1、2016-2017学年广东省中山一中高三（上）第二次统测数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合A、B是非空集合，定义AB=x|xAB且xAB，已知A=，B=y|y=2x2，则AB等于（）A（2，+）B0，12，+）C0，1）（2，+）D0，1（2，+）2在ABC中，“sin（AB）cosB+cos（AB）sinB1”是“ABC是直角三角形”的（）A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件3已知命题p：对任意xR，总有2x0；q：“x1”是“x2”的充分不必要条件，则下列命题为真
2、命题的是（）ApqBpqCpqDpq4已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动设点P运动的路程为x，ABP的面积为S，则函数S=f（x）的图象是（）ABCD5已知复数是纯虚数，则实数a=（）A2B4C6D66已知a=，b=，c=，则（）AabcBbacCacbDcab7在函数y=cos丨2x丨，y=丨cosx丨，y=cos（2x+）y=tan（2x）中，最小正周期为的所有函数为（）ABCD8函数f（x）=2sin（x+）（0，）的部分图象如图所示，则，的值分别是（）ABCD9已知函数y=（x1）f（x）的图象如图所示，其中f（x）为函数f（x）的导函数，则y=f（
3、x）的大致图象是（）ABCD10已知函数f（x）=，若x1，x2R，且x1x2，使得f（x1）=f（x2），则实数a的取值范围是（）A2，3（，5B（，2）（3，5）C2，3D5，+）11已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若g（x）=f（x+1）+5，g（x）=f（x+1）+5，g（x）为g（x）的导函数，对xR，总有g（x）2x，则g（x）x2+4的解集为（）A（，1）B（，1）CRD（1，+）12如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A mB mC mD m二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答
4、案填在答题卷的横线上.13由抛物线y=x21，直线x=0，x=2及x轴围成的图形面积为14 =15在ABC中，若D为BC 的中点，则有，将此结论类比到四面体中，在四面体 ABCD中，若G为BCD的重心，则可得一个类比结论：16已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x4）=f（x），且在区间0，2上是增函数若方程f（x）=m（m0）在区间8，8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在平面直角坐标系xOy中设锐角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（x1，y1），将射线OP绕坐
5、标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q（x2，y2）记f（）=y1+y2（1）求函数f（）的值域；（2）设ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=，且a=，c=1，求b18已知函数f（x）=sin（2wx）4sin2wx+2（w0），其图象与x轴相邻两个交点的距离为（1）求函数f（x）的解析式；（2）若将f（x）的图象向左平移m（m0）个长度单位得到函数g（x）的图象恰好经过点（，0），求当m取得最小值时，g（x）在，上的单调增区间19在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且满足 2acosC=2bc（1）求sinA的值； （2）若a=1，求ABC的周长l的取
6、值范围20已知函数f（x）=lnx（a0）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a=l时，求f（x）在区间，2上的最大值和最小值（0.69ln 20.70）；（3）求证ln21已知函数f（x）=exax1，（其中aR，e为自然对数的底数）（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在（0，f（0）处的切线方程；（2）当x1时，若关于x的不等式f（x）0恒成立，求实数a的取值范围请考生在22题，23题，24题三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑选修4-1几何证明选讲22如图，OAB是等腰三角形，AOB=120以O为圆心， OA为半径作圆（）
