1、第3节 简谐运动的回复力和能量 1掌握简谐运动的动力学特征，明确回复力的概念。2知道简谐运动是一种没有能量损耗的理想情况。3理解简谐运动在一次全振动过程中，位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。一、简谐运动的回复力 1填一填(1)回复力：使振动物体回到_的力。(2)简谐运动的回复力：Fkx。“”表示回复力的方向与位移方向_。(3)简谐运动：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成_，并且总是指向_，质点的运动就是简谐运动。平衡位置相反正比平衡位置2判一判(1)做简谐运动物体所受回复力的方向总是与位移的方向相反。()(2)做简谐运动物体所受回复力的方向总是与速度的方向
2、相反。()(3)做简谐运动物体所受回复力大小总是与位移的大小成正比。()3选一选 对于弹簧振子的回复力和位移的关系，下列图中正确的是()解析：由简谐运动的回复力公式Fkx可知，弹簧振子做简谐运动时的回复力和位移的关系图像应如图C所示。答案：C 二、简谐运动的能量 1填一填(1)小球远离平衡位置时，_增大，_减小。(2)小球在最大位移时，势能最大，动能为0。(3)小球在平衡位置时，_最大，_为0。(4)简谐运动的能量特点：在弹簧振子运动的任意位置，系统的动能和势能之和都是一定的，遵守_定律。(5)简谐运动的振幅越大，系统的_越大。势能动能动能势能机械能守恒机械能2判一判(1)水平弹簧振子运动到平
3、衡位置时，回复力为0，因此系统的能量一定为0。()(2)回复力变大时，弹簧振子的速度变小。()(3)振动过程中的机械能守恒是一种理想化的模型，实际的振动是有一定的能量损耗。()3想一想 在弹簧振子的运动过程中，弹性势能最大的位置有几个？动能最大的位置有几个？提示：在弹簧振子的运动过程中，弹性势能最大的位置有两个，分别对应于振子运动的最左端和最右端。动能最大的位置只有一个，就是弹簧振子运动到平衡位置的时候。学透用活 1回复力的来源(1)回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，同向心力一样是按照力的作用效果来命名的。(2)回复力可以由某一个力提供，如水平弹簧振子的回复力即为弹簧的弹力；也可能是几
4、个力的合力，如竖直悬挂的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力；还可能是某一力的分力。归纳起来，回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。分析物体的受力时不能再加上回复力。简谐运动的回复力2关于 k 值：公式 Fkx 中的 k 指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数 k 由振动系统自身决定。3加速度的特点：根据牛顿第二定律得 aFmkmx，表明弹簧振子做简谐运动时，振子的加速度大小与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反。4回复力的规律：因 xAsin(t)，故回复力 FkxkAsin(t)，可见回复力随时间按正弦规律变化。典例1 多选如图所示，物体系在两弹簧之间，
5、弹簧劲度系数分别为 k1 和 k2，且 k1k，k22k，两弹簧均处于自然状态。现在向右拉动物体，然后释放，物体在 B、C 间振动，O 为平衡位置(不计阻力)，设向右为正方向，物体相对 O 点的位移为 x，则下列判断正确的是()A物体做简谐运动，OCOBB物体做简谐运动，OCOBC物体所受合力 FkxD物体所受合力 F3kx解析 物体的位移为x，则物体所受的合力Fk1xk2x(k2k1)x3kx，D正确，C错误；可见物体做的是简谐运动，由简谐运动的对称性可得OCOB，A正确，B错误。答案 AD 规律方法判断一个振动为简谐运动的方法根据简谐运动的特征进行判断，由此可总结为：(1)通过对位移的分析
6、，列出位移时间表达式，利用位移时间图像是否满足正弦规律来判断。(2)对物体进行受力分析，求解物体所受力在振动方向上的合力，利用物体所受到的回复力是否满足 Fkx 进行判断。(3)根据运动学知识，分析求解振动物体的加速度，利用简谐运动的运动学特征 akmx 进行判断。对点练清 1多选如图所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，关于物块A受力的说法中正确的是()A物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力 B物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力 C物块A做简谐振动的回复力是B对它的摩擦力 D物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力
