程23已知圆C1:=2cos,曲线C2:(为参数)(1)化圆C1和曲线C2的方程为普通方程;(2)过圆C1的圆心C1且倾斜角为的直线l交曲线C2于A,B两点,求圆心C1到A,B两点的距离之积选修4-5不等式选讲24已知a,b,c(0,+),且a+b+c=1,求证:(1)(1)(1)(1)8; (2)+2016-2017学年广东省中山一中高三(上)第二次统测数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要

8、求的)1设集合A、B是非空集合,定义AB=x|xAB且xAB,已知A=,B=y|y=2x2,则AB等于()A(2,+)B0,12,+)C0,1)(2,+)D0,1(2,+)【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据根式有意义的条件,分别求出结合A和B,然后根据新定义AB=x|xAB且xAB,进行求解【解答】解:集合A、B是非空集合,定义AB=x|xAB且xAB,A=x|0x2B=y|y=2x2=y|y0AB=0,+),AB=0,2因此AB=(2,+),故选A2在ABC中,“sin(AB)cosB+cos(AB)sinB1”是“ABC是直角三角形”的()A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分

9、条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据sin(AB)cosB+cos(AB)sinB=sin(AB+B)=sinA,结合三角形的边角关系判断分析【解答】解:sin(AB)cosB+cos(AB)sinB=sin(AB+B)=sinA在ABC中,sin(AB)cosB+cos(AB)sinB1,sin(AB+B)=sinA1,0A,A=90,“ABC是直角三角形”A=90或B=90或C=90,根据充分必要条件的定义可判断;“sin(AB)cosB+cos(AB)sinB1”是“ABC是直角三角形”的充分不必要条件,故选:B3已知命题p:对任意xR,总有2

10、x0;q:“x1”是“x2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是()ApqBpqCpqDpq【考点】复合命题的真假【分析】由命题p,找到x的范围是xR,判断p为真命题而q:“x1”是“x2”的充分不必要条件是假命题,然后根据复合命题的判断方法解答【解答】解:因为命题p对任意xR,总有2x0,根据指数函数的性质判断是真命题;命题q:“x1”不能推出“x2”;但是“x2”能推出“x1”所以:“x1”是“x2”的必要不充分条件,故q是假命题;所以pq为真命题;故选D;4已知正方形ABCD的边长为4,动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动设点P运动的路程为x,ABP的面积为S,则函数S=f(x)

11、的图象是()ABCD【考点】函数的图象【分析】根据点P的位置进行分类讨论,根据三角形的面积公式求出每一段ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式,根据每一段的函数解析式画出每一段的函数图象【解答】解:当点P在线段BC上运动时,点P到AB的距离为x,则y=4x=2x(0x4),其函数图象为过原点的一线段;点P在边CD上时,点P到AB的距离不变,为4,则y=44=8(4x8),其函数图象是平行于x轴的一线段;点P在边DA上时,点P到AB的距离为(12x),则y=4(12x)=242x(8x12),其图象是一线段纵观各选项,只有D选项图象符合故选:D5已知复数是纯虚数,则实数a=()A2B4C6D6

12、【考点】复数代数形式的混合运算【分析】化简复数,由纯虚数的定义可得关于a的式子,解之可得【解答】解:化简可得复数=,由纯虚数的定义可得a6=0,2a+30,解得a=6故选:D6已知a=,b=,c=,则()AabcBbacCacbDcab【考点】对数的运算性质【分析】利用指数与对数函数的运算性质即可得出【解答】解:c=5,2a=1,b=1,cab故选:D7在函数y=cos丨2x丨,y=丨cosx丨,y=cos(2x+)y=tan(2x)中,最小正周期为的所有函数为()ABCD【考点】三角函数的周期性及其求法【分析】根据三角函数的周期性,求出各个函数的最小正周期,从而得出结论【解答】解:函数y=c

13、os丨2x丨=cos2x,它的最小正周期为 =,y=丨cosx丨的最小正周期为=,y=cos(2x+)的最小正周期为 =,y=tan(2x)的最小正周期为,故选:A8函数f(x)=2sin(x+)(0,)的部分图象如图所示,则,的值分别是()ABCD【考点】y=Asin(x+)中参数的物理意义【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值,求出函数的周期T=,解得=2由函数当x=时取得最大值2,得到+=+k(kZ),取k=0得到=由此即可得到本题的答案【解答】解:在同一周期内,函数在x=时取得最大值,x=时取得最小值,函数的周期T满足=,由此可得T=,解得=2,得函数表达式为f(x)=

