1、高 考 总 复 习 艺考生山东版数学 第2节 函数的单调性与最值 第二章 函数、导数及其应用最新考纲核心素养考情聚焦1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质1.函数的单调性的判断或证明，发展数学抽象和逻辑推理素养2.确定函数的单调区间，提升直观想象和逻辑推理素养3.确定函数的最值(值域)，发展直观想象和数学运算素养4.函数单调性的应用，发展逻辑推理和数学运算素养确定函数的单调性、单调区间及应用函数的单调性比较函数值大小、求最值、求参数的取值(范围)是高考的热点，题型多以选择题、填空题的形式出现，难度不大，
2、属于低中档题，常与函数的图象及奇偶性交汇命题；若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现，难度较大，属于中高档题在解答题中常与恒成立、方程有解等问题综合考查1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2定义当 x1x2 时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数当 x1f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数图象描述自左向右看图象是 上升的自左向右看图象 下降的(2)单调区间的定义如果函数 yf(x)在区间 D 上是 增函数 或 减函数，那么就
3、说函数 yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做函数 yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足条件(1)对于任意 xI，都有 f(x)M；(2)存在 x0I，使得 f(x0)M(3)对于任意 xI，都有 f(x)M；(4)存在 x0I，使得f(x0)M 结论M 是 f(x)的最大值M 是 f(x)的最小值1设x1，x2D(x1x2)，则x1x20(或0(或0(或0)，f(x1)f(x2)0)f(x)在 D 上单调递减；fx1fx2x1x20(或(x1x2)f(x1)f(x2)0)f(x)在 D 上单调递增；fx1fx2x1x2
4、0(或(x1x2)f(x1)f(x2)0)的增区间为(，a和 a，)；减区间为 a，0)和(0，a，且对勾函数为奇函数3单调函数的运算性质(1)在函数 f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：若 f(x)，g(x)都是增(减)函数，则 f(x)g(x)也是增(减)函数；若 f(x)是增(减)函数，g(x)是减(增)函数，则 f(x)g(x)是增(减)函数；(2)若函数 f(x)在区间 D 上具有单调性，则在区间 D 上具有以下性质：当 a0 时，函数 af(x)与 f(x)有相同的单调性，当 a0 时，函数af(x)与 f(x)有相反的单调性；当函数 f(x)恒为正(或恒为负)时，f(
5、x)与 1fx有相反的单调性；若 f(x)0，则 f(x)与 fx具有相同的单调性4如果函数 yf(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减，则函数 yf(x)，xa，c在 xb 处有最大值 f(b)；如果函数 yf(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增，则函数 yf(x)，xa，c在 xb 处有最小值 f(b)思考辨析 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)函数 f(x)的图象如图所示，则函数 f(x)的单调增区间是(，0(0，)()(2)若定义在 R 上的函数 f(x)，有 f(1)0，则函数 f(x)在 D 上是增函数()(6)在闭
6、区间上单调的函数，其最值一定在区间端点取到()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)小题查验1(2019合肥调研)下列函数中，在区间(0，)内单调递减的是()Ay1xx Byx2xCyln xxDyexx解析：A 对于 A 选项，y11x在(0，)内是减函数，y2x在(0，)内是增函数，则 y1xx 在(0，)内是减函数；B，C选项中的函数在(0，)上均不单调；选项 D 中，yex1，而当 x(0，)时，y0，所以函数 yexx 在(0，)上是增函数2设定义在1,7上的函数 yf(x)的图象如图所示，则关于函数 y 1fx的单调区间表述正确的是()A在1,1上单调递减B在(0,1上单调递减
7、，在1,3)上单调递增C在5,7上单调递减D在3,5上单调递增解析：B 由图象可知当 x0，x3，x6 时，f(x)0，此时函数 y 1fx无意义，故排除 A，C，D.故选 B.3(2019郑州模拟)函数的单调递增区间为()A(1，)B.，34C.12，D.34，解析：B 易知函数 y13t 为减函数，t2x23x1 的单调递减区间为，34.函数的单调递增区间是，34.4 函 数 f(x)2xx1 在 1,2 的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 是_解析：f(x)2xx12x12x12 2x1在1,2上是增函数，f(x)maxf(2)43，f(x)minf(1)1.答案：43，15已知函数
8、 f(x)为 R 上的减函数，若 mn，则 f(m)_f(n)；若f1x f(n)；1x 1，即|x|1，且 x0.故1x(1,0)(0,1)考点一 函数单调性的判断或证明(自主练透)逻辑推理函数单调性问题中的核心素养依据增函数、减函数的定义证明函数单调性，通常按照设元、作差、变形、判号、定论这五个步骤进行，充分体现了“逻辑推理”的核心素养题组集训1(2019南宁模拟)下列函数中，在区间(1，)上是增函数的是()Ayx1 By 11xCy(x1)2Dy31x解析：B 函数 yx1 在(1，)上为减函数；y 11x在(1，)上为增函数；y(x1)2 在(1，)上为减函数；y31x 在(1，)上为
9、减函数，故选 B.2判断并证明函数 f(x)axx21(其中 a0)在 x(1,1)上的单调性证明：法一(定义法)：设1x1x21，则 f(x1)f(x2)ax1x211 ax2x221ax1x22ax1ax2x21ax2x211x221ax2x1x1x21x211x221.1x1x20，x1x210，(x211)(x221)0.因此当 a0 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，此时函数 f(x)在(1,1)上为减函数.法二(导数法)：f(x)ax212ax2x212ax21x212.又 a0，所以 f(x)0，所以函数 f(x)在(1,1)上为减函数利用定义法证明或判断函数