7、 解析：物块A做简谐运动，在水平方向受到合外力不断变化，具体受力情况为：竖直方向上受到的重力和支持力是一对平衡力，水平方向只有B物体对它的摩擦力作用，摩擦力提供回复力，C、D选项正确。答案：CD 2某一弹簧振子做简谐运动，在下面四幅图像中，能正确反映加速度a与位移x的关系的是()解析：回复力满足 Fkx 的机械运动是简谐运动；根据牛顿第二定律，加速度为 akxm，故 a-x 图像是直线，斜率为负，故 A、C、D 错误，B 正确。答案：B3水平弹簧振子做简谐运动经过A点时，加速度的大小是2 m/s2，方向指向B点；当它经过B点时，加速度的大小是3 m/s2，方向指向A点，平衡位置为O点，下面有关
8、A、B两点的位置关系正确的是()解析：弹簧振子加速度的方向始终指向平衡位置 O，A 点加速度方向指向 B 点，B点加速度方向指向 A 点，故 O 点在 A、B 两点之间，A、B 错；弹簧振子做简谐运动经过 A 点时的加速度小于经过 B 点时的加速度，由加速度公式 akxm，可知 A点距平衡位置的距离比 B 点距平衡位置的距离小，故 C 对，D 错。答案：C 学透用活 1根据水平弹簧振子图，可分析各个物理量的变化关系如下：简谐运动的各物理量的变化规律振子的运动 AO OA AO OA 位移 方向 向右 向左 向左 向右 大小 减小 增大 减小 增大 回复力 方向 向左 向右 向右 向左 大小 减
9、小 增大 减小 增大 加速度 方向 向左 向右 向右 向左 大小 减小 增大 减小 增大 速度 方向 向左 向左 向右 向右 大小 增大 减小 增大 减小 振子的动能 增大 减小 增大 减小 弹簧的势能 减小 增大 减小 增大 系统总能量 不变 不变 不变 不变 2各个物理量对应关系不同：位置不同，位移不同，加速度、回复力也不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同。续表典例2 如图所示是一个弹簧振子在 00.4 s 时间内做简谐运动的图像，由图像可知()A在 0.250.3 s 时间内，振子受到的回复力越来越小Bt0.7 s 时刻，振子的速度最大C振子的动能和重力势能相互转化的周期为 0
10、.4 sD振子的动能和重力势能相互转化的周期为 0.2 s解析 在0.250.3 s时间内，振子的位移增大，受到的回复力越来越大，故A错误；由题图可知，该振子的周期为0.4 s，且t0.3 s时，振子位移最大，可知在0.7 s时刻振子的位移也是最大，速度为零，故B错误；动能与势能都是标量，它们变化的周期等于简谐振动周期的一半，所以振子的动能和重力势能相互转化的周期为0.2 s，故C错误，D正确。答案 D规律方法 简谐运动的各物理量变化的两种分析顺序 对点练清 1把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图所示，下列结论
11、正确的是()A小球在O位置时，动能最大，加速度最小 B小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大 C小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功 D小球从B到O的过程中，振子振动的能量不断增加 解析：小球在平衡位置O时，弹簧处于原长，弹性势能为零，动能最大，位移为零，加速度为零，A项正确；在最大位移A、B处，动能为零，加速度最大，B项错误；由AO，回复力做正功，由OB，回复力做负功，C项错误；由BO，动能增加，弹性势能减小，总能量不变，D项错误。答案：A2多选弹簧振子在水平方向上做简谐运动的过程中，下列说法正确的是()A弹簧振子在平衡位置时它的机械能最大 B弹簧振子在最大位移时它的弹性势能最大 C
12、弹簧振子从平衡位置到最大位移处它的动能减小 D弹簧振子从最大位移处到平衡位置它的机械能减小 解析：弹簧振子做简谐运动时机械能守恒，因此选项A和D均错误；在最大位移处时，弹性势能最大，B选项正确；从平衡位置到最大位移处的运动是振子远离平衡位置的运动，速度减小，动能减小，C选项正确。答案：BC 3(2021广东高考)如图所示，一个轻质弹簧下端挂一小球，小球静止。现将小球向下拉动距离 A 后由静止释放，并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动，周期为 T。经T8时间，小球从最低点向上运动的距离_A2(选填“大于”“小于”或“等于”)；在T4时刻，小球的动能_(选填“最大”或“最小”)。解析：根据简谐振动
13、的位移公式 yAcos2T t，tT8时，有 yAcos2T T8 22 A，所以小球从最低点向上运动的距离为 yA 22 A2 22A12A，则小球从最低点向上运动的距离小于A2。在 tT4时，小球回到平衡位置，具有最大的振动速度，所以小球的动能最大。答案：小于 最大 简谐运动的三大特征学透用活1瞬时性做简谐运动的物体在不同时刻运动到不同的位置，对应不同的位移，由 Fkx 可知回复力不同。由牛顿第二定律得 akmx，可知加速度 a 也不相同，也就是说 a、F、x 具有瞬时对应性。2对称性(1)物体通过关于平衡位置对称的两点时，加速度(回复力)大小相等，速度大小相等，动能相等，势能相等。(2)
14、对称性还表现在时间的相等上，如从某点到达最大位置和从最大位置再到该点所需要的时间相等。质点从某点向平衡位置运动时，到达平衡位置的时间和它从平衡位置再运动到该点的对称点所用的时间相等。3周期性简谐运动是一种往复的周期性运动，按其周期性可做如下判断：(1)若 t2t1nT，则 t1、t2 两时刻振动物体在同一位置，运动情况完全相同。(2)若 t2t1nTT2，则 t1、t2 两时刻描述运动的物理量(x、F、a、v)大小均相等、方向相反(或均为零)。典例3 质量为m1和m2的两物块用轻弹簧相连，将它们竖立在水平面上，如图所示。现在用竖直向下的压力压m1，使它们处于静止状态。突然撤去压力，当m1上升到