14、2sin(2x+)又当x=时取得最大值2,2sin(2+)=2,可得+=+2k(kZ),取k=0,得=故选:A9已知函数y=(x1)f(x)的图象如图所示,其中f(x)为函数f(x)的导函数,则y=f(x)的大致图象是()ABCD【考点】函数的单调性与导数的关系【分析】先结合函数y=(x1)f(x)的图象得到当x1时,f(x)0,根据函数的单调性与导数的关系可知单调性,从而得到y=f(x)在(1,+)上单调递增,从而得到正确选项【解答】解:结合图象可知当x1时,(x1)f(x)0即f(x)0y=f(x)在(1,+)上单调递增故选B10已知函数f(x)=,若x1,x2R,且x1x2,使得f(x1

15、)=f(x2),则实数a的取值范围是()A2,3(,5B(,2)(3,5)C2,3D5,+)【考点】分段函数的应用【分析】分类讨论,利用二次函数的单调性,结合x1,x2R,且x1x2,使得f(x1)=f(x2),即可求得实数a的取值范围【解答】解:当a=0时,当x1时,f(x)=x2,当x1时,f(x)=14,此时存在当x1,1时,满足条件若a0,则当x1时,f(x)为增函数,且f(x)a27a+14,当x1时,f(x)=x2+ax=(x)2+,对称轴为x=,若1即a2时,则满足条件,若1,即a2时,函数在(,1上单调递增,要使条件成立则f(x)在(,1上的最大值f(1)=1+aa27a+14

16、,即a28a+150,即3a5,a2,3a5,综上3a5或a2,故选:B11已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若g(x)=f(x+1)+5,g(x)=f(x+1)+5,g(x)为g(x)的导函数,对xR,总有g(x)2x,则g(x)x2+4的解集为()A(,1)B(,1)CRD(1,+)【考点】函数奇偶性的性质【分析】根据函数的图象的平移得到g(x)=f(x+1)+5的图象的特点,有g(x)2x知g(x)x2+4的单调性,可求得【解答】解:因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以函数f(x)关于原点对称,又g(x)=f(x+1)+5,故g(x)的图象关于点(1,5)对称,令h(x)=g(

17、x)x24,h(x)=g(x)2x,对xR,g(x)2x,h(x)在R上是增函数,又h(1)=g(1)(1)24=0,g(x)x2+4的解集是(,1)故选A12如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75,30,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC等于()A mB mC mD m【考点】解三角形的实际应用【分析】由题意画出图形,由两角差的正切求出15的正切值,然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度,作差后可得答案【解答】解:如图,DAB=15,tan15=tan(4530)=2在RtADB中,又AD=60,DB=ADtan15=60(2)=12060在RtADC中,D

18、AC=60,AD=60,DC=ADtan60=60BC=DCDB=60=120(1)(m)河流的宽度BC等于120(1)m故选:B二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的横线上.13由抛物线y=x21,直线x=0,x=2及x轴围成的图形面积为2【考点】定积分【分析】画出图形,再根据定积分的几何意义,即得答案【解答】解:抛物线y=x21,直线x=0,x=2及x轴围成的图形面积如图所示:S=(x21)dx+(x21)dx=(x21)|+(x21)|=2,故答案为:214 =4【考点】三角函数的化简求值【分析】利用二倍角的余弦函数以及两角和与差的三角函数化简求解即可【解答

19、】解: =4故答案为:415在ABC中,若D为BC 的中点,则有,将此结论类比到四面体中,在四面体 ABCD中,若G为BCD的重心,则可得一个类比结论:【考点】向量在几何中的应用【分析】“在ABC中,D为BC的中点,则有,平面可类比到空间就是“ABC”类比“四面体ABCD”,“中点”类比“重心”,可得结论【解答】解:由“ABC”类比“四面体ABCD”,“中点”类比“重心”有,由类比可得在四面体ABCD中,G为BCD的重心,则有故答案为:16已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)=f(x),且在区间0,2上是增函数若方程f(x)=m(m0)在区间8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4

20、,则x1+x2+x3+x4=8【考点】奇偶性与单调性的综合;函数的周期性【分析】由条件“f(x4)=f(x)”得f(x+8)=f(x),说明此函数是周期函数,又是奇函数,且在0,2上为增函数,由这些画出示意图,由图可解决问题【解答】解:此函数是周期函数,又是奇函数,且在0,2上为增函数,综合条件得函数的示意图,由图看出,四个交点中两个交点的横坐标之和为2(6),另两个交点的横坐标之和为22,所以x1+x2+x3+x4=8故答案为8三、解答题:本大题共5小题,满分60分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在平面直角坐标系xOy中设锐角的始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点P(x1