10、单调性的步骤易错警示：可导函数也可以利用导数判断但是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义法进行判断考点二 确定函数的单调区间(课堂共研)典例(1)函数 yx22|x|1 的单调递增区间为_，单调递减区间为_(2)函 数 y f(x)(x R)的 图 象 如 图 所 示，则 函 数 g(x)f(logax)(0a1)的单调减区间是()A.0，12 B a，1C(，0)12，D.a，a1解析(1)由于 yx22x1，x0，x22x1，x0，即 yx122，x0，x122，x0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(，1和0,1，单调递减区间为1,0和1，)(2)由图象知 f(x)在(，0和12
11、，上单调递减，而在0，12上单调递增又 0a1 时，ylogax 为(0，)上的减函数，所以要使 g(x)f(logax)单调递减，需要 logax0，12，即 0logax12，解得 x a，1故选 B.答案(1)(，1和0,1 1,0和1，)(2)B互动探究1若将典例(1)中的函数变为“y|x22x1|”，则结论如何？解：函数 y|x22x1|的图象如图所示由图象可知，函数 y|x22x1|的单调递增区间为(1 2，1)和(1 2，)；单调递减区间为(，1 2)和(1,1 2)2若将本例题(2)中的“0a1”，则函数 g(x)的单调递减区间如何？解析：由例(2)解析知，需 logax0 或
12、 logax12，解得 x1 或x a，又 x0，所以单调递减区间为(0,1，a，)1求函数的单调区间与确定单调性的方法一致(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义(3)图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间2求复合函数 yf(g(x)的单调区间的步骤(1)确定函数的定义域(2)将复合函数分解成基本初等函数 yf(u)，ug(x)(3)分别确定这两个函数的单调区间(4)若这两个函数同增同减，则 yf(g(x
13、)为增函数；若一增一减，则 yf(g(x)为减函数，即“同增异减”提醒：单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结跟踪训练1设函数 f(x)1，x0，0，x0，1，x1，0，x1，x2，x0，得函数的定义域为(，2)(4，)令 tx22x8，则 yln t.tx22x8(x1)29，tx22x8 的单调增区间为(4，)又 yln t 是增函数，函数 f(x)ln(x22x8)的单调增区间为(4，)考点三 确定函数的最值(值域)(师生共研)典例(1)若函数 f(x)1a1x在12，2 上的值域是12，2，则实数a 的值为_
14、(2)函数 f(x)x28x1(x1)的最小值为_解析(1)因为函数 f(x)在区间12，2 上是增函数，值域为12，2，所以 f12 12，f(2)2，即1a212，1a122，解得 a25.(2)法一：基本不等式法：f(x)x28x1 x122x19x1(x1)9x122x1 9x128，当且仅当 x1 9x1，即 x4 时，f(x)min8.法二：导数法：f(x)x4x2x12，令 f(x)0，得 x4 或 x2(舍去)当 1x4 时，f(x)4 时，f(x)0，f(x)在(4，)上递增，所以 f(x)在 x4 处达到最小值，即 f(x)minf(4)8.答案(1)25(2)8求函数最值
15、(值域)的常用方法及适用类型(1)单调性法：应先确定函数的单调性，然后再由单调性求解(2)图象法：作出函数的图象，利用最值的几何意义，观察其图象最高点、最低点，求出最值(3)基本不等式法：分子、分母其中一个为一次，一个为二次函数结构以及两个变量(如 x，y)的函数，一般通过变形使之具备“一正、二定、三相等”的条件，用基本不等式法求最值(值域)(4)导数法：用导数法，先求出给定区间上的极值，再结合端点值求得(5)换元法：对解析式较复杂的函数，可通过换元转化为以上四种类型中的某种，再求解易错警示：用换元法时，一定要注意新“元”的范围.跟踪训练1函数 y xx(x0)的最大值为_解析：令 t x则
16、t0，所以 ytt2t12214，结合二次函数的图象知，当 t12，即 x14时，ymax14.答案：142函数 f(x)13xlog2(x2)在区间1,1上的最大值为_解析：由于 y13x 在 R 上递减，ylog2(x2)在1,1上递增，所以 f(x)在1,1上单调递减，故 f(x)在1,1上的最大值为 f(1)3.答案：3考点四 函数单调性的应用(多维探究)命题角度 1 比较两个函数值或两个自变量的大小1已知函数 f(x)log2x 11x，若 x1(1,2)，x2(2，)，则()Af(x1)0，f(x2)0 Bf(x1)0Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0解析：B 函数 f(x
17、)log2x 11x在(1，)上为增函数，且f(2)0，当 x1(1,2)时，f(x1)f(2)0，即 f(x1)0.命题角度 2 解函数不等式2f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，满足 f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，当 f(x)f(x8)2 时，x 的取值范围是()A(8，)B(8,9C8,9 D(0,8)解析：B 211f(3)f(3)f(9)，由 f(x)f(x8)2，可得fx(x8)f(9)，因为 f(x)是定义在(0，)上的增函数，所以有x0，x80，xx89，解得 8x9.命题角度 3 利用单调性求参数的取值范围或值3如果函数 f(x)2ax1，x0 成立，那么 a
18、的取值范围是_破题关键点 函数 f(x)满足对任意 x1x2，都有fx1fx2x1x20成立，推出 f(x)在(，)上是增函数解析：因为对任意 x1x2，都有fx1fx2x1x20，所以 yf(x)在(，)上是增函数所以2a0，a1，2a11a，解得32a2.故实数 a 的取值范围是32，2.答案：32，2函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决(2)解含“f”的不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(3)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的