7、证明：直线AB与O相切；（）点C，D在O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：ABCD选修4-4坐标系与参数方程23已知圆C1：=2cos，曲线C2：（为参数）（1）化圆C1和曲线C2的方程为普通方程；（2）过圆C1的圆心C1且倾斜角为的直线l交曲线C2于A，B两点，求圆心C1到A，B两点的距离之积选修4-5不等式选讲24已知a，b，c（0，+），且a+b+c=1，求证：（1）（1）（1）（1）8； （2）+2016-2017学年广东省中山一中高三（上）第二次统测数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
8、求的）1设集合A、B是非空集合，定义AB=x|xAB且xAB，已知A=，B=y|y=2x2，则AB等于（）A（2，+）B0，12，+）C0，1）（2，+）D0，1（2，+）【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据根式有意义的条件，分别求出结合A和B，然后根据新定义AB=x|xAB且xAB，进行求解【解答】解：集合A、B是非空集合，定义AB=x|xAB且xAB，A=x|0x2B=y|y=2x2=y|y0AB=0，+），AB=0，2因此AB=（2，+），故选A2在ABC中，“sin（AB）cosB+cos（AB）sinB1”是“ABC是直角三角形”的（）A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分
9、条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据sin（AB）cosB+cos（AB）sinB=sin（AB+B）=sinA，结合三角形的边角关系判断分析【解答】解：sin（AB）cosB+cos（AB）sinB=sin（AB+B）=sinA在ABC中，sin（AB）cosB+cos（AB）sinB1，sin（AB+B）=sinA1，0A，A=90，“ABC是直角三角形”A=90或B=90或C=90，根据充分必要条件的定义可判断；“sin（AB）cosB+cos（AB）sinB1”是“ABC是直角三角形”的充分不必要条件，故选：B3已知命题p：对任意xR，总有2
10、x0；q：“x1”是“x2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）ApqBpqCpqDpq【考点】复合命题的真假【分析】由命题p，找到x的范围是xR，判断p为真命题而q：“x1”是“x2”的充分不必要条件是假命题，然后根据复合命题的判断方法解答【解答】解：因为命题p对任意xR，总有2x0，根据指数函数的性质判断是真命题；命题q：“x1”不能推出“x2”；但是“x2”能推出“x1”所以：“x1”是“x2”的必要不充分条件，故q是假命题；所以pq为真命题；故选D；4已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动设点P运动的路程为x，ABP的面积为S，则函数S=f（x）
11、的图象是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】根据点P的位置进行分类讨论，根据三角形的面积公式求出每一段ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式，根据每一段的函数解析式画出每一段的函数图象【解答】解：当点P在线段BC上运动时，点P到AB的距离为x，则y=4x=2x（0x4），其函数图象为过原点的一线段；点P在边CD上时，点P到AB的距离不变，为4，则y=44=8（4x8），其函数图象是平行于x轴的一线段；点P在边DA上时，点P到AB的距离为（12x），则y=4（12x）=242x（8x12），其图象是一线段纵观各选项，只有D选项图象符合故选：D5已知复数是纯虚数，则实数a=（）A2B4C6D6
12、【考点】复数代数形式的混合运算【分析】化简复数，由纯虚数的定义可得关于a的式子，解之可得【解答】解：化简可得复数=，由纯虚数的定义可得a6=0，2a+30，解得a=6故选：D6已知a=，b=，c=，则（）AabcBbacCacbDcab【考点】对数的运算性质【分析】利用指数与对数函数的运算性质即可得出【解答】解：c=5，2a=1，b=1，cab故选：D7在函数y=cos丨2x丨，y=丨cosx丨，y=cos（2x+）y=tan（2x）中，最小正周期为的所有函数为（）ABCD【考点】三角函数的周期性及其求法【分析】根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论【解答】解：函数y=c
13、os丨2x丨=cos2x，它的最小正周期为 =，y=丨cosx丨的最小正周期为=，y=cos（2x+）的最小正周期为 =，y=tan（2x）的最小正周期为，故选：A8函数f（x）=2sin（x+）（0，）的部分图象如图所示，则，的值分别是（）ABCD【考点】y=Asin（x+）中参数的物理意义【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期T=，解得=2由函数当x=时取得最大值2，得到+=+k（kZ），取k=0得到=由此即可得到本题的答案【解答】解：在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，函数的周期T满足=，由此可得T=，解得=2，得函数表达式为f（x）=