21、,y1),将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q(x2,y2)记f()=y1+y2(1)求函数f()的值域;(2)设ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(C)=,且a=,c=1,求b【考点】任意角的三角函数的定义;直线与圆的位置关系【分析】(1)根据三角函数的定义求出函数f()的表达式,即可求出处函数的值域;(2)根据条件求出C,根据余弦定理即可得到结论【解答】解:()由三角函数定义知,y1=sin,y2=sin(+)=cos,f()=y1+y2=cos+sin=sin(+),角为锐角,+,sin(+)1,1sin(+),则f()的取值范围是(1,;()若f(C

22、)=,且a=,c=1,则f(C)sin(C+)=,即sin(C+)=1,则C=,由余弦定理得c2=a2+b22abcosC,即1=2+b22b,则b22b+1=0,即(b1)2=0,解得b=118已知函数f(x)=sin(2wx)4sin2wx+2(w0),其图象与x轴相邻两个交点的距离为(1)求函数f(x)的解析式;(2)若将f(x)的图象向左平移m(m0)个长度单位得到函数g(x)的图象恰好经过点(,0),求当m取得最小值时,g(x)在,上的单调增区间【考点】函数y=Asin(x+)的图象变换;由y=Asin(x+)的部分图象确定其解析式【分析】(1)由条件利用三角函数的恒等变换求得f(x

23、)=sin(2wx+),再根据正弦函数的周期性求出的值,可得函数f(x)的解析式(2)由条件根据函数y=Asin(x+)的图象变换规律、g(x)的图象恰好经过点(,0),求得g(x)=sin(2x+)令2k2x+2k+,kz,求得x的范围可得函数的增区间,再结合合x,进一步确定g(x)的增区间【解答】解:(1)函数f(x)=sin(2wx)4sin2wx+2(w0)=sin2wxcos2wx4+2=sin2wx+cos2wx=sin(2wx+),根据图象与x轴相邻两个交点的距离为,可得函数的最小正周期为2=,求得=1,故函数f(x)=sin(2x+)(2)将f(x)的图象向左平移m(m0)个长

24、度单位得到函数g(x)=sin2(x+m)+=sin(2x+2m+)的图象,再根据g(x)的图象恰好经过点(,0),可得sin(2m)=0,故 m=,g(x)=sin(2x+)令2k2x+2k+,kz,求得kxk,故函数g(x)的增区间为k,k,kz再结合x,可得增区间为,、,19在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且满足 2acosC=2bc(1)求sinA的值; (2)若a=1,求ABC的周长l的取值范围【考点】余弦定理;正弦定理【分析】(1)由题意和正弦定理以及和差角的三角函数公式可得cosA=,进而可得sinA=;(2)由(1)可得a=1,sinA=,A=,结合正弦定理可

25、得l=1+sinB+sinC=1+2sin(B+),由B(0,)和三角函数的值域可得【解答】解:(1)由题意可得2acosC=2bc,结合正弦定理可得 2sinAcosC=2sinBsinC,2sinAcosC=2sin(A+C)sinC,2sinAcosC=2sinAcosC+2cosAsinCsinC,2cosAsinC=sinC,即cosA=,sinA=;(2)由(1)可得a=1,sinA=,A=,b=sinB,同理可得c=sinC,ABC的周长l=1+sinB+sinC=1+sinB+sin(B)=1+(sinB+cosB+sinB)=1+(sinB+cosB)=1+2sin(B+),

26、B(0,),B+(,),sin(B+)(,1,2sin(B+)(1,2,1+2sin(B+)(2,3,ABC的周长l的取值范围为(2,320已知函数f(x)=lnx(a0)(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a=l时,求f(x)在区间,2上的最大值和最小值(0.69ln 20.70);(3)求证ln【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性【分析】(1)求出f(x)的定义域和导数,并化简,讨论a0,a0,由导数大于0,可得增区间;导数小于0,可得减区间;(2)求得f(x)在,2上的单调区间,可得最大值,再求端点处的函数值,可得最小值;(3)由(2)的最大值,可得f(x)