15、最高点时，m2对地压力恰好为零。则系统静止时竖直向下压力大小等于多少？(提示：撤去力后m1上下做简谐运动)解析 当 m1 运动到最高点时，m2 对地压力恰好为零，则此时弹簧弹力为 m2g。所以 m1 简谐运动最大加速度 am（m1m2）gm1；根据简谐运动对称性可知，突然撤去压力时 m1 向上的加速度也是：am（m1m2）gm1；则：压力 Fm1am(m1m2)g答案(m1m2)g 对点练清 1一个做简谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距10 cm 的A、B两点，历时0.5 s(如图所示)。过B点后再经过t0.5 s质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点，则质点振动的周期是()A0.5
16、s B1.0 s C2.0 sD4.0 s 解析：根据题意，由振动的对称性可知：AB 的中点(设为 O)为平衡位置，A、B 两点对称分布于 O 点两侧。质点从平衡位置 O 点向右运动到 B 点的时间应为 tOB120.5 s0.25 s，质点从 B 点向右到达最右端位置(D 点)的时间 tBD120.5 s0.25 s，所以质点从 O 到 D 的时间 tOD14T0.25 s0.25 s0.5 s，得T2.0 s，C 正确。答案：C 2多选公路上匀速行驶的货车受一扰动，车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板。一段时间内货物在竖直方向的振动可视为简谐运动，周期为 T。取竖直向上为正方向，以某时刻
17、为计时起点，其振动图像如图所示，则()At14T 时，货物对车厢底板的压力最大Bt12T 时，货物对车厢底板的压力最小Ct34T 时，货物对车厢底板的压力最大Dt14T 时，货物对车厢底板的压力最小解析：要使货物对车厢底板的压力最大，则车厢底板对货物的支持力最大，则要求货物向上的加速度最大，由振动图像可知在 t34T 时，货物向上的加速度最大，则选项 A 错误，C 正确；货物对车厢底板的压力最小，则车厢底板对货物的支持力最小，则要求货物向下的加速度最大，由振动图像可知在 tT4时，货物向下的加速度最大，所以选项 B 错误，D 正确。答案：CD3一个在水平面内做简谐运动的弹簧振子，从第一次以不等
18、于零的速度经过非平衡位置的某点a时开始计时，下列说法中正确的是()A到振子第二次经过a点时，所需时间为半个周期 B到振子第二次经过a点时，所需时间为一个周期 C到振子第三次经过a点时，所需时间为一个周期 D到振子第三次经过a点时，所需时间为两个周期 解析：因为是从第一次以不等于零的速度经过非平衡位置的某点a时开始计时，故到振子第二次经过a点时不一定是半个周期，更不可能是一个周期，选项A、B错误；到振子第三次经过a点时，所需时间才为一个周期，选项C正确，D错误。答案：C 一、竖直方向的弹簧振子(物理观念)选自鲁科版教材P35“拓展一步”如图所示，在弹簧下端挂一重物，上端固定在支架上，这就构成了竖
19、直方向的弹簧振子。重物在竖直方向受到弹力和重力作用，这两个力的合力充当弹簧振子的回复力。当重物处于点O时，重力和弹力相互平衡，因此点O是弹簧振子的平衡位置。将重物向下拉一段距离，然后松手，重物便沿竖直方向振动起来。假设重物所受的重力为G，弹簧的劲度系数为k，重物处于平衡位置时弹簧的伸长量为x1，则Gkx1设重物向下偏离平衡位置的位移为x时，弹簧的伸长量为x2，则xx2x1 取竖直向下为正方向，则此时弹簧振子的回复力 FGkx2kx1kx2kx 所以，竖直方向的弹簧振子的运动是简谐运动。若将重物向下拉一段距离，松手时拉力大小为F，重物质量为m，当小球运动到最高点时弹簧恰好处于自然伸长状态，则拉力
20、F大小为多少？提示：小球运动到最高点时弹簧恰好处于自然伸长状态，小球的加速度为g，方向竖直向下，小球在最低点时加速度为g，方向竖直向上，由F弹mgma，ag可得此时F弹2mg，由F弹mgF可得：拉力Fmg。二、STSE类问题，体现活学活用 选自鲁科版教材P42第5题 小王在湖边欲乘游船，当日风浪较大，游船上下浮动。若把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，则其振幅为20 cm，周期为3.0 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。在地面与甲板的高度差不超过 10 cm 时，游客能舒服地登船。求在一个周期内，小王能舒服地登船的时间有多少。解析：甲板的振幅 A20 cm，游船振动周期 T3.0 s，甲板振动的位移表达式 xAsin t20sin23 t(cm)，要游客能舒服地登船，需求在 x20sin23 t(cm)10 cm所对应的时间。由23 t16，23 t256，可得：t10.25 s，t21.25 s。故在一个周期内，小王能舒服地登船的时间tt2t11 s。答案：1 s