14、2sin（2x+）又当x=时取得最大值2，2sin（2+）=2，可得+=+2k（kZ），取k=0，得=故选：A9已知函数y=（x1）f（x）的图象如图所示，其中f（x）为函数f（x）的导函数，则y=f（x）的大致图象是（）ABCD【考点】函数的单调性与导数的关系【分析】先结合函数y=（x1）f（x）的图象得到当x1时，f（x）0，根据函数的单调性与导数的关系可知单调性，从而得到y=f（x）在（1，+）上单调递增，从而得到正确选项【解答】解：结合图象可知当x1时，（x1）f（x）0即f（x）0y=f（x）在（1，+）上单调递增故选B10已知函数f（x）=，若x1，x2R，且x1x2，使得f（x1
15、）=f（x2），则实数a的取值范围是（）A2，3（，5B（，2）（3，5）C2，3D5，+）【考点】分段函数的应用【分析】分类讨论，利用二次函数的单调性，结合x1，x2R，且x1x2，使得f（x1）=f（x2），即可求得实数a的取值范围【解答】解：当a=0时，当x1时，f（x）=x2，当x1时，f（x）=14，此时存在当x1，1时，满足条件若a0，则当x1时，f（x）为增函数，且f（x）a27a+14，当x1时，f（x）=x2+ax=（x）2+，对称轴为x=，若1即a2时，则满足条件，若1，即a2时，函数在（，1上单调递增，要使条件成立则f（x）在（，1上的最大值f（1）=1+aa27a+14
16、，即a28a+150，即3a5，a2，3a5，综上3a5或a2，故选：B11已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若g（x）=f（x+1）+5，g（x）=f（x+1）+5，g（x）为g（x）的导函数，对xR，总有g（x）2x，则g（x）x2+4的解集为（）A（，1）B（，1）CRD（1，+）【考点】函数奇偶性的性质【分析】根据函数的图象的平移得到g（x）=f（x+1）+5的图象的特点，有g（x）2x知g（x）x2+4的单调性，可求得【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以函数f（x）关于原点对称，又g（x）=f（x+1）+5，故g（x）的图象关于点（1，5）对称，令h（x）=g（
17、x）x24，h（x）=g（x）2x，对xR，g（x）2x，h（x）在R上是增函数，又h（1）=g（1）（1）24=0，g（x）x2+4的解集是（，1）故选A12如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A mB mC mD m【考点】解三角形的实际应用【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案【解答】解：如图，DAB=15，tan15=tan（4530）=2在RtADB中，又AD=60，DB=ADtan15=60（2）=12060在RtADC中，D
18、AC=60，AD=60，DC=ADtan60=60BC=DCDB=60=120（1）（m）河流的宽度BC等于120（1）m故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.13由抛物线y=x21，直线x=0，x=2及x轴围成的图形面积为2【考点】定积分【分析】画出图形，再根据定积分的几何意义，即得答案【解答】解：抛物线y=x21，直线x=0，x=2及x轴围成的图形面积如图所示：S=（x21）dx+（x21）dx=（x21）|+（x21）|=2，故答案为：214 =4【考点】三角函数的化简求值【分析】利用二倍角的余弦函数以及两角和与差的三角函数化简求解即可【解答
19、】解： =4故答案为：415在ABC中，若D为BC 的中点，则有，将此结论类比到四面体中，在四面体 ABCD中，若G为BCD的重心，则可得一个类比结论：【考点】向量在几何中的应用【分析】“在ABC中，D为BC的中点，则有，平面可类比到空间就是“ABC”类比“四面体ABCD”，“中点”类比“重心”，可得结论【解答】解：由“ABC”类比“四面体ABCD”，“中点”类比“重心”有，由类比可得在四面体ABCD中，G为BCD的重心，则有故答案为：16已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x4）=f（x），且在区间0，2上是增函数若方程f（x）=m（m0）在区间8，8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4
20、，则x1+x2+x3+x4=8【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的周期性【分析】由条件“f（x4）=f（x）”得f（x+8）=f（x），说明此函数是周期函数，又是奇函数，且在0，2上为增函数，由这些画出示意图，由图可解决问题【解答】解：此函数是周期函数，又是奇函数，且在0，2上为增函数，综合条件得函数的示意图，由图看出，四个交点中两个交点的横坐标之和为2（6），另两个交点的横坐标之和为22，所以x1+x2+x3+x4=8故答案为8三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在平面直角坐标系xOy中设锐角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（x1