27、=1lnx0,运用不等式的性质,结合对数的运算性质,即可得证【解答】解:(1)函数的定义域为(0,+),f(x)=lnx,f(x)=,若a0,又x0,x0,则f(x)0,函数f(x)在区间(0,+)上单调递减;若a0,当x(0,)时,f(x)0,函数f(x)在区间(0,)上单调递增;当x(,+)时,f(x)0,函数f(x)在区间(,+)上单调递减综上,若a0,函数f(x)的单调递减区间为(0,+);若a0,函数f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,+)(2)a=1时,f(x)=lnx=1lnx,由(1)可知,f(x)=1lnx在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+)上单调递减

28、,故在区间,1上单调递增,在区间1,2上单调递减,函数f(x)在区间,2上的最大值为f(1)=1ln1=0;而f()=12ln=1+ln2,f(2)=1ln2=ln2,f(2)f()=ln2(1+ln2)=2ln21.520.7=0.10,所以f(2)f(),故函数f(x)在区间,2上的最小值为f()=1+ln2证明:(3)由(2)可知,函数f(x)=1lnx在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+)上单调递减,故函数f(x)在区间(0,+)上的最大值为f(1)=0,即f(x)0故有1lnx0恒成立,所以1lnx,故2lnx1+,即为lne2lnx,即ln21已知函数f(x)=exax1,(

29、其中aR,e为自然对数的底数)(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在(0,f(0)处的切线方程;(2)当x1时,若关于x的不等式f(x)0恒成立,求实数a的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性【分析】(1)当a=0时求出f(x)的解析式,根据导数的几何意义求出函数f(x)在x=0处的导数,从而求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程,化成斜截式即可(2)将a分离出来得a,设,然后利用导数研究函数g(x)在1,+)上单调性,求出g(x)的最小值,使ag(x)min即可【解答】解:(1)当a=0时,f(x)=exx,f(0)=0,f(0)=1,切线方程为y=x(2

30、)x1,0a,设,则,设,则(x)=x(ex1)0,(x)在1,+)上为增函数,(x),在1,+)上为增函数,g(x),a请考生在22题,23题,24题三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑选修4-1几何证明选讲22如图,OAB是等腰三角形,AOB=120以O为圆心, OA为半径作圆()证明:直线AB与O相切;()点C,D在O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:ABCD【考点】圆的切线的判定定理的证明【分析】()设K为AB中点,连结OK根据等腰三角形AOB的性质知OKAB,A=30,OK=OAsin30=OA,则AB是圆O的切线()设

31、圆心为T,证明OT为AB的中垂线,OT为CD的中垂线,即可证明结论【解答】证明:()设K为AB中点,连结OK,OA=OB,AOB=120,OKAB,A=30,OK=OAsin30=OA,直线AB与O相切;()因为OA=2OD,所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心设T是A,B,C,D四点所在圆的圆心OA=OB,TA=TB,OT为AB的中垂线,同理,OC=OD,TC=TD,OT为CD的中垂线,ABCD选修4-4坐标系与参数方程23已知圆C1:=2cos,曲线C2:(为参数)(1)化圆C1和曲线C2的方程为普通方程;(2)过圆C1的圆心C1且倾斜角为的直线l交曲线C2于A,B两点,求圆心C1到A

32、,B两点的距离之积【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程【分析】(1)圆C1:=2cos,即2=2cos,利用互化公式可得圆C1的普通方程由曲线C2:(为参数),利用平方关系可得:曲线C2的普通方程(2)由(1)可知:C1(1,0)则直线l的参数方程为:为参数),将其代入,有,圆心C1到A,B两点的距离之积为|t1t2|【解答】解:(1)圆C1:=2cos,即2=2cos,可得x2+y2=2x圆C1的普通方程为:(x+1)2+y2=1由曲线C2:(为参数),利用平方关系可得:曲线C2的普通方程为:(2)由(1)可知:C1(1,0)则直线l的参数方程为:为参数),将其代入,有,所以圆心C1到A,B两点的距离之积为选修4-5不等式选讲24已知a,b,c(0,+),且a+b+c=1,求证:(1)(1)(1)(1)8; (2)+【考点】不等式的证明【分析】利用基本不等式,即可证明结论【解答】证明:(1)a,b,c(0,+),a+b2,b+c2,c+a2,(1)(1)(1)=8(2)a,b,c(0,+),a+b2,b+c2,c+a2,2(a+b+c)2+2+2,两边同加a+b+c得3(a+b+c)a+b+c+2+2+2=(+)2又a+b+c=1,(+)23,+2017年1月11日

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