1、1.理解函数的单调性及其几何意义，掌握判断函数单调性的基本方法，并能利用函数的单调性解题2.理解函数奇偶性的概念，掌握函数奇偶性的判定方法及图象特征，并能运用这些知识分析、解决问题 12121212121_2_1f xIIDxxxxf xf xf xDf xf xf xDxxab一般的，设函数的定义域为：如果对于定义域内某个区间 上的任意两个自变量的值、，当时，若都有，则称在区间 上是增函数；若都有，则称在区间 上是减函数它函的等价形式，即若、数的单调性及其几义，何意，那么 121212121212121210_0_._.2()0()0f xf xf xabxxf xf xf xabxxxxf
2、 xf xf xabxxf xf xf xab 在区间，上是；在区间，上是其几何意义：在区间，上是增函数；在区间，上是减函数 ()()()_2_3_yf xDf xDf xyfg xug xyf ufg x如果函数在区间 上是增函数 或减函数，我们就说在这个区间上具有严格的单调性，区间叫做的增区间 或减区间，统称为单调区间由内、外两层 分别是和函数构成，其单调性可按的原则进行判断，即内、外两层函数在公共定义域上，若同是增函数或同是减函数，则单调函数及单调区间复合函数的单调性复为增函合函数数；若是一 fg x增一减，则为减函数 ()()()()0()|xfxf xfxf xyfxf xfx；增函
3、数；减函数；增 或减 函数图象上任意两点的连线斜率都大于 或小于 零；同增异减对于函数定义域内任意一个；原点；中心；轴；轴；必要不充分；奇函数；偶函数；偶函数【要点指南】；偶函数1.给出下列四个函数：f(x)x1；f(x)1x；f(x)x12；f(x)sinx.其中在(0，)上是增函数的有()A0 个B1 个C2 个D3 个【解析】由函数图象，易知满足条件，故选 C.2.(2011上海卷)下列函数中，既是偶函数、又是在区间(0，)上单调递减的函数为()Ayx2Byx1Cyx2Dyx13【解析】函数为偶函数，则 f(x)f(x)，排除 B、D；又知 yx2 在 x(0，)上单调递增，故选 A.3
4、.(2011辽宁卷)若函数 f(x)x2x1xa为奇函数，则a()A.12B.23C.34D1【解法 1】因为函数的定义域为x|x12且 xa，又定义域关于原点对称，则 a12.【解法 2】因为 f(x)为奇函数，则 f(x)f(x)恒成立，解之得 a12.4.若偶函数 f(x)px2(q1)x 的定义域为p,3，则pq 2.【解析】由偶函数定义域关于原点对称，则 p30p3，又 f(x)3x2(q1)x 为偶函数，则 q10q1，所以 pq2.5.已知定义在区间0,1上的函数 yf(x)的图象如图，对于满足 0 x1x2x2x1；f(x2)f(x1)(x2x1)x1f(x1)；fx1fx22
5、0)的函数叫“特征函数”，在解题中有极大应用，请讨论 yxax的单调性，并指出单调区间【解析】(1)结合基本函数性质及图象分析可知：、不满足题意对于，f(x)11x2，当 x(0,1)时，f(x)0，则 f(x)在(0,1)上递减；对于，令 ux3，在(0,1)上递增，而 ylog12u 为减函数，由复合函数单调性知，f(x)log12(x3)在(0,1)上单调递减综上可知，在(0,1)上为减函数(2)由于函数的定义域为x|xR 且 x0，且 f(x)f(x)，所以函数 f(x)为奇函数，因此可先讨论 f(x)在(0，)上的单调性设 0 x1x2，则 f(x1)f(x2)x1ax1x2ax2(
6、x1x2)(1 ax1x2)当 0 x11，此时 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)所以 f(x)在(0，a上是减函数当 ax1x2 时，恒有 0 ax1x21，此时 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)0)Bf(x)xCf(x)x1xDf(x)x26x9(x3)素材1(2)设函数 f(x)1 x00 x01x10 x1x2x1，不关于原点对称，为非奇非偶函数；中定义域为(，)，且 f(x)|x2|x2|x2|x2|f(x)，为偶函数；中 f(x)的定义域为1,1，此时 f(x)0，所以 f(x)x21 1x2既是奇函数又是偶函数；中由2x20|x2|20，解之得 x 2，0)