21、，y1），将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q（x2，y2）记f（）=y1+y2（1）求函数f（）的值域；（2）设ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=，且a=，c=1，求b【考点】任意角的三角函数的定义；直线与圆的位置关系【分析】（1）根据三角函数的定义求出函数f（）的表达式，即可求出处函数的值域；（2）根据条件求出C，根据余弦定理即可得到结论【解答】解：（）由三角函数定义知，y1=sin，y2=sin（+）=cos，f（）=y1+y2=cos+sin=sin（+），角为锐角，+，sin（+）1，1sin（+），则f（）的取值范围是（1，；（）若f（C
22、）=，且a=，c=1，则f（C）sin（C+）=，即sin（C+）=1，则C=，由余弦定理得c2=a2+b22abcosC，即1=2+b22b，则b22b+1=0，即（b1）2=0，解得b=118已知函数f（x）=sin（2wx）4sin2wx+2（w0），其图象与x轴相邻两个交点的距离为（1）求函数f（x）的解析式；（2）若将f（x）的图象向左平移m（m0）个长度单位得到函数g（x）的图象恰好经过点（，0），求当m取得最小值时，g（x）在，上的单调增区间【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】（1）由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x
23、）=sin（2wx+），再根据正弦函数的周期性求出的值，可得函数f（x）的解析式（2）由条件根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律、g（x）的图象恰好经过点（，0），求得g（x）=sin（2x+）令2k2x+2k+，kz，求得x的范围可得函数的增区间，再结合合x，进一步确定g（x）的增区间【解答】解：（1）函数f（x）=sin（2wx）4sin2wx+2（w0）=sin2wxcos2wx4+2=sin2wx+cos2wx=sin（2wx+），根据图象与x轴相邻两个交点的距离为，可得函数的最小正周期为2=，求得=1，故函数f（x）=sin（2x+）（2）将f（x）的图象向左平移m（m0）个长
24、度单位得到函数g（x）=sin2（x+m）+=sin（2x+2m+）的图象，再根据g（x）的图象恰好经过点（，0），可得sin（2m）=0，故 m=，g（x）=sin（2x+）令2k2x+2k+，kz，求得kxk，故函数g（x）的增区间为k，k，kz再结合x，可得增区间为，、，19在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且满足 2acosC=2bc（1）求sinA的值； （2）若a=1，求ABC的周长l的取值范围【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由题意和正弦定理以及和差角的三角函数公式可得cosA=，进而可得sinA=；（2）由（1）可得a=1，sinA=，A=，结合正弦定理可
25、得l=1+sinB+sinC=1+2sin（B+），由B（0，）和三角函数的值域可得【解答】解：（1）由题意可得2acosC=2bc，结合正弦定理可得 2sinAcosC=2sinBsinC，2sinAcosC=2sin（A+C）sinC，2sinAcosC=2sinAcosC+2cosAsinCsinC，2cosAsinC=sinC，即cosA=，sinA=；（2）由（1）可得a=1，sinA=，A=，b=sinB，同理可得c=sinC，ABC的周长l=1+sinB+sinC=1+sinB+sin（B）=1+（sinB+cosB+sinB）=1+（sinB+cosB）=1+2sin（B+），
26、B（0，），B+（，），sin（B+）（，1，2sin（B+）（1，2，1+2sin（B+）（2，3，ABC的周长l的取值范围为（2，320已知函数f（x）=lnx（a0）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a=l时，求f（x）在区间，2上的最大值和最小值（0.69ln 20.70）；（3）求证ln【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出f（x）的定义域和导数，并化简，讨论a0，a0，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（2）求得f（x）在，2上的单调区间，可得最大值，再求端点处的函数值，可得最小值；（3）由（2）的最大值，可得f（x）