7、(0，2，定义域关于原点对称且此时|x2|2x22x，即 f(x)2x2x，又 f(x)2x2x 2x2xf(x)，所以 f(x)2x2|x2|2为奇函数(2)因为 a2(a1)a2a1(a12)2340，所以 a2a1，因为 f(x)是 R 上减函数，所以 f(a2)f(a1)，故 m0 x2xx0的奇偶性素材2【解析】当 x0 时，x0，则 f(x)(x)2(x)x2xf(x)又当 x0，则 f(x)(x)2(x)x2xf(x)而 x0 时，f(0)0.综上有，对 xR，f(x)f(x)恒成立，故 f(x)x2x x0 x2xx0是奇函数三 单调性、奇偶性的综合应用【例 3】(1)(201
8、2福鼎模拟)定义在 R 上的偶函数 f(x)，对任意 x1、x20，)(x1x2)，有fx1fx2x1x20，则()Af(4)f(2)f(1)Bf(1)f(4)f(2)Cf(2)f(4)f(1)Df(4)f(1)f(2)(2)(2012龙岩调研)已知定义域为(1,1)的奇函数 yf(x)又是减函数，且满足 f(2x1)f(13)0，则 x 的取值范围为_【解析】(1)由已知fx1fx2x1x20，得 f(x)在 x0，)上单调递减；由偶函数性质得 f(4)f(2)f(1)，故选 A.(2)由奇函数的性质得 f(2x1)f(13)，即12x113，解之得13x0 时，f(x)0，f(1)2.(1
9、)证明：f(x)是奇函数；(2)证明：f(x)在 R 上是减函数；(3)求 f(x)在区间3,3上的最大值和最小值素材3【解析】(1)证明：函数 f(x)的定义域 R 关于原点对称又由 f(xy)f(x)f(y)，得 fx(x)f(x)f(x)，所以 f(x)f(x)f(0)又 f(00)f(0)f(0)，所以 f(0)0，从而有 f(x)f(x)0，所以 f(x)f(x)由于 xR，所以 f(x)为奇函数(2)证明：任取 x1，x2R，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)f(x1)fx1(x2x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)f(x2x1)因为 x10，所以 f(x2x1)0，即 f
10、(x1)f(x2)，从而 f(x)在 R 上是减函数(3)由于 f(x)在 R 上是减函数，故 f(x)在3,3上的最大值是 f(3)，最小值是 f(3)则由 f(1)2，得 f(3)f(12)f(1)f(2)f(1)f(11)3f(1)6，f(3)f(3)6，从而 f(x)在区间3,3上的最大值为 6，最小值为6.备选例题(1)(2011安徽卷改编)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当x0 时，f(x)2x2x，则 f(x)_.(2)(湖南省模拟考试)已知函数f(x)ax x03a1x4ax0 满足对任意 x1x2，都有fx1fx2x1x20，则x0，因为 f(x)是定义在 R 上的奇函
11、数，且 x0 时，f(x)2x2x，所以 f(x)2(x)2(x)2x2x，又 f(x)f(x)，所以 f(x)2x2x.(2)由任意 x1x2，都有fx1fx2x1x20，可知函数 f(x)为减函数，得到0a14a13a10，解得 0a14，故选 A.【点评】函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性，以及函数图象的对称性，第(1)小题考查函数的奇偶性，另外奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于 y轴对称，这是函数奇偶性的重要特征，第(2)小题考查了函数的单调性的定义，注意函数的单调性是相对于定义域而言的，单调性是函数的局部性质，函数的单调区间是定义域的子集，即函数的增减性是相对于函数的定义域中的某个区间而言的1在研究函数的单调性时，要掌握并熟记一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，要注意单调区间是定义域的子集2函数的单调性的证明方法：定义证明法；导数证明法3判断函数的单调性的方法：观察法；图象法；定义法；复合函数法；导数法 4()()01(0)56fxf xfxf xf x 用定义判断函数奇偶性的一般步骤是：求出定义域；看定义域是否关于原点对称；在定义域内化简函数式；利用定义的互逆性进行判断，如；得结论讨论函数奇偶性时，注意定义域优先原则由奇偶函数的图象的对称性，只要知道函数在原点的一侧区间上的有关性质，就可得出函数在其对称区间上的性质