27、=1lnx0，运用不等式的性质，结合对数的运算性质，即可得证【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+），f（x）=lnx，f（x）=，若a0，又x0，x0，则f（x）0，函数f（x）在区间（0，+）上单调递减；若a0，当x（0，）时，f（x）0，函数f（x）在区间（0，）上单调递增；当x（，+）时，f（x）0，函数f（x）在区间（，+）上单调递减综上，若a0，函数f（x）的单调递减区间为（0，+）；若a0，函数f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+）（2）a=1时，f（x）=lnx=1lnx，由（1）可知，f（x）=1lnx在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+）上单调递减
28、，故在区间，1上单调递增，在区间1，2上单调递减，函数f（x）在区间，2上的最大值为f（1）=1ln1=0；而f（）=12ln=1+ln2，f（2）=1ln2=ln2，f（2）f（）=ln2（1+ln2）=2ln21.520.7=0.10，所以f（2）f（），故函数f（x）在区间，2上的最小值为f（）=1+ln2证明：（3）由（2）可知，函数f（x）=1lnx在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+）上单调递减，故函数f（x）在区间（0，+）上的最大值为f（1）=0，即f（x）0故有1lnx0恒成立，所以1lnx，故2lnx1+，即为lne2lnx，即ln21已知函数f（x）=exax1，（
29、其中aR，e为自然对数的底数）（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在（0，f（0）处的切线方程；（2）当x1时，若关于x的不等式f（x）0恒成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）当a=0时求出f（x）的解析式，根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可（2）将a分离出来得a，设，然后利用导数研究函数g（x）在1，+）上单调性，求出g（x）的最小值，使ag（x）min即可【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=exx，f（0）=0，f（0）=1，切线方程为y=x（2
30、）x1，0a，设，则，设，则（x）=x（ex1）0，（x）在1，+）上为增函数，（x），在1，+）上为增函数，g（x），a请考生在22题，23题，24题三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑选修4-1几何证明选讲22如图，OAB是等腰三角形，AOB=120以O为圆心， OA为半径作圆（）证明：直线AB与O相切；（）点C，D在O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：ABCD【考点】圆的切线的判定定理的证明【分析】（）设K为AB中点，连结OK根据等腰三角形AOB的性质知OKAB，A=30，OK=OAsin30=OA，则AB是圆O的切线（）设
31、圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论【解答】证明：（）设K为AB中点，连结OK，OA=OB，AOB=120，OKAB，A=30，OK=OAsin30=OA，直线AB与O相切；（）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心OA=OB，TA=TB，OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，OT为CD的中垂线，ABCD选修4-4坐标系与参数方程23已知圆C1：=2cos，曲线C2：（为参数）（1）化圆C1和曲线C2的方程为普通方程；（2）过圆C1的圆心C1且倾斜角为的直线l交曲线C2于A，B两点，求圆心C1到A
32、，B两点的距离之积【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（1）圆C1：=2cos，即2=2cos，利用互化公式可得圆C1的普通方程由曲线C2：（为参数），利用平方关系可得：曲线C2的普通方程（2）由（1）可知：C1（1，0）则直线l的参数方程为：为参数），将其代入，有，圆心C1到A，B两点的距离之积为|t1t2|【解答】解：（1）圆C1：=2cos，即2=2cos，可得x2+y2=2x圆C1的普通方程为：（x+1）2+y2=1由曲线C2：（为参数），利用平方关系可得：曲线C2的普通方程为：（2）由（1）可知：C1（1，0）则直线l的参数方程为：为参数），将其代入，有，所以圆心C1到A，B两点的距离之积为选修4-5不等式选讲24已知a，b，c（0，+），且a+b+c=1，求证：（1）（1）（1）（1）8； （2）+【考点】不等式的证明【分析】利用基本不等式，即可证明结论【解答】证明：（1）a，b，c（0，+），a+b2，b+c2，c+a2，（1）（1）（1）=8（2）a，b，c（0，+），a+b2，b+c2，c+a2，2（a+b+c）2+2+2，两边同加a+b+c得3（a+b+c）a+b+c+2+2+2=（+）2又a+b+c=1，（+）23，+2017年1月11日